fig. 9). Lorsque a est = oo , le cercle générateur
devient une ligne droite. La courbe décrite par un point de cette droite n’est ordinairement pas rangée parmi les cycloïdales , mais simplement considérée comme la développante du cercle. Nous lui conserverons ce nom , auquel nous donnerons , toutefois , une acception plus large, en parlant de développantes allongées et développantes raccourcies du cercle^ lorsque le- point générateur ne se trouve pas sur la ligne génératrice, mais en dehors, soit au même côté que le cercle directeur, soit au côté opposé.
L’équation trouvée pour les hypocycloïdes ne peut pas être rendue applicable à ce cas. Nous reprenons donc l’équation générale des cycloïdales
^ ÇE — E')r R E' cos a'
et nous y faisons Ez=z ce et R -^b., ce qui la transforme en
r h cos a
Au lieu de l’arc w, nous introduisons la longueur correspondante l de la partie de la droite génératrice qui , depuis l’origine du mouvement, a été en contact avec le cercle directeur; et, au lieu de la distance p du point générateur au centre du cercle générateur, nous introduisons la distance q du point générateur au point de contact qui correspond à l’origine du mouvement. Cette grandeur qui détermine donc la place du point générateur, nous l’appelons positive lorsque ce point est situé, par rapport au point de contact, au même côté que le cercle directeur , négative lorsqu’il est situé au côté opposé. Dans la fig. 8 , C représente le centre du cercle directeur, Aq le point de contact à l’origine du mouvement , et P le point générateur ; de sorte qu’on a A^ Anr /, AoPrrg', PA = r et L P AC':z=«. On trouve immédiatement
= P H- q"^ et cos oc • r
H. OîfXEN. XOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
En substituant ces valeurs dans l’équation, on obtient ' P+q^-+hq
Les équations polaires du cercle des points d’inflexion et du cercle des sommets deviennent
r h cos a — Q et r -t- 3 è cos « = 0 ; le diamètre du premier est donc toujours égal à une fois le rayon du cercle ' directeur , celui du second égal à trois fois ce même rayon. Les deux cercles en question se trouvent toujours, relativement au cercle directeur , à l’autre côté de la tangente (fig. 9). En introduisant les grandeurs l et q dans ces équations , on trouve
q"^ +hq^0 et P q^ -j-36g' = 0;
d’où
q=i — y^h± — P et q — —lh±\y\h'^— l\
Le dernier point d’inflexion se forme donc pour 1:=. \ le dernier sommet intermédiaire pour l en outre , l \ b
donne toujours pour q deux valeurs négatives qui fournissent des points d’inflexion, l b toujours deux valeurs négatives auxquelles correspondent des sommets intermédiaires. Les développantes raccourcies du cercle peuvent donc seules avoir des points d’inflexion ou des sommets intermédiaires. Lorsque — q se trouve entre 0 et 6, il se forme, après le sommet initial, d’abord un point d’inflexion et ensuite un sommet intermédiaire ; si — q est situé entre b et 3 5, la courbe a un sommet initial et un sommet intermédiaire; enfin pour — q'>3b^ elle ne possède qu’un seul sommet. Quant à un sommet terminal, par la nature même de la question il ne peut jamais s’en former.
A l’origine du mouvement, on a
q{q-hb^
et
^0 (g + 3 5) ^ q{q-hby
Des signes de
«O et de
pour ^ > 0, 0 <
q <ib^ b c — q <35 et ~ 35,
on peut inférer si le sommet initial est un sommet maximum ou un sommet minimum. On trouvera que toutes les développantes allongées du cercle , ainsi que les développantes raccourcies dépourvues de sommet intermédiaire , ont pour sommet initial un sommet minimum positif'^ les développantes raccourcies à point d’inflexion ont un sommet minimum négatif'^ les développantes raccourcies sans point d’inflexion et à sommet intermédiaire ont un sommet maximum positif.
Il y a trois formes de passage : ^ — 0, q’=: — h — 3 6.
La première , g — 0 , donne la développante ordinaire du cercle , qui a pour équation
Q =zlz=zhvz=: bw^
w étant l’angle que la normale à la courbe, toujours tangente au cercle directeur, a décrit depuis l’origine du mouvement.
La seconde , q:=z — 6 , a pour équation
Dans la fig. 9, cette courbe est décrite par le point P^. Pour l-=:0 on a q — ao ] mais cette valeur est un sommet maximum , non un point d’inflexion, vu que q ne change pas de signe en passant par ce . Pour / 6 \/ 2 , il se forme un sommet minimum t.
La troisième forme du passage , q:=: — 3 6, donne
elle est décrite dans la figure par Q^. Le sommet initial ne peut être qu’un sommet minimum, ce qui ressort d’ailleurs nettement lorsqu’on compare la valeur de o pour ^ = 0 avec la valeur de Q pour l à une très petite grandeur 6.
Nous avons fait, dans l’équation générale des cycloïdales , i? zz: -h 00 ; mais R — — oo aurait fourni les mêmes résultats , bien que, au point de vue ici adopté, les courbes obtenues eussent dû être regardées comme épicycloïdales. Or , en général , deux cercles générateurs, dont les rayons sont a, et a, , donnent des
H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
courbes cycloïdiques égales ou semblables lorsqu’on a a, +a 2 ;
il résulte donc, de ce qui précède, que cette propriété reste applicable aux développantes du cercle , lorsque , pour a j “ 00 ^ on prend = — oc .
