NOMBRE DE FOIS

qu’avec un nombre donné de dés, on peut jeter une somme donnée; et sur une application de cette règle,

PAR

D. BIERENS DE HAAN.

1. Dans les jeux qui se jouent avec un ou plusieurs dés , le plus grand rôle appartiennent ordinairement au nombre des points jetés: c’est-à-dire, à la somme des chiffres (1 à 6) qui se trouvent être amenés dans les plans supérieurs de ces cubes. Or, cette somme peut quelquefois se composer d’éléments bien différents. La probabilité Wg d’avoir un nombre de points donné g est un problème de la théorie des chances à priori , puisqu’on peut déterminer par l’analyse tant le nombre N de tous les cas possibles , que le nombre % de cas favorables, où le nombre des points revient justement au nombre donné g. On voit qu’il s’agit ici d’un problème de la théorie des combinaisons de classe donnée, à somme donnée, avec exclusion de quelques éléments.

2. Commençons par les cas les plus simples , d’abord par celui d’un seul dé. Alors pour chaque nombre 1 à 6 , on a % = 1 ; tandis que Nz=i ^ rig 6. Par conséquent , pour g égal à 1 jusqu’à 6 , on a toujours

Prenons deux dés, ce qui donne N = z=: 36. On a les coups

suivants , où le premier chiffre vaut pour l’un des dés , le deuxième pour l’autre.

3 +-jl — 4

1 + 2zz3

On en conclut que le nombre de points

^ 2 peut être amené 1 fois ,

3 peut être amené 2 fois,

4 peut être amené 3 fois,

5 peut être amené 4 fois,

6 peut être amené 5 fois,

7 peut être amené 6 fois,

8 peut être amené 5 fois,

9 peut être amené 4 fois ,

10 peut être amené 3 fois,

11 peut être amené 2 fois,

12 peut être amené 1 fois,

dont la somme est 36 fois.

On voit en premier lieu que l’on ne saurait jeter moins de 2, ni plus de 12; ensuite qu’on a la Telation

Ug = n\2+%—g = nu-g ;

que les % croissent jusqu’au maximum ; et que les ng sont la suite des nombres naturels. Au moyen de la division par 36 , on peut aisément en déduire les probabilités

OD DD y

3 11 gg 18 16 * 36

Mi4=M),„=A Ji= 0.08333, w. = — = - = 0.16667.

3. Enfin , soit trois le nombre de dés. Alors ona^rz:6^=216, et le somme des points a pour limites 3x1 = 3 et 3x6z=18. Or , on peut obtenir chaque somme de diverses manières , comme il ressort de la table suivante , où les trois colonnes valent pour les trois dés , et où l’on a mis ensemble les coups qui mènent au même nombre de points.

ÏÏÎ

Dans cette table , tout comme dans celle du 2 , les rafles ,

c’est-à-dire les coups où deux ou trois dés donnent le même nombre, sont imprimés en type plus fort.

Il s’ensuit que le nombre

peut

être

amené

fois,

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois,

peut

être

amené

fois,

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

peut

être

amené

fois.

dont la somme N 216 fois.

Ici encore on a relation manifeste

rig Z=Z n\S+^—g = mi^g ;

les ng croissent jusqu’à = 27 = ^ pour décroître ensuite;

mais la formation des nombres % n’est point évidente.

Pour en déduire les probabilités , il faut diviser par N = 6^ = zz: 216 = 2* %; et c’est ainsi que l’on obtient

tv,=tv.,= = ~ =0.021im,

WyZ=w,,=— = ^ = 0Md44U ’ 216 72

w.=zw, = 0.0972222 ' '' 216 72

îVa = iv,.=— =0.1157407

iv,o—i«t, — 216~ 8 “ ■

4. Nous venons de voir que, déjà pour trois dés, la loi que suivent les nombres % n’est point évidente ; au lieu de la chercher , passons plutôt tout de suite au cas général, et posons-nous la question suivante. Soient k dés: quel est le nombre n^g.k) de cas où l’on obtient un nombre de points g? Puisque le nombre de tous les cas possibles est ici iV' = 6^ , on a pour la probabilité du nombre g

xog ■= n{g, i) : 6^.

D’après le théorème de Bernoulli relatif au calcul des probabilités, si l’on prend le développement

Q = {iv^a H- w‘^b + IV^c H- -i- IV^^e -h ^

on trouve tous les cas favorables pour le nombre g de points jetés, dans les termes iVa^'- wb^ tVc^' tvd!^ iVe^ iVz^ où l’on a «+(5+ /-(-ô + 6H“Ç = ^. Donc la somme des coefficients polynômaux respectifs donnera le nombre de fois que la combinaison voulue a lieu: mais ce nombre ne changera pas, lorsqu’on prendra tous les Wi égaux à un seul iv. Dès lors on trouve

Q'zz.w^ (1 H- -V- = lü^

Mais

= îv^ (1 — w^y (1 — w)—^.

(1 — W^yz=z \ ^

kk — 1 k — 2 J 3

Afin de trouver dans le développement tous les termes à facteur iü9-=ziü^io9—^^ il faut chercher dans le produit de ces deux séries les termes à facteur w9~^ ^ à savoir

h R iv^

-h îü

kk — \ k — 2 1 2 3

\g~k—\2)fl

Donc la somme cherchée donne ici

riig . k) =

\ Ig-k-^/l

kk—\ k9-k~n/\

lg—k~n/l

Jck—lk~2 k9-^-i^/^

l ^~2 3~ Jÿ-i-is/i

Cette série s’arrêtera aussitôt qu’une des facultés numériques deviendra zéro ou négative.

On peut réduire encore, dans chaque terme, le quotient des facultés à un coefficient de binôme respectif, lorsqu’on multiplie son numérateur et son dénominateur par : l9-^—^^/^-

car alors on trouve

kg - k-6a/l 1— 6a/l l)/î:— 1/1

Ig —k — 6«/l \k~l/l \g—k — 6a/l \k — 1/1

La formule (1) devient donc

Le dernier terme serait ( — k^ \ ; mais puisque

toujours g ^ 6A;, on a g — ^k — 1<0; par suite ce terme

s’annule ,

et c’est le précédent, ( — 1)^—1

■G-oe-i-n

qui termine la série. Elle devient donc

où, dans l’application, il faut omettre tous les termes où les puissances g — 6 A: — 1 deviendraient négatives.