bk [k — l
P 1 sm
2 k — 1 ic — i /
L’hypocycloïde est extérieure ou intérieure suivant qu’on a A; ^ 1.
Le facteur constant
exprime la grandeur que
H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
prend le rayon de courbure lorsqu’on a ou - c’est-
à-dire u — n. Cette valeur est positive ou négative selon qu’on a A; ^ 1 ; de sorte que dans les bypocycloïdes extérieures (fig. 10 à 13) les sommets extrêmes sont toujours tournés vers le point de contact par les côtés concaves, dans les bypocycloïdes intérieures (fig. 14, et 15a) par les côtés convexes.
Chaque fois que ^ augmenté de 2n^ les mêmes
valeurs de q se reproduisent. La série des valeurs que o prend entre w=:4n7r et u ■=: 4: {n -\- \) n constitue une 'période de la -courbe périodique (voir Niemv Archief voor Wislcunde 10).
A la vérité, la forme de la courbe entre u — 2ti u 4n est exactement la même qu’entre w = 0 et u — 2 n] mais , lors du passage de la première moitié de la période à la seconde , le rayon de courbure change de signe; les deux moitiés sont bien égales géométriquement , mais non algébriquement. Le nombre des- points de rebroussement que la courbe a formés après une certaine valeur de v ou de %v dépend donc de la durée d’une demi-période. Or, après la première demi-période, les valeurs sont devenues
u — ® = - .27r = 2i7r, w = i^Zli.2 7r=:(2fc— 1)7T,
et en général, après la n^^^^ demi-période,
U = n . 2 7T ^ V = n . 2 le 71 J w = n . {2 Je — 1)7t.
H peut maintenant se présenter deux cas, celui où une demipériode postérieure vient coïncider avec la première, et celui où jamais deux périodes ne se recouvrent. Pour que le premier cas se produise, c’est-à-dire pour que la courbe soit fermée après n périodes , il faut que v devienne égal à un nombre entier de fois 2 TT ; il faut donc que n puisse être choisi de façon que nJe soit un nombre entier. Si Je lui-même est un nombre entier , en d’autres termes , si a est un multiple de 6 , la seconde demi-période tom-
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
bera déjà sur la première, et il en sera de même de toutes les suivantes ; la courbe ne présente alors qu’une demi-période , et par conséquent ne possède aussi qu’un seul point de rebroussement et un seul sommet, tandis que le cercle directeur est parcouru h fois, et que la tangente à l’hypocycloïde tourne {2 k — 1) fois de 180°. Si, au contraire, k est égal à la fraction
irréductible la courbe ne se fermera qu’après n = ^ demi-
périodes, et par suite offrira aussi un pareil nombre de points de rebroussement et de sommets.
Le second cas, celui où jamais deux périodes ne se recouvrent, se présente lorsque k est un rapport incommensurable.
A l’instant où une bypocycloïde ordinaire se ferme, la droite des points générateurs reprend la position qu’elle occupait à l’origine du mouvement; au même instant se ferment donc aussi toutes les hypocycloïdes allongées et raccourcies.
Les développées des hypocycloïdes ordinaires s’obtiennent en différentiant l’équation (29) par rapport à attendu qu’en
général est le rayon de courbure de la développée
dw
d’une courbe. On trouve
