Maintenant, tâchons de démontrer la relation
n{g.k) = n{u+Jc~g.k) = nçik—g.k)-
D’après la formule (1), le premier terme du développement de Yngk—g.k) est
ygk-g-k/\ ^ k^h-g fl ^ xu~g-\/\ (6A; — ^ + 1)^-1/^
Yik—g—kj\ 16^ — g j\ 1^— 1/1 \^k~g /I ^k—} /I
et le terme (k — a-hl)ième, sauf le facteur ( ^
\k—aj \aj
^ ^ ik—\/l \ J \ J \k-l/l
Donc on voit que les termes de la série (2) se reproduisent en ordre contraire, avec des signes opposés. Mais, comme on va le voir, cette série doit être égale à zéro, aussitôt que l’on ne rejette pas le dernier terme; par conséquent, ce dernier terme, avec le signe opposé*, sera égal à la somme de tous les termes précédents. Or, cette somme dans la seconde série est
( — 1)^^^ 1 a = c’est-à-dire
qui en réalité est le premier terme de la série (2).
Pour les termes suivants , cette propriété est démontrée d’une
manière absolument analogue: de sorte qu’il en ressort la vérité de la relation n^g^u) = en supposant que la somme
de la série (2) est bien zéro.
Pour k = 2 on a ^ < 12 , par suite
tandis que pour on trouve zzz g — 1 ,
et pour 7 ^ 12 de même ={g — 1) — 2{g — 7)=13 — g.
Pour A: = 3 on a ^^18, donc
= M(5'-l)(S'-2)-3(5r 7)(ÿ-8+3(5f— 13)(5t-14)- (^f-19^— 20)] = 0; mais pour 3 < ^ < 8 on la trouve = | (g — \){g — 2) ,
La sérié totale pour n{g,k) s’annule donc réellement pour les valeurs spéciales 2 et 3 de h. Dans le cas général, il est clair que cette série ne peut s’annuler que lorsque s’annulent tous les coefficients de chaque puissance de g — lz=.g. Afin de faire voir que cela arrive en effet, prenons a au lieu de 6, puisque cette généralisation aidera plutôt à rendre la démonstration plus évidente 5 et multiplions par l^~i/i, alors nous aurons
Mais, comme on le sait,
q^/-^=q^~q , = g4 6î3+llj2— Qq ,
• q[i/- 1=2»— 3j2 + 2g , g6/-l — g5 IQgB + 35j3 5Qg2 + 24q ,
par conséquent, on doit avoir en général
gM/.i=gi-i A^.2gi-2 ^ Ai-32^-3 + . . Aiqi + . . + A,2,
OÙ les Am sont les coefficients de faculté pour le (Zj — l)ième ordre.
Dès lors on trouve les termes de puissance qui résultent du développement des facultés dans la série (4), suivant cette dernière formule , successivement comme suit :
qk—\/~\ y contribue +( —
— 1/— ly contribue
-\~Ak-
(j^k l 3 j — 1)^" ^ — ^Al
— 2«)^— 1/— 1 y contribue
( — l)k — ka)k—^/—^ y contribue
Prenons-en la somme par colonnes, et nous trouverons pour le coefficient de quelque Ak—s
ggti.)
Maintenant posons le développement connu
\v -^2vx-^^vx^
D. BIERElSrS DE HAAN. NOTE SUR LE NOJÆBRE DE FOIS , ETC. 379
OÙ [xp-^ est une fonction connue de degré ^ -1. Multiplions-le par l’autre développement connu du binôme
alors le coefficient du terme dans le produit sera
[k—2)P— Qj {k — 3)p... + {— 1)^-1 J j iK
Multiplions de part et d’autre par (1 — : alors au premier membre ce coefficient deviendra celui de xP+^: mais au second membre la plus grande puissance est lap — lième* par conséquent ce coefficient devra être zéro pour toute valeur de k depuis zéro.
Or, prenons p-=zk — l — s et multiplions par ( — ly-, le résultat coïncidera pour le coefficient réduit de quelque Ak—s. Par suite , la sérié totale pour vi{g,k) s’annule en effet , comme nous venions de le supposer.
6. Mais , pour le calcul des nombres n^g k) dans une table , on peut trouver des voies plus faciles.
En premier lieu , la série (2) devient pour ^ 1 , au lieu de g ,
\lj
Pour prendre la différence des deux séries (2) et (5), observons qu’on a
et
(g--6ay-i/~i __ (g— 6a) (g—6a—l)&-2/-i Ik-l/l 1^— l/l
__ (g-ea-.i)k~2/-i ^
1^— 1/1 ik~i/ï ’
de sorte que la différence des deux fractions correspondantes devient, après réduction.
