Tableau des différentes formes des courbes cycloïdiques

Pour finir, nous donnerons un aperçu général des différentes formes dont il a été question dans ce qui précède. Nous nous attacherons surtout à montrer comment chacune de ces formes se transforme en une autre , et à cet effet nous ferons varier le rapport a :b de 4- oo , en passant par 1 : co , jusqu’à — oo .

1. — z=z oo . Développantes du cercle (fig. 9). Les points généb

Archives Néerlandaises, T. XIV.

66 H. ONXEN. XOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

rateurs situés au-dessous de Aj, forment des développantes de cercle allongées , avec un sommet minimum positif pour sommet initial. Ce sommet est plus petit à mesure que le point générateur est placé plus haut , et il se transforme en un point de rebroussement quand le point générateur se trouve en A^ et décrit par conséquent la développante ordinaire du cercle. Les points situés entre Aq et donnent des développantes r«ccoMrcies du cercle, avec deux sommets et un point d’inflexion, à savoir : 1°. un sommet minimum négatifs qui devient de plus en plus grand; 2°. un point d' inflexion^ qui d’abord s’éloigne d’autant plus de ce sommet initial que le point générateur est placé plus haut, mais qui ensuite se rapproche de nouveau de ce sommet , pour se confondre enfin avec lui en un sommet maximum à rayon infini; 3^. un sommet minimum positifs qui s’éloigne de plus en plus du point d’inflexion.

Vient maintenant la partie , où se trouvent les points

qui engendrent des développantes de cercle raccourcies, à deux sommets , mais sans point d’inflexion. Le sommet initial a changé de signe en traversant x ; il est donc devenu positif et , en outre , sommet maximum. Le sommet intermédiaire est resté sommet minimum. La distance de ces deux sommets continue encore quelque temps à augmenter, mais ensuite ils se rapprochent de nouveau assez rapidement l’un de l’autre; le premier croît , le second décroît , et finalement ils se confondent , au point Qo, en un sommet minimum positif.

Les points situés au-dessus de Qq donnent naissance à des développantes de cercle raccourcies n’ayant qu’un sommet initial^ lequel est un sommet minimum positif, d’autant plus grand que le point générateur se trouve plus haut.

Si, pour chaque position de la courbe génératrice iT, on détermine les intersections de la droite des points générateurs avec le cercle des points d’inflexion et avec le cercle des sommets, on obtient les lieux géométriques de tous les points d’inflexion et de tous les sommets intermédiaires. Ces lieux géométriques sont indiqués, dans cette figure comme dans les autres, par des

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

lignes pointillées. A cause du contour piriforme qu’ils affectent souvent , nous les appellerons , pour abréger , des ])oires. Dans la fig. 9 , la poire des sommets intermédiaires a un beaucoup plus grand ventre que la jjoire des points dHnflexion.