Nous traiterons encore le cas où, dans les équations

J. DE JONG. SUR l’intégration DE l’ÉQUATION

et

+ — 'iî(X-2rf,XJ+X,!f!f = 0. . (2),

(læ

il existe entre et <?) la relation

dx‘^

On a alors

) ch __

^ dx

dx

dH

+ -2.-^ (‘fl\

^ dx’^ \dxj

ày

dx

Qy^-

Par la substitution de ces valeurs, (2) devient y-i (a;2{l— d.X+d^X,)+2a:(X— 2d.X,)+6X, j-HryU(X-2d,X,)+

x^y^. — -- z=. 0 ^ ' dx '^

En ajoutant le produit de (1) par x-y , on obtient y'^ ['æ^(2-d.X+d^X,)+2Æ^(X-2c/.X,)+6Xi | +2a;/^|a;(X— d.X,) +

Posons maintenant

xÇL~d.^^ + 2X, (6)

et par conséquent

d.p =: (d. X — f/2 . X J 4- X + d. Xi , le coefficient de y- dans (5) devient

2x-x^-\x[d.X-d\H,)+X+d.X, |+2^(X-d.Xi)+6Xi=r2j;2-ard./?4-3p, et (5) prend la forme

,f {2^-^-xd.p + Zp) + 2^yp-Jl +2a;^X, = 0- (7)

DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU SECQND ORDRE

2xX^

2Jx7~

xd.p + 3p)

dx

Posons

1+ 1/?^ — 2Xj [2x^ — a;c^./9 + 3/)) I z= N . . . . (9) , par eonséquent

^ P d.p — Xj {àx — X d‘^ .p 2 d.p) — i/.Xj {2x^ — xd.p + 'dp)

__xX,d\p + d.p{p—2X , + xd.X 2 )—èpd.X J —2x 2 d.X , — 4^cX j ■“ N

___xX,d\p + ^Xt/./9— 3 pd.X,—2x‘^d.X^—AxX^

on aura

’ — P ± N 2xX.

dx

dx 2 xX,

p±Ny </.p±f/.N)-(— )»±N)(ærf.X+Xj))

p^—X,(2x^-xd.p+3p)+p^ ^ ^ (ptN) (xrf.X,+X,) ^ ^