AT • T^AT

Mais ^ ^ ^ ^

RR'

P M -h A B cos « AB,

donc

(R — R‘) r-\-R R' cos a Cette équation est la base de tous nos développements ulté-

rieurs.

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

2. L’équation essentielle proprement dite d’une courbe cycle ïdale.

Nous commencerons par introduire quelques nouvelles grandeurs variables. A cet effet, considérons le triangle P A C , formé par le point générateur P , le point de contact de la courbe génératrice K et le centre de courbure correspondant C, c’està-dire, le point correspondant de la développée, courbe que nous désignerons par 7T i. En joignant le point générateur avec différents points de et en outre avec les points correspondants de iT i , on obtient les différentes formes que prend ce triangle lorsque la courbe génératrice touche la directrice aux points choisis. Le changement de forme que le triangle PAC subit, pendant que le point A parcourt la courbe K et le point C la développée A i, consiste en ce que le point A se meut avec une vitesse AD = ABsma sur PA, en même temps que cette

... ... , . AE AB cos a

droite tourne avec la vitesse angulaire z= autour

PA r

de P. Si, en outre, CB i est la vitesse avec laquelle le point C parcourt à ce moment la courbe ^i, ce point possède une vitesse CD i = CB isma i suivant le côté PC, et ce côté C E i C B i cos CK.

une vitesse angulaire

autour du point P ;

PC r i

expressions où «i et r i désignent les mêmes grandeurs par rapport à la courbe K i que « et r par rapport à K. Mais les vitesses trouvées sont proportionnelles aux différentielles des chemins parcourus. Or l’élément d’arc de la courbe K est égal à R du ^ et celui de la courbe A i égal k d R-=. R i du^ si jR i représente le rayon de courbure C i C de la développée. En désignant, de plus, par dcp et dcp i les éléments angulaires décrits par les rayons vecteurs PA et PC, on a

drz=.Rsinadu^ ... (2) dr—i=zR isina-idu^ . . (3)

rdcpuzR cosadu^ ... (4) r i (jp i = 1 cos «i du , (5)

H. ONNEN. XOTES COXCERNAJÎ^T LA THÉORIE DES

Mais

d cp d u — d a ^

d q)i — d wzz. d «i j

donc

r {d u -p- d a) ■=. R cos a d u,

et

r i (d îi + d «„i) rr cos «__i d u ;

ou

, R cos a — r ,

du — - du,

et

, cos «i — r i 7

a « 1 — du^ . . .

Par l’intégration des équations différentielles simultanées (2) et (6), on trouve r et « en fonction de u. Le même résultat peut être obtenu en résolvant ^3) et (7) par rapport à r i et «i, et calculant ensuite r et « à l’aide des relations trigono-

métriques

ri — H- — 2r^xRsinu—x^ (8)

r sin a == r i cos a-i (9)

Si les valeurs trouvées pour r et a sont substituées dans(l), Q est exprimé en fonction de u et de v. On peut déterminer les constantes des intégrations en admettant que le mouvement commence au moment où w == 0, et qu’alors « zn «q, r

= et r i z= (r i)o. Les grandeurs «q, , et (r i)o

sont déterminées par la position du point P dans le plan de la courbe K.

L’égalité des arcs que le point A parcourt sur les deux courbes K et K' est exprimée par

ru ro

I Relu = R' dv^