fig. 11). L’équation devient
2 — 2 cos u
^ 2a^-{-p'^ — Sapcosu
Le diamètre du cercle des points d’inflexion est a z=2b^ celui du cercle des sommets est x ; c’est-à-dire , que les sommets intermédiaires se forment toujours sur la tangente commune au cercle générateur et au cercle directeur.
La formule (28) , qui exprime la relatioij entre p et l’angle U 2 auquel correspond un sommet intermédiaire, devient ici
d’où
a — P cosu ^
cos U2 = - •
Toute valeur de ^ > a donne donc une valeur réelle pour , en d’autres termes, toute hypocycloïde raccourcie possède un sommet intermédiaire t. Mais tous ces sommets intermédiaires sont déjà formés lorsque parce que , pour w > i tt , ^
deviendrait négatif.
Si l’on fait k — 2 dans l’équation (29) des hypocycloïdes ordinaires, elle se change en
n ■=: - b sin - •
C’est la courbe bien connue , appelée cardiolde. Il est à remarquer que la droite des points générateurs a ici pour enveloppe un point, attendu que l’hypocycloïde qui est congruente avec cette enveloppe doit avoir, dans le cas actuel, un cercle générateur de rayon i a = à , et que , pour une hypocycloïde ordinaire dont le cercle générateur et le cercle directeur ont des rayons égaux , l’équation devient
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COUKBES PLANES. 59
De cette remarque découle la construction connue de la cardioïde , consistant à mener des sécantes par un point quelconque de la circonférence du cercle, et à porter sur ces sécantes, de chaque côté du point où elles coupent la circonférence pour la seconde fois, le diamètre du cercle.
Ordinairement on regarde la cardioïde comme une épicycloïde le cercle générateur de celle-ci doit alors avoir un rayon égal à b — a = b — 2b=z — 6.
3. - = I (\/ 3 -{- 1). Ces hypocycloïdes sont caractérisées par b
la propriété , ou bien d’avoir à la fois un point d’inflexion et un sommet intermédiaire, ou bien de ne posséder ni l’un ni l’autre de ces points singuliers. Elles forment le passage entre les figures 12 et 13. Pour = (2 + \/ 3) a naît la courbe dans laquelle
le sommet initial se confond avec le point d’inflexion, et, en même temps, le sommet intermédiaire avec le sommet terminal.
Des épicycloïdes de même forme sont produites par un cercle générateur dont le rayon est a' = — \^ {\/ ^ — !)•
4. - = 1 . Dans ce cas , on a (> = 0 ; le cercle générateur ne b
peut pas rouler sur le cercle directeur, chaque point reste en place. Le cercle générateur qui engendre des courbes cycloïdiques égales ou semblables a pour rayon a' — b — otzizO. Or, si nous faisons dans l’équation générale amO, il vient (>— c’est-àdire que chaque point décrit un cercle , sauf quand ^ zz: 0 ; cela ne détermine, de nouveau, qu’un point unique. Le théorème des courbes cycloïdiques semblables s’applique donc aussi au cas actuel , à la seule condition de regarder comme figures semblables les points et les cercles. Sous ces points et ces cercles, toutefois , bien que ce soient en apparence les seules formes fournies par le passage en question , se cachent de vraies formes cycloïdiques. Celles-ci se dévoilent lorsque , au lieu de laisser décroître le rayon a' du cercle générateur , on fait croître le rayon b du cercle directeur, ce qui rapproche tout aussi bien — de 0 et de 1 . Alors ,
H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
en effet , on obtient les cycloides ordinaires , allongées et raccourcies (fig. 17), qui sont comprises dans l’équation
JJ
\/ a‘^ p'^ — 2 ap cos u
Q zn ■* — — 5
p{p — a cos u)
Q devient oo pour p = 0, et pour
P — a cosu ^ =0.
La première équation signifie que le centre du cercle générateur se meut le long d’une droite , la seconde appartient au cercle des points d’inflexion. Pour que u^ soit réel, il faut qu’on ait
tandis que c’est seulement pourw, < ^ que prend des valeurs positives. Par conséquent, tous les points situés entre le centre du cercle générateur et le point de contact forment une inflexion ; tous ces points d’inflexion sont déjà constitués lorsque le cercle générateur a accompli un quart de révolution.
