l’équation des hypocycloïdes on
pose h = 2 a J il vient
\/ p^ — 2 ap cos u
Dans cette expression , l’angle u peut être remplacé par l’angle w. De la relation générale
(p. 9) il résulte, en effet, pour les hypocycloïdes allongées,
W z=zv a ^
pour les cycloïdes raccourcies,
attendu que pour les premières on a «q = 0 , et pour les secondes «Q=7r. En général, on a donc
db sin w = sin v , cos a cos v . sin a.
Mais
et
a — P cos U cos cc ■= — —
a — P cos U
^ — 2 a JP cos U
P sin U P sin u
sm oc =: — — . - . . . .
^ — 2apcosu
Ces valeurs étant substituées dans le développement de + sin w on obtient après réduction ,
{p -h a) sin U
sinw =
d’où
sin^
\J {p — aY-\-4^ap sin {p — ay sin"^ w
{p 4- aY — 4:apsin^w
Il ne reste plus qu’à introduire cette valeur dans la formule de ç, après y avoir remplacé cosu pari — 2sin^ J- w ; on trouve ainsi
{p 4- aY {p — aY
\/ {p-\-a)‘^ cos‘^ w-\-{p — aYsin‘^ w où le signe supérieur doit être employé pour les hypocycloïdes raccourcies, le signe inférieur pour les hypocycloïdes allongées.
Cette équation doit être Féquation essentielle de l’ellipse, car on sait que toutes les hypocycloïdes engendrées par un cercle dont le rayon est la moitié de celui du cercle directeur, sont des ellipses.
Pour vérifier cette conclusion , nous déduirons l’équation essentielle de l’ellipse de son équation en coordonnées rectangulaires, l’origine de celles-ci étant placée à l’un des sommets. Cette équation est
H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
quand m représente le demi-grand axe et n le demi-petit axe.
Si l’on désigne par w l’angle que la tangente en un point de l’ellipse fait avec la tangente à l’origine, c’est-à-dire avec l’axe des ordonnées, on a
^ cotg w, dx
La formule connue du rayon de courbure,
dx^
devient donc simplement
sin ^ IV .
dx^
D’un autre côté , l’équation de l’ellipse , différentiée deux fois, donne
cotg w 1=
ni
et
\/ 2mx —
mn
dx‘^ y/ 2 ^
Par l’élimination de x et de — - entre les trois dernières équa-
dx^ ^
tiens, on trouve finalement, après réduction.
\J cos^ w sin^w'
équation où il sufiBt de poser m p a et n=:p — a, pour reproduire l’équation de nos hypocycloïdes , trouvée ci-dessus.
Il est naturel de se demander pourquoi ces hypocycloïdes n’ont ni points d’inflexion, ni sommets intermédiaires.
L’explication de ce fait est facile à donner. Les diamètres du
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
cercle des points d’inflexion et du cercle des sommets deviennent , pour è = 2 a ,
ah ^ , 3 ah ^
2 a et = 2 a,
c’est-à-dire, égaux tous les deux au diamètre du cercle générateur. Mais celui-ci coupe toujours la droite des points générateurs au point pour lequel p a ^ c’est-à-dire au point qui décrit l’hypocycloïde ordinaire. Celle-ci doit donc , en chacun de ses points, former à la fois une inflexion et un sommet; autrement dit, en chaque point son rayon de courbure doit être infiniment grand. Effectivement, on sait que cette hypocycloïde ordinaire est une ligne droite. L’équation (29) donne d’ailleurs aussi , pour A; l ,
ç zz: 00 .
La droite des points générateurs a pour enveloppe l’hypocycloïde pour laquelle on a kz=z\ ou = | ; l’équation de cette courbe est donc
z= — à sin 2 w.
