Considérations géométriques

Soient (fig. 4) le centre du cercle générateur iT à l’origine du mouvement, et C' celui du cercle directeur K'. Pour le diamètre du cerle B des points d’inflexion, dont nous représenterons la longueur par ^ , et pour celui du cercle T des sommets , dont la longueur sera désignée par //, nous avons trouvé Archives Néerlandaises, T. XIV. 3

H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

ab . , , S ,

/i zz: + , suivant qu on s, a Ç b ,

zz H , suivant qu on a a > 2 6.

Les deux cercles B et T passent toujours par le point de contact A des cercles A' et ÆT' ; leurs centres m et w sont situés sur la droite qui passe par C et-C', soit à l’autre côté de A que C', soit au même côté, selon qu’il faut employer le signe supérieur ou le signe inférieur pour les valeurs de et de p.

Dans la figure , on a a > 2 ô. Prenons maintenant le milieu k de Aq C', décrivons sur kQ^ un demi-cercle, et menons dans ce demi-cercle les cordes kl — k(J et krzukt] traçons ensuite CqI et Cq qui coupent le cercle ÆT en s et en g', et enfin kx II C's et ky || tq] alors A^m-^sx est le rayon du cercle des points d’inflexion, et n ■=. qy celui du cercle des sommets. On a, en effet.

SX kQf 7

— — , ou s A;

sC C'Co

kab\ a — h

y q kt

ou yq=i

Y ab a — 2b

On obtient , il est vrai , les mêmes proportions , quelle que soit la direction dans laquelle sont tracées les droites Cq s et Cq mais, par la construction donnée, les droites O^^x et Q^y deviennent en même temps tangentes aux cercles qu’il s’agit de construire ; car on trouve facilement que les perpendiculaires abaissées àe m et n sur les droites Cq x et Cq y sont respectivement égales à

kC„ ' fcC„

kC' = SX = ^y^

nCp

kCp

,kr— ^Al.kt = qy — k 0„

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES. 35

Pendant que le cercle générateur se meut , le cercle des points d’inflexion et le cercle des sommets roulent sur sa circonférence , en passant toujours par son point de contact avec le cercle directeur. La droite CA^, au contraire, qui contient tous les points générateurs et que nous appellerons pour cette raison la droite des points générateurs ^ accompagne simplement le cercle générateur dans son mouvement, et par conséquent ne change pas de position par rapport à lui. Si donc, en divers points A', A" etc. du cercle générateur, nous traçons les deux cercles B et T, nous connaissons la position que ces cercles occupent relativement à la droite des points générateurs , au moment ou les points A' , A' etc. sont arrivés sur le cercle directeur. JSTous voyons alors immédiatement quels sont les points générateurs qui peuvent former des points d’inflexion et des sommets , et à quel moment cela arrive. Si, par exemple, K a décrit l’angle A^ Cq A', de sorte que les points m Qi n aient pris par rapport à ce cercle les positions m' et ri , alors les points Pj et , où la droite Cq Aq est coupée par le cercle des points d’inflexion, formeront leurs inflexions; tandis que les intersections Qj eiQ^deA^Co avec le cercle des sommets forment leurs sommets.

Mais le lieu géométrique de tous les points qui pour une certaine position de K forment un sommet, lieu qui est en général la focale^ consiste chez les courbes cycloïdiques dans le cercle T et la droite Cn. La droite Cq Aq peut avoir avec le cercle T deux points communs, tandis qu’elle coupe la droite C au point C , ou bien la recouvre. Ce dernier cas a lieu dans l’état d’origine et au moment où le cercle K a roulé de 180°. Pour u:=0 et u — n tous les points générateurs forment donc des sommets, — sauf le point Ap , qui fait un rebroussement pour w 0. Aux deux sommets ainsi formés nous donnerons le nom de sommet initial et de sommet terminal.

Un troisième sommet , ou sommet intermédiaire , peut seulement se produire lorsque le point générateur est d’abord situé à l’intérieur du cercle des sommets, par conséquent entre Aq et Qq , de sorte que sa distance à Cy satisfait à la condition

H. ONNEX. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

et {jx -j- h)

De même, il n’y a que les points situés entre et Pq qui puissent former des points d’inflexion ; leurs distances à C doivent donc satisfaire à la condition

Lorsque le cercle K a roulé de l’angle u' ^ moment où le cercle B est tangent à la droite Cg Ag , tous les points d’inflexion sont formés. Or cet angle u' est précisément l’angle xQ^m^ et est déterminé par la relation

. , kl

sin U = —

kC.

Pareillement, on trouve l’angle u" ^ dont K a roulé lorsque le dernier sommet intermédiaire est formé , au moyen de la relation

. . kr ib Sb

sm tr — ~ -

kC,

Tous ces résultats ont été obtenus dans la supposition que les cercles ^ et T soient situés à l’extérieur.

