hk{k—l

Q-l — - - ^ —^COS

{2 k— ly

ou , en faisant tourner la direction principale de manière qu’on ait 1 , 1

o i = -i Lsin

^ {2k— ly

On voit que la développée d’une bypocycloïde ordinaire est elle-même une bypocycloïde ordinaire, semblable à la première,, mais de dimensions {2 k — 1) fois plus petites.

Réciproquement, on trouve par intégration le rayon de courbure de la développante d’une bypocycloïde ordinaire. En le désignant par on a

H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

Q^ — C — 4ihk {k — 1) cos f

Cette courbe, naturellement, sera de nouveau une hypocycloïde si l’on prend 0 = 0, c’est-à-dire , si le développement commence à un sommet. Mais si on opère le développement à partir d’un point de rebroussement, on a =0 pour wz=:0, et l’équation de la développante devient

O, = Sb k (k — 1) ( î •

Cette équation montre que les courbes en question ne peuvent avoir ni points de rebroussement, ni points d’inflexion, attendu que Q , ne change de signe pour aucune valeur de w. Elles ne possèdent que des sommets, à savoir, pour

w = n TT J ce qui donne ç , = 0 ;

et w = {n {2k — 1)7t, „ „ „ Q^=^hk{k — 1).

Il existe une valeur de k pour laquelle ces derniers sommets passent tous par un même point , qui ne saurait être aucun autre que le centre du cercle directeur. Ce cas ne peut donc se présenter que pour les hypocycloïdes intérieures; S bk {\ — k) est alors la valeur absolue du rayon de courbure ^ j , et cette valeur doit être égale à b» En résolvant l’équation

Skb{\—k) = h,

on trouve A: = J- (2 + V^2) ,

et par suite a = i (1 ± \ 1^2) 6.

Ces deux valeurs de a fournissent la même hypocycloïde , attendu que leur somme est égale à 6. Cette hypocycloïde est tracée dans la fig. 6, où l’on a pris az=z\{\ |l^2)6, et

où la ligne pointillée extérieure représente la dévelop])ée , la ligne pointillée intérieure la dévelo]opante de l’hypocycloïde. Les courbes ne sont pas fermées, car k est incommensurable.

C’est ici le lieu de démontrer que Venveloppe des differentes positions que la droite des points générateurs prend pendant le mouvement du cercle générateur est une hypocycloïde ordinaire.

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

A cet effet, remarquons d’abord que tout point invariablement lié au cercle générateur possède , à chaque instant , une vitesse perpendiculaire à la droite qui joint ce point au point de contact A des deux cercles K et K' (fig. 7). Cela s’applique donc aussi à tous les points de la droite P C qui joint un point générateur quelconque P au centre C du cercle générateur et qui à l’origine du mouvement passait en outre par le centre C' du cercle directeur. Il en résulte que le seul point qui se meut à chaque instant le long de P C , point qui par suite décrit la courbe à laquelle P C est toujours tangente , est le pied Q de la perpendiculaire abaissée de A sur PC. Par conséquent, l’enveloppe de la droite P C est en même temps le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées sur PC des points où K et K' se touchent successivement; et le centre de courbure O de l’enveloppe est situé sur cette perpendiculaire ou sur son prolongement.

Soit maintenant (fig. 7) Aq le point de contact de K et K' k l’origine du mouvement; A^ C' est alors la situation initiale de la droite PC, et par conséquent V z=z w est l’angle dont cette droite a tourné. Mais on a

LAoC'A = î^ et LPCAizrw; donc zzr v — w ,

et dw^dv — du^

c’est-à-dire, que la vitesse angulaire de la droite PC est égale à la différence des vitesses de rotation de A autour de C' et de A autour de C. Si AB représente la vitesse linéaire de A, la vitesse angulaire avec laquelle P C tourne autour de Q sera donc