Comme le rayon du cercle des points d’inflexion est égal au demi-rayon du cercle générateur , c’est précisément le cercle des points d’inflexion qui décrit la cycloïde formant l’enveloppe de la droite des points générateurs. Imaginons maintenant que le cercle générateur K (fig. 18) et le cercle des points d’inflexion B roulent simultanément, de mamère à toucher toujours au même point la droite directrice; et soit P la position où est arrivé, à un certain moment, le point du cercle générateur qui décrit la cycloïde ordinaire; CP est alors la droite des points générateurs. L’intersection de cette droite avec le cercle des points d’inflexion B est le point générateur qui forme, au moment indiqué, un point d’inflexion. Mais Q est en même temps le pied de la perpendiculaire abaissée sur C P du point de contact A , et en outre le point du cercle des points d’inflexion qui engendre la cycloïde ordinaire à laquelle la droite CP est tangente, attendu qu’on a angle angle QmA, et par conséquent arc P A arcQA.
De ce qui précède , découlent les propriétés suivantes :
Lorsque deux cercles , dont les rayons sont comme 1:2, roulent
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
sur la même ligne droite^ de manière à toucher celle-ci toujours au même points les points générateurs gui décrivent des cycldides ordinaires sont toujours situés sur une droite passant par le centre du grand cercle^ droite gui alors est tangente à la plus petite cycldide ;
la plus petite cycldide est le lieu géométrigue de tous les points d’’ inflexion des cycldides allongées produites par le grand cercle^ et elle touche ces cycloides allongées en leurs points dHnflexion.
Dans la fig. 1 7 sont tracées trois cycloïdes allongées , qui touchent en leurs points d’inflexion h la cycloïde ordinaire décrite par le cercle jB. C Q est une des positions de la droite des points générateurs; elle touche la cycloïde ordinaire Aq hhh^ ainsi que la cycloïde allongée QoQQ-'? au point Q, lequel est en même temps le point d’inflexion de cette dernière courbe.
L’équation du cercle T des sommets est
r — ^ a cos cc =: 0 ,
ou 2p^ — a^ — ap cos = 0 ;
d ou cosu^zn.-^ ,
ap
, acosuc, a \/ cos^ -h 8
et pzz ? — ! —
Le cercle des sommets a donc un diamètre égal à | a , et est situé au même côté de la directrice que le cercle générateur.
^2 n’est réel que pour
et
sera ^ J n
suivant qu’on
Le point qui se
trouve à la distance ^ a \/ 2 de C forme donc un sommet intermédiaire après un quart de révolution.
U 2 n’a pas de valeur limite; dans chaque position du cercle générateur il se produit donc un sommet intermédiaire, mais il ne s’en produit qu’un seul.
Comme ^ a <p ca est la condition nécessaire pour obtenir une cycloïde possédant à la fois un point d’inflexion et un sommet intermédiaire, on aura aussi constamment
H. ONNEX. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
COSU. r= -L > -A z= COS U^ ,
de sorte que c’est toujours le point d’inflexion h qui se forme le premier, et ensuite le sommet intermédiaire t.
Examinons maintenant encore les sommets initiaux. On trouvera
e„ = -Io! et ('^^'1
p{p — a) \du^/ Q p(p — a)
Pour p<a^ c’est-à-dire pour les points situés entre Cq et Aq , le sommet initial est donc un minimum négatif ; pour ^ > a , par conséquent pour toutes les cycloïdes allongées , c’est un minimum positif ; — résultats faciles à prévoir.
Les formes de passage sont:
^ = 0 , ce qui donne lieu , comme nous l’avons déjà remarqué , à la description de la ligne droite Pn.
^ = c’est-à-dire la courbe QqQQi, dont l’équation est
* a\/ 5 — bcosu^
^ 2 (1 — 2 cos u)
Le point d’inflexion se produit lorsqu’on a cos u = ^ , donc après un sixième de révolution. Le sommet intermédiaire se confond ici avec le sommet terminal.
P — la cycloïde ordinaire , dont l’équation s’obtient en faisant , dans l’équation (29) , bk = a et — 1 ,
Q ■= — 4 a sin w.
