Soit, dans les équations

DIFFÉRENTIELLE LINEAIRE DU SECOND ORDRE

^.{l-dX + dKX,)-^l{X-2d.X,)+x/^ = 0. . (2),

dx dx^

entre ?/ et la relation

d’où

dg> dx d^(f> dx'^ dx

dx x’^- ’ dx‘^ x'^

En introduisant ces valeurs dans (2) on obtient

y \x^l-d.X-dKX,)+a:{X-2d.X^)+2X^ j-a;^'U(X-2rf.Xi)+2X, | +

Eliminant ensuite — - de (1) et (4), on a dx^

y\-a^id.X-dKXi)-}-4X-2d.Xi) {2XA-2Jl{Xi+x(X-d.Xi))=0. (5). ‘ ) dx

Posons maintenant

;.(X— c/.XJ -hXj z=zp (6),

donc

le coefficient de y devient

—x{d.p — X)4-a?(X— 2d.X ^ )+2X j rz: — xd,p-{-2 1 xÇX—d.X ^ )-f-X ^ | — = — xd.p H- 2 P ,

et par conséquent (5) devient

y [2 P — xd.p) — 2px ^ = 0 (7);

d’où

dx 2 P — X d.p 1 J d.p

y 2 xp X ^ P ^

J. DE JOISG. SUR l’intégration DE l’ÉQUATION

donc

Si l’on substitue ces valeurs dans (1), on trouvera après quelques simplifications

2xX^pd^.p —SxX ^{d.py -\-2pd.p{xX-^2X — 4/9^(a?+X)=0. (11).

A cette équation doivent donc satisfaire X et Xj pour que entre y et q> ait lieu la relation (3) , et alors l’équation (8) détermine une intégrale particulière de (1).

. Faisons p = (11) devient

a; H- X = 0 d’où X = — X.

(6) donne alors pour Xj

Xj — xd.X^ z=zc -i- x^ d’où Xj =z c — x^ j et

est une intégrale particulière de l’équation

dx dx^

On pourrait obtenir immédiatement une autre intégrale particulière de cette dernière équation en l’écrivant sous la forme

dx dx dx"^

DIFFÉRENTIELLE LINEAIRE DU SECOND ORDRE

Le premier membre est alors directement intégrable et donne

/ dx „

yx + (c — zz: 0,

d’où il suit

y =z ix" — c).

A l’aide de cette intégrale particulière^ on peut trouver l'intégrale générale de (A). On obtient ainsi :

Si l’on pose maintenant ^

la seconde intégrale particulière de (A) est

ce qui s’accorde avec le résultat obtenu par notre méthode.

En posant dans (11)

on obtiendrait

ce qui indique que dans cette hypothèse l’équation ne peut pas être construite. Effectivement, on a dans ce cas

= constante.

Nous nous en tiendrons là, et ferons seulement encore remarquer que le nombre des équations qui peuvent être construites par cette méthode est limité. Nous avons bien pu traiter une suite de relations entre cp et ?/, mais on a vu que pour chaque cas, si simple qu’il soit, le nombre des équations qui se laissent construire est très restreint, à cause des difficultés qu’on a à vaincre. D’un autre côté, la série des relations qu’on peut

J. DE JONG. SUR l’intégration DE l’ÉQUATION ETC.

admettre entre y et g, n’est pas indéfinie non plus ; en effet , toute relation qnelconque ne conviendrait pas dans cette méthode. Supposons, par exemple, que l’on prenne

(p zzz Sin y d’onc d.cp — Cos y d.y, d^.cp — Cos y d^,y — Sin y (d.y) ^ ;

en substituant ces valeurs dans (2) et éliminant ensuite d-.y k l’aide de (1), on parviendrait à une équation non linéaire du premier ordre , et par conséquent , en général , on ne serait pas avancé d’un pas.

Toutefois, il n’est peut-être pas impossible d’arriver par cette voie à la découverte d’intégrales particulières de certaines équations différentielles qui ne se laissent pas intégrer d’une autre manière. La méthode est également applicable aux équations du troisième ordre; c’est un point sur lequel nous reviendrons peut-être plus tard.

PAR

F. SEELHEIM.

Vers la fin de l’année 1871, la Direction des pêcheries sur l’Escaut et les eaux de la Zélande reçut de M. le Ministre des Finances l’ordre de faire procéder à un examen chimique concernant le degré de salure de l’eau tant de l’Escaut oriental que de l’Escaut occidental.

