AB AB AC~~ÂC

Décomposons AB en AF, le long de A Q , et en AG, perpendiculaire à A Q ; et remarquons que la vitesse angulaire de A Q autour de O est la même que la vitesse angulaire de P C autour de Q, vu que ces deux droites restent toujours perpendiculaires l’une à l’autre; on doit alors avoir Archives Néerlandaises, T. XIV

H. OyyEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

A Gr AB AB

iTô“Iâ“ Âc ‘

Mais on a A G =: A B ^in u ;

AO = AQ-ho = AC sin w -h ç , O désignant le rayon de courbure Q O ;

la substitution de ces valeurs donne

sin U a — b

d’où

ou

Si n U

sin

vu qu on a w = v — u = - u — u = u

et par conséquent

Le lieu géométrique des points Q est donc une courbe de la forme

O •= m sin u te ^ (31)

c’est-à-dire , toujours une hypocycloïde ordinaire ; car dans tous les cas les rayons a' et 6* de deux cercles peuvent être déterminés de telle sorte que l’équation se change en celle-ci

O = : sin I te h

où k zz: . Pour cela , il faut qu’on ait en général

= u et i = m

ou

et b^ =

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES. 51

Mais le facteur fi détermine exclusivement la forme de la courbe , la constante m n’a d’influence que sur la dimension. S’il n’est donc satisfait qu’à la première de ces deux conditions , on obtient une hypocycloïde semblable à la courbe (31); s’il est satisfait en outre à la seconde condition, l’hypocycloïde sera congruente à cette courbe. Or, dans l’équation (4), on a

fl et w = .

Nous trouvons donc, en premier lieu,

Par conséquent , si dans la fig. 7 , sur le même cercle directeur roule un cercle générateur dont le rayon est égal à ^ A G , celui-ci produit une hypocycloïde ordinaire , semblable à la courbe à laquelle P G est toujours tangente. Yeut-on avoir l’hypocycloïde qui est égale à cette courbe, alors le rayon du cercle^ directeur n’est plus arbitraire, mais égal à

m fl

après substitution des valeurs de ^ et w, on trouve, toutefois,

ce qui indique que le rayon b' du cercle directeur doit avoir la même longueur que A G' . L’hypocycloïde qui vient d’être décrite se trouve donc être égale et semblable à la courbe (30).

L’état négatif de b' , et par conséquent aussi — puisque k' est positif — de a' , n’a rapport ni à la forme, ni à la grandeur, mais seulement à la situation., qui naturellement n’a pas d’influence sur le résultat obtenu.

Gomme deux cercles générateurs dont la somme des rayons est égale au rayon du cercle directeur décrivent la même hypocycloïde , on peut tout aussi bien prendre a! égal à b — \ a. Or , on peut avoir b — ^ a = a , ou

a zzi h ;

H. OXXEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

dans ce cas particulier, le cercle générateur et la droite des points générateurs fourniront les mêmes hypocycloïdes ordinaires. On voit la réalisation de ce cas dans la fig. 15a, où la courbe Aj) A.-i est l’enveloppe de la droite PC; et cette enveloppe est égale et semblable à l’hypocycloïde ordinaire décrite par le cercle K. Mais les deux courbes sont situées aux deux côtés opposés de la droite A g C' .