Supposons entre y et (p y dans les équations

r/. (1— d.X + ti^XJ la relation

y(p zz: x"^ (3)

par conséquent

‘^(X— 2rf.XJ + X,^ = 0 . . (2), ' 'dx^ ^

a? ^ d(p dx

y ^ dx y‘^

d^(p dx

dx^

\dxj

yx^i'l-

DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU SECOND ORDRE

(2) devient alors par Tintroductiou de ces valeurs

y '- |o:Ml-</.X+,/.^X,)+2a;(X-2rf.X,); +^'1^ U.(X-2</.X,)-4xX j f ) dx\ \

''i^V-yx^X,'i!l = 0

dx) * dx'^

Ajoutant à cette expression le produit de (1) par yx^ , on obtient

y^-|o;^-(2 — d.X + d\X^) — 2x{X~2d.X^) + 2Xj| +

+ 2xy‘^£]x{X-d.X,)~2X^l+ 2x^X^^£y=0. (5).

Posons maintenant

a:(X — d.XJ — 2Xj =p

donc

d.p — x{d.X — d\X^) + X — 3d. X, , le coefficient de y- dans (5) devient

2x^ — x\x{d.X — d\X^) + 2X — 4d.Xj -h 2X, == z=z2x^ — x{d.p 4- X — d.X£) + 2Xj = 2^c - — xd.p — — j:r(X — d.Xj) — 2Xjj Z3 2x‘^ — xd.p — p.

(5)' devient donc

{2x^ — xd.p — p) 4- 2yxp-l 4- 2x^ X (—\

dx \dxj

xXj ' y

2x^ — xd.p — p

Il en suit dy

dx — p ±^^ \P^ — 2X, (2x^ — xd.p — p) j

2xX^

-pztl^lp'^ — 2Xj {2x‘^ — xd.p—p) 2 xX^

dx .

J. DE JONG. SUR l’intégration DE l’ÉQUATION

Posons ensuite

N = 1/^ \p'^ — 2Xj {2 — xd.p — p)\ (9),

par conséquent

^ pd.p — Xj {Aæ — xd^.p — 2d.p) — r/. X^ {2 æ- — xd.p — p)

a^X ,d\p^ d.p{p + xd.X J 4- 2X J + p^/.X J --2x^d.X , — 4a;X . __ ^

zzrijajXj d'^.p + xXd.p -h pd.X^ — 2x^ d.X^ — 4a?Xj|,

on aura

^ -'P±^ dx 2 a? X J

d‘^y__ \^—p±X\ ^ ^xXt{—d.p±d.X)—{—p±N){xd.X,-j-X^)(__

2a;2Xj2N| r

-Xi(2a?^ — xd.p — p) — xX^d.p + pxd.X^-^pXi^

q^X‘^^^p+xd.Xt-tXi\±xXi^xXid^.p-hxXd.p+pd.Xi~2x^d.Xt—AxXj^ | — zzr— 2- In {pxX — 2a?^Xi)=f:N2(a?X — X,)H::aîXi j {xXid'^.p+xXd.pA-

Zx J jN f

pd.X^ — 2a?2 d.X^ — AxX^

Ces valeurs étant substituées dans (1), on obtient après quelques réductions, par lesquelles les termes en N se détruisent réciproquement ,

d:XjN^±a;Xj \ xX ^d"^ .pA-xXd.pA-pd.X ^—2x'^ d.X ^—AX ^x\'=.0. (13).

DIFFÉREiNTIELLIi LINEAIRE DU SECOND ORDRE.

Si Ton divise cette équation par ±Xj et qu’on y substitue pour N“ sa valeur tirée de (9), elle donne />2-2X J [2x‘^-xd , (P .p-\-x'^Xd.p-\-xp(LX j -2xhl.X j -Ax^X ^ —O ,

o;2X , d^p+p{p+xd.X , +2X , )+d.p{x^X J +2^X , )-2xH.X , ^ =0,

X- X ^d'^ .p pxX -\-xd.p (a?Xj + 2X J — 2x'^d. Xj — Sx- Xj =0, ou bien

xX^d^.p X -I- 2 X , ) d.p -h X P — 2x ixd. X ^ + 4 X j ) =r 0. ( 14).

Les fonctions X et X . doivent donc satisfaire à cette équation lorsqu’on a la relation y(f>-=.x^^ et dans ce cas

• ] 2xX.

est une intégrale particulière de (1), tandis que p et N sont déterminées par les équations (6) et (9).

Soit P = 0 ,

alors (14) donne a; d. X ^ +4Xjr=:0, donc X,rz: — ;

(6) a;(X — c/.X J + 2X, =0, doncX=— 4;

et de (9) l’on tire 2a?^ j — ^

tti

tandisque (10) donne zzy = e

laquelle est par conséquent une intégrale particulière de l’équation

^ dx dx‘^