La Direction ayant bien voulu me charger de l’exécution de ce travail, je reçus successivement, de sa part, les échantillons d’eau suivants:

De l’Escaut occidental:

1 bouteille remplie devant Flessingue, en eau haute, 1 Nov. 1871

eau basse , „

dans le Braakman

28 Oct.

devant

Neuzen

Hansweert

De Paal

Bath

dans le Kieldrechtsche gai

ff Y)

devant Den Doel

Y) Yi

Archives Néerlandaises. T. IX. 28

De l’Escaut oriental:

1 bouteille remplie devant Veere , en eau haute , 22 Mars 1872

eau

basse ,

„ Kortgeene

„ Zierikzee

dans le canal de

Wemeldinge

devant Stavenisse

„ Yerzeke , sur le

banc d’huîtres

„ Tholen

„ Bergen op Zoom,,

dans le Mosselkreek ,

à St. Philipsland

devant Bruinisse

Plus tard, on m’envoya encore d’autres échantillons d’eau, provenant du Krammer et du Haringvliet, savoir:

1 bouteille remplie devant Herkingen, en e. h., le 28 Sept. 1872, à 11 h. 30 m. du matin, par un temps rude.

1 bouteille remplie devant Herkingen, en e. b., le 28 Sept. 1872, à 5 h. 30 m. du soir, par un temps rude, et le reflux étant à peine sensible.

1 bouteille remplie devant Oude Tonge , en e. h. , le 28 Sept. 1872, à 11 h. 45 m. du matin.

1 bouteille remplie devant Oude Tonge , en e. b. le , 28 Sept. 1872, à 6 h. 30 m. du matin.

1 bouteille remplie devant Ooltgensplaat , en e. h. ; le 28 Sept. 1872, à 8 h. 30 m. du matin.

1 bouteille remplie devant Ooltgensplaat , en e. b. ; le 28 Sept. 1872, à 11 b. 30 m. du matin.

1 bouteille remplie devant Hellevoetsluis, à la pointe de la jetée orientale du port de la Marine, le 28 Sept. 1872, à 11b. 55 m. du matin. L’eau, à. ce moment, était de 2 décimètres plus haute qu’à marée haute ordinaire.

1 bouteille remplie devant Hellevoetsluis, à la pointe de la jetée orientale du port de la Marine, le 28 Sept. 1872, à 7 h. 45 m. du matin. L’eau , à ce moment , était de 9 décimètres plus haute qu’à marée basse ordinaire.

1' bouteille remplie devant Middelharnis , en e. h., à 12 h. 30 m. de l’après midi.

1 bouteille remplie devant Middelharnis, en e. b., à 7 h. du matin.

1 bouteille remplie devant Stad aan ’t Haringvliet, en e. h., le 28 Sept. 1872, à 12 h. 15 m. de l’après midi.

1 bouteille remplie devant Stad aan ’t Haringvliet, en e. b., le 28 Sept. 1872, à 7 h. 20 m. du matin.

Les échantillons d’eau, dont je viens de donner la liste, ont été examinés de la manière suivante:

a. 100 c. c. de chaque bouteille ont été évaporés dans une capsule de platine; le résidu a été séché à 150° C, puis pesé.

b. 100 c. c., additionnés d’acide chlorhydrique, ont été précipités par le chlorure de baryum ; le précipité a été recueilli et pesé.

c. 100 c. c. ont été précipités une première fois par l’oxalate d’ammoniaque; le précipité d’oxalate de chaux, recueilli^ a été pesé à l’état de chaux.

d. Le liquide, que la filtration avait séparé de l’oxalate de chaux a été concentré par évaporation , puis précipité par le phosphate de soude et l’ammoniaque; le précipité a été pesé à l’état de pyrophosphate de magnésie, et le résultat corrigé par la mesure de l’eau de lavage.

e. Le chlore a été dosé par titrage avec une solution d’argent. /. Le poids spécifique a été déterminé à l’aide de la balance et d’une ampoule en verre.

Les nombres obtenus de cette manière ont tous été rapportés par le calcul à 100 parties d’eau en poids.

Voici les résultats auxquels je suis parvenu:

A. Escaut occidental.

100 parties d’eau contiennent.

Matières j solides.

Acide

sulfurique

Chaux.

Magnésie.

Chlore, j

Poids.

1 Spéc.

Plessingue

Braakman

Neuzen

Hansweert

de Paal

Bath

Kieldrechtsche gat e. h . .

den Doel e, h

Je dois remarquer ici que les résultats de Neuzen e. h. étaient tout à fait anormaux, et que probablement quelque erreur a été commise dans le remplissage de la bouteille. Pour cette raison, les nombres relatifs à Neuzen e. h. n’ont pas été mentionnés.

