A-t-on u^ ^ ^2 ? En d’autres termes, un point générateur

qui forme successivement un point d’inflexion et un sommet intermédiaire , décrit-il d"" abord le sommet et ensuite le point d’inflexion, ou d’abord le point d’inflexion et ensuite le sommet?

De (27) et (28) on tire

cos U, — - — lA— et cos a, ^ .

a P {2 a — b) ap{2a — b)

Il s’agit donc seulement d’examiner si l’on a

a^ + (a — b)p^ ^ a^ (a H- 6) H- (a — 2b p"^ ^ c’est-à-dire — b p“^ ^a^ b — 2 b p^ ^

OU

H. ONNEX. XOTES CONCEKyAyT LA THÉORIE DES

Or ly <. a ne peut jamais donner ni point d’inflexion , ni sommet; on a donc toujours

cos U , > co^ w 2 ,

ou « , < w 2 J

puisque et n.^ sont, en tout cas, plus petits que 180^.

2. La valeur limite de pour laquelle cesse la formation de points d’inflexion, est-elle plus grande ou plus petite que la valeur pour laquelle s’arrête la formation de sommets intermédiaires? En d’autres termes, les hypocycloïdes qui ne peuvent former qu’îoi seul de ces points singuliers, et qui dans les fig. 4 et 5 sont par conséquent situées entre Pq et Qq , auront-elles seulement un point cV inflexion , ou seulement un sommet intermédiaire? Ecrite algébriquement, cette .question prend une de ces trois formes

> a (fl + 6) fl^ > fl (fl -h 6) a- >«(« + &) p

fl — h ^ a — 2 b a — 2 h — a b — 2 b — a

c’est-à-dire, après simplification,

6^2 fl, 6^H-2fl6 — 2fl^^0, 2 a^b?

Elle prend la première , la seconde ou la troisième de ces formes , suivant qu’on a

2 è < fl , ou è < fl 2 6 , ou ^b < a < b.

Or, dans le premier cas, la réponse est:

6 < 2 fl , par conséquent aussi

a {a fl- b) ^

dans le troisième cas, on a

2 fl > 6 , par conséquent aussi

fl^ fl (fl H- b) b — fl ^ 2b — fl Dans le second cas la transition a lieu, à savoir pour

b^ -f- 2ab — 2fl" =0,

ou a'= \b {\/ 3 H- 1) z= 1,366 b.

valeur très peu supérieure à Ijyè.

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

Cette transition se fait entre les fig. 12 et 13. Dans la première, on a «z=ip, c’est-a-dire plus grand que lyy^; le point P g, où cesse la formation des points d’inflexion , est encore situé plus bas que Qo , limite des points qui décrivent des sommets intermédiaires. Dans la seconde figure, on a a — 1J6, c’est-à-dire plus petit que lyy/>; et maintenant Pq se trouve plus haut que Q^. Dans la fig. 12, les hypocycloïdes situées entre les lignes P^ PPtz et Qo Q Qrr ont donc un sommet ^ ; dans la fig. 1 3 ,

elles ont un jpoint dHnfiexion h.

3. Relativement à la question de savoir dans quels sommets le rayon de courbure aura une valeur maximum absolue , et dans dans quels autres il présentera une valeur minimum absolue, remarquons d’abord que tout sommet qui précède ou suit un point d’inflexion doit nécessairement être un sommet minimum. Appliquons ensuite ce qui a été dit à la fin du § 8 (p. 33) au

sujet des signes de q et de — - pour u = 0. Les formules

du‘^

(a — b)rQ^ q\ — b)prQ {a — 2b)p — a(a+6)

j {a — b)p — i (p — a) \du’^J o 1 î ^ P — ^

montrent que

Qq est positif pour a’> b^ lorsqu’on a < a ou ^ > ;

pour a <zb J lorsqu’on Si p> a.

Qq est négatif a"> b^ lorsqu’on Si a <. p <. ;

pour a <b ^ lorsqu’on a p < a.

— ^ est positif pour a > 2 6 , lorsqu’on a p ca ou ^ >

Cv tt

du"^

pour 26 > a > 6, lorsqu’on o, p < a:, pour b> a., lorsqu’on â p> a.

est négatif ipouY a> 26, lorsqu’on a, a <p <

pour 2 6 > a > 6 , lorsqu’on a, p>^ a] pour b> a, lorsqu’on a, p < a.

H. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

Ce tableau nous permet de décider , en chaque cas particulier , si le sommet initial est positif ou négatifs c’est-à-dire, s’il est concave ou convexe vers le point de contact commun des cercles K et K' et, en outre, si c’est un sommet maximum ou un sommet minimum. C’est ainsi que pour a > à et < a , et aussi pour a <. h et p"> a ^ c’est-à-dire -pour les h gpocyclotdes extérieures allongées (fig. 9 à \^) et po-ar les hijpocycloldes intérieures raccourcies (fig. 14 à 17), les sommets initiaux sont toujours des

positifs parce que Og et — i sont alors l’un et l’autre constam-

du^

ment positifs. Pour a <. b et p < a , au contraire , c’est-à-dire pour les hypocyclotdes intérieures allongées (.fig. 14 à 17) les sommets

initiaux sont des minima négatifs., parce que Oq et — ~ sont

du^

négatifs. Quant aux hypjocycloides extérieures raccourcies (fig. 9 à 13) , elles forment , si elles ont un point d’inflexion, toujours un sommet minimum négatifs si elles n’en ont point, un sommet maximum

positif., sauf lorsqu’on a a> 2h et p'> — (fig. 9 et 10,

pour les points situés au-dessus de Qo), cas dans lequel il naît un sommet minimum positif.

P nous reste encore à considérer les différentes formes de passage. En premier lieu, celles qui se produisent lorsque le point générateur e^t placé aux limites qui déterminent la formation de points d’inflexion et de sommets ; en second lieu , celles qui prennent naissance lorsqu’on donne au rapport des rayons de K et K‘ les valeurs pour lesquelles la situation du cercle des points d’inflexion et celle du cercle des sommets changent par rapport au cercle générateur et au cercle directeur.

Formes de passage fournies par les valeurs limites de p.

Les valeurs limites de p sont:

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

suivant qu’on b, a ^b.