Considérations analytiques

Les mêmes résultats peuvent être obtenus par la méthode analytique. Nous présenterons brièvement quelques applications de celle-ci , en partie pour fournir un contrôle à ce qui précède , en partie pour tirer encore quelques conséquences qui se laissent déduire moins facilement de la figure.

Les équations polaires,

r -j- cos a = 0 et r -f- ^ cos « = 0 ,

du cercle des points d’inflexion et du cercle des sommets nous ont déjà donné, par la substitution

/ "T I T O i. COS XI

r -Xr p^ — 2 ap cos u et cos a = — ,

les relations

+ (a — h)p‘^ — ap {2 a — h) cosu^ =: 0, . . . (27) et

(a b) (a — 2b)p^ — ap {2 a — b) cos u ^ zzz 0 ^ . . . (28)

H. OraEîf. Î^OTES COîfCERÎ^ANT LA THÉORIE DES

dans lesquelles et 1^2 désignent les angles de rotation du cercle générateur pour lesquels un point, situé à la distance^ de Cq , forme respectivement un point d’inflexion ou un sommet intermédiaire (p. 32). Nous avons aussi déjà fait observer que w, n’est réel que lorsqu’on a

• j (a — H- j a) > 0 , et I {a — h) P — a‘^\{p — a) < 0.

Or, pour il est toujours satisfait à la première condition ,

mais à la seconde seulement dans le cas de

Pour a il est satisfait à la première condition par

à la seconde par

En résolvant l’équation (27) par rapport à /?, on trouve , après réduction ,

a {2 a — h) cos U ^ ±ci\/ — (2 a — by sin‘^ w,

Si l’on a a> b, p devient imaginaire pour

sin a , > :

tandis que toutes les autres valeurs de ic ^ donnent deux valeurs positives pour p>- Dans le cas de a cb^ au contraire, on a aussi 2a — b cb^ et p ne peut jamais devenir imaginaire. En outre, des deux signes placés devant le radical , le supérieur seul fournira une valeur positive pour p.

L’angle n’a de valeurs réelles que s’il est satisfait aux conditions

et

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

Celles-ci sont remplies , dans le cas de a > 2 è , par

CL {ci -\- h)

dans le cas de a < 2 6 , par

a cp <

De (28) on tire, en outre,

a {2a — b) cos ±(^\/ ^b^ — (2a — by sin^

expression qui montre que , dans le cas de a'> 2b ^ p devient imaginaire pour

sin Uc. > ,

tandis que toutes les valeurs plus petites de a 2 donnent deux valeurs positives pour p. Dans le cas de a < 2 ô , on a aussi 2a — ô<3è, et toute valeur de a 2 donne une valeur positive pour P , mais seulement une.

Ces résultats concordent avec ce que nous a appris l’étude géométrique des fig. 4 et 5. Nous résoudrons maintenant encore trois autres questions.