Le tableau B fait connaître la proportion d’eau de mer et d’eau de rivière qui existe dans chacune des eaux analysées. Par eau de rivière j’entends ici l’eau pure ; bien que cela ne soit pas tout à fait exact, il n’en résulte aucune erreur sensible dans les nombres donnés. Ces nombres ont été déduits de la moyenne de tous les résultats obtenus pour chaque espèce d’eau.

100 parties d’eau de l’Escaut occidental contiennent :

Eau do mer. Eau de rivière.

Elessingue e. h lOO 0

Braakmau e. h 89,75 10,25

Neuzen e. b 85,56 11,11

Hansweert e. h 77,91 22,06

de Paal e. h 69,71 30,29

Bath e. h 68,95 31,05

Kieldrechtscbe gat e. h 70,51 29,19

den Doel e. h 56,95 13,05

La proportion des matières dissoutes, telle qu’elle est donnée dans le tableau A, montre que devant Elessingue, à marée haute, on rencontre de l’eau de mer pure, sans mélange appréciable d’eau de rivière ; à marée basse , la proportion des matières dissoutes est plus faible, ce qui doit être attribué au mélange avec une quantité notable d’eau de rivière.

Dans le Braakman , la teneur en sels est à peu près constante , que l’eau soit haute ou basse , mais elle est sensiblement moindre que devant Elessingue. La première de ces circonstances s’explique par la situation latérale de cette anse, qui fait que les variations de composition de l’eau n’y suivent pas les mouvements de la marée, que l’eau y est à peu près stagnante et ne se renouvelle que très lentement. Quant à la moindre proportion des éléments dissous, elle provient de la présence, à cette hauteur, d’une plus forte proportion d’eau de rivière.

Près de Neuzen, la quantité de toutes les matières dissoutes est au-dessous de ce qu’elle est dans le Braakman, et l’eau y est par conséquent mêlée de plus d’eau de rivière; la position de ce point, situé plus en amont que le précédent, rend parfaitement compte de ce fait.

Devant Hansweert, le degré de salure est de nouveau plus faible que devant Neuzen, et, en outre, il est notablement moindre lorsque Teau est soulevée par le flot qne lorsqu’elle est déprimée par le jusant. L’explication est facile : l’eau de rivière entre ici dans le mélange pour une plus grande part , et cette influence se fait sentir plus fortement à marée basse qu’à marée haute.

Devant De Paal et devant Bath, la différence de richesse saline est peu considérable au moment de l’eau haute: lors du reflux , au contraire , la teneur en sel est notablement plus grande à De Paal qu’à Bath, ce qui tient à ce que, devant la première de ces deux localités, l’eau, à marée descendante, s’écoule plus difficilement que devant la seconde. En l’un et l’autre point la salure est d’ailleurs, par suite du mélange croissant d’eau de rivière, notablement moindre qu’à Hansvreert.

Dans le Kieldretsche gat, la proportion de sel en eau basse est égale à celle qu’on trouve devant De Paal en eau basse;

au moment de l’eau haute, cette proportion est même encore un peu plus grande dans la première localité que dans la seconde, bien que le Kieldretsche gat soit situé plus haut sur le cours du fleuve. Mais le Kieldretsche gat formant une anse, l’eau ne peut y être remplacée que difficilement ; l’eau de mer s’y maintient donc pendant quelque temps, et même encore plus longtemps que devant De Paal, ce qui explique suffisamment la richesse plus grande en éléments salins.

Devant Den Doel, la teneur en sel diffère considérablement de l’eau haute à l’eau basse; au moment du flux, l’élément

marin a encore la prépondérance dans le mélange liquide;- au moment du reflux, l’eau de rivière y domine tout à fait.

En considérant l’ensemble des résultats obtenus, on peut se faire une idée de la manière dont la composition de l’eau varie dans l’Escaut occidental depuis Flessingue jusqu’à Doel; on reconnaît que si, du premier de ces points au second, le rapport entre la quantité d’eau de mer et la quantité d’eau de rivière

diminue d’une façon à peu près continue, la diminution n’est

pourtant pas entièrement proportionnelle à la distance de l’em-

bouchure, mais est influencée par la forme des rives, qui agit sur la montée ou la descente des marées.

Pour la facilité des comparaisons, les résultats du tableau B ont été marqués sur la carte (PL VI) qui accompagne ce travail.