suivant qu’on a a ^ 2 b. L’équation de

ces hypocycloïdes allongées , décrites dans les figures par le point Qo»

^ ^ a {a — b) \/9 -h 2 (« — 2 ô) (« -h ô) (1 -f- cos u) ^

{a — 2b) {2a — b) ‘ 3 -h (« — 2 b) {a -h ô) (1 ip: cos u) ’

où les signes supérieurs conviennent au cas de a > 2 6 , les signes

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

inférieurs au cas de a <.2 b. Ces courbes ont ou n’ont pas de point d’inflexion, suivant qu’on a a^\ b {\/ 3 -|- 1).

Comme p ±

est la valeur limite pour la formation

de sommets intermédiaires , u ■=: 0 ^ dans le cas de a > 2 6 , et M ~ 7T , dans le cas de a c 2 6 , fournissent un sommet , qui résulte en quelque sorte de la réunion de deux sommets successifs , dont l’un doit toujours être un sommet maximum et l’autre un sommet minimum , attendu qu’il n’y a entre eux aucun point d’inflexion. Il s’agit maintenant de savoir si cette réunion donne lieu à un

sommet maximum ou à un sommet minimum. Le signe de

ne peut pas entièrement nous éclairer à ce sujet, vu qu’il dis-

A, a(a-hb) . a(a-\-b)

parait pour p — ^ ^ . Mais pour p =

c’est-à-dire

quand on a a<2à, ce signe devient négatief le cas de a:> b^ positif dans le cas de a <. b ^ tandis que le rayon de courbure devient alors

a{a — b){2a—by

(a — 2b) (2 — 2ab — b‘^)

2 (a — 2 b) la — \ b {\/ 3+l)j|a-t-^-à (\/ 3 -4- 1) j Ainsi l’on a

positifs lorsque a est > | 6 (y^3 + 1): sommet maximum.

négatif lorsque \ /^(^/S-f-l) est > a > à : sommet minimum, positif.^ lorsque h est > a : sommet minimum.

Dans le premier de ces cas, la courbe n’a pas de point d’inflexion; par conséquent le sommet final, avec lequel se confond le sommet intermédiaire, doit être un sommet minimum. Dans le second et le troisième cas, la courbe possède un point d’inflexion; de sorte que la réunion des deux sommets fournit de nouveau un sommet minimum.

Un moyen plus facile , toutefois , et qui embrasse tous les cas ,

H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

est de chercher si, pour des valeurs de u qui diffèrent très peu de 0 et de TT, est plus grand ou plus petit que o^. Pour

U très près de 0 la valeur de

(a — 2h){a b) (1 — cos u) , et pour u très près de tt la valeur de

(2 b — a) (a H- b) (1 + cos u) ,

sont très petites , par ex. = d ; et il s’agit seulement de savoir si

est positif ou négatif. Après développement, on trouve

c’est-à-dire , une valeur constamment positive ; q est donc dans tous les cas croissant, en d’autres termes , la réunion du sommet intermédiaire avec le sommet terminal fournit toujours un sommet minimum.