La fig. 5 représente le cas où ces deux cercles touchent le cercle générateur en dedans , et où l’on a donc a <.b.

La construction des centres peut alors se faire de la manière suivante.

Menons par Cg une droite quelconque; soit s un des points où cette droite coupe K. Joignons s à C' et à f, et du milieu k de C' Ag menons les droites kx |{ s C et kij || st\ on a alors

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

Dans -la figure , on a i < 6 et | > è. Mais on reconnaîtra

deux en dedans de K , ou que l’un d’eux coïncide avec K'. Si l’on demande, en effet, dans quelles circonstances on a

Pour a-=z\h tous les points d’inflexion tombent donc sur le cercle directeur (voir fig. 1 bd) , pour a — tous les sommets intermédiaires tombent sur ce cercle (fig. 14).

Mais, soit que les points d’inflexion ou les sommets intermédiaires se forment tous en dehors^ ou tous sur la circonférence^ ou tous en dedans du cercle directeur , toujours il y a , sous deux rapports , une différence essentielle entre les résultats que fournit la fig. 5 et ceux auxquels a conduit la fig. 4. D’abord , dans la fig. 5 , la direction positive de la droite des points générateurs — c’est-à-dire la direction de Cq vers — ne donnera jamais qu’wn seul point d’intersection avec chacun des deux cercles B et T. Il n’y a donc, à chaque instant, qu’un seul point générateur qui forme un point d’inflexion ou un sommet intermédiaire. Nous ne considérons, en effet, que les points générateurs dont les distances à Cq sont positives; parce que les, points situés à l’autre côté de Cq occupent, par rapport au cercle générateur, la même position que les points considérés par nous prennent au bout d’une demi-révolution. En second lieu , les cercles B Qt r, quel que soit le point où ils touchent le cercle générateur, couperont toujours la droite Aq ; de sorte qu’il n’y a aucune valeur de u pour laquelle il ne se forme pas un point d’inflexion et des sommets intermédiaires ; cela s’accorde avec la

que la relation entre a et à peut être choisie de telle sorte que les cercles B Qt T tombent tous les deux en dehors ou tous les

lorsque

la réponse est: lorsque

D’autre part, on a

H. OXNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

circonstance que dans la fig. 5 on ne' peut pas, comme dans la fig. 4, mener de Cq des tangentes à 5 et à T. Du reste, dans la fig. 5, tout comme dans la fig. 4, les points de la droite Cq Aq qui peuvent décrire des points d’inflexion et des sommets intermédiaires sont compris entre certaines limites. Comme a est toujours supposé > et que par conséquent Cq se trouve toujours entre k et C', sx et si/ seront constamment, en vertu de la construction, plus grands que C^s; il en résulte qu’aucun point situé entre Cq et Aq ne peut jamais former un point d’inflexion ou un sommet intermédiaire. Si l’on fait rouler les cercles B et T sur iT, leurs intersections avec Cq Aq s’éloigneront de plus en plus de Cq, jusqu’à ce qu’elles soient parvenues en après quoi elles se rapprocheront de nouveau de Cq. Des points d’inflexion peuvent donc seulement être formés par les points situés entre Aq et Pq , c’est-à-dire lorsqu’on a

a <p IX — a ,

ou a < ;

des sommets intermédiaires ne peuvent se produire que pour les points situés entre Aq et Qq , c’est-à-dire pour

Les fig. 4 et 5 ont été construites pour les deux cas a > 2 6 et I b < a <,b. Mais lorsqu’on a 6 <a <26 (fig. 12 et 13), le cercle des points d’inflexion est situé en dehors, le cercle des sommets en dedans. Au premier s’applique alors la construction de la fig. 4, au second celle de la fig. 5.

Si l’on veut construire les lignes cycloïdiques décrites par les divers points de la droite CqAo, on n’a qu’à déterminer les différentes positions que prend cette droite lorsque le cercle générateur se meut sur le cercle directeur. A cet effet, il faut prendre sur ces cercles, à partir de Aq , des arcs de même

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES. 39

longueur, par exemple Aq a, = (fig. 4). Le cercle générateur ayant alors roulé de l’angle z=: u"\ est venu

en «2 , et on a angle A^C'a^ Le point a décrit un

arc de cercle autour de C', en restant toujours dans l’alignement qui passe par le point de contact et par C'. Or la situation relative de la droite Cq A^ et du cercle iT ne changeant pas durant le mouvement, on n’a qu’à transporter en C l’angle Aq Cq et, = u'" pour trouver la nouvelle position de Aq Cq. En portant enfin sur cette direction , à partir de C , la distance p qui séparait de un point générateur quelconque, on aura le lieu que ce point occupe après que le cercle a roulé de l’angle u"\ C’est de cette manière qu’ont été construites les courbes cycloïdiques qu’on voit dans les figures 9 à 17.