(g—ea—l)^-2/-i
lk—2/l
Par conséquent on trouve
=(n)-(î) (U) - © tï) - *«>
Ensuite, si dans la série (2) on change k en Æ+1, il viendra
i*/i V 1 ) i*/i V 2 y ivi
Afin d’effectuer ici la soustraction des deux séries (2) et (7), observons d’abord que
\ a ' P7i “ Wi P/ï ’
li-i/i — \a/i ■ P7Ï ’
et que par suite la différence des ternies correspondants donnera
K‘ + 1) to - +«)•];
or, ceci n’a pas lieu auprès du premier terme, où au contraire cette différence devient
li/1
[{g-k)-kl
Finalement, on trouve donc
+ [(fc + 1) (y - 2 Æ) - 2 (5 + 6)] - . . ■ (8)
Les deux formules (6) et (8) , mais surtout la première , sont très propres à déduire les nombres n^g.k) successivement des valeurs déjà connues. De cette manière, on a calculé la table suivante.
TABLE POUR n^g.ky
382 D. BIEREÎfS DE HAAN. NOTE SUR LE NOMBRE DE FOIS , ETC.
7. Dans l’emploi de cette table, il ne faut pas oublier que n{^.k) désigne le nombre des cas favorables parmi 6-^ cas possibles. Lorsqu’on trouve, par exemple,
^(4.2) =: n(4.3) = 3, n(5.1) = M(5.5) = 1, n{h.2) =fl{hA) = 4,
les probabilités correspondantes, où il faut diviser ces nombres respectivement par 6^, donneront des résultats tout différents.
Au contraire, on trouve une probabilité égale dans le cas suivant.
«^(14.3) = — r= — et it’(i4.5) =
de sorte qu’il est tout aussi probable de jeter 14 avec 3 dés qu’avec 5 dés.
L’observation que l’on vient de faire à l’égard de l’égalité de quelques n(g.k) , on la trouve confirmée par la formule (8) , dans le cas de g pair; puisque alors, au premier terme, le facteur [g — 2k) s’annule pour g = 2k. Dans le second terme , au contraire , le facteur {k-\-l)(^ — 2k) — (5^'+6) devient = — {bk + 6) ; mais la faculté {2 k — 7)/t— i/-i a pour dernier facteur {k — 5), de sorte que cette faculté s’évanouit pour toutes les valeurs A: < 5. Lorsque ensuite il vient 2â;> 10, ce second terme y reste, et plus tard encore les termes suivants. Par conséquent, on ne saurait avoir n(2g.&) "= 7i(2g.&+i) pour une valeur A;>5; les cas mentionnés sont donc les seuls.
Maintenant passons à une valeur g impaire: et à cet effet cherchons la différence de n{ÿ.k+2) et U[jg.k)> On a d’abord
{g 1)*+1/-1 +2\(ff- 7)i+l/-l
li + 1/1 1 ) li+1/1
fk + 2\ (g — 13^+1 /-I
Par suite, on a généralement
k + 2\{g — 6a— l)i+l/-l a ) li+i/ï ~
la/ip+l/l’
^ i«/ii^+i/r
Or, puisque ces deux résultats contiennent le facteur A; H- 1 , leur différence donne
+ (35/fc H- 72) + {14^:^ + 33^; + 12) a] ;
tandis que cette meme différence devient pour le premier terme
[(fc+2) {g — 6a — k — 1 )(g — 6a — k) —
— {k~a+\)Qc — a + 2) k]=.
(g — 2fc — 1).
Par, conséquent on trouve la formule générale
Cette formule nous fait voir que , pour ^ = 2Â; + 1 , le premier terme s’annule; dans le second terme on a
— 12 (ÿb + 2) ^ -h + 68A: + 84) = — q- SA: + 60;
mais la faculté (2A; — 6)^-1/— ^ a pour dernier terme k — 4; donc cette faculté s’annule pour k <4^.
Mais lorsqu’on a ^ zz 2A; + 1 > 9 , ce second terme ne s’évanouit plus, et plus tard il en est de même pour les autres termes. Par conséquent on n’a jamais W(2^r+i./fc) = ^(2^+i./t+2) , depuis le moment où k devient plus grand que 4; et ainsi les cas cités plus haut sont les seuls possibles.
Si l’on rapproche les deux discussions précédentes , on en déduit la conséquence que la relation zz n(ç./c-\-i) ne pourra se réaliser en général , sauf dans les cas où , bien fortuitement , les termes des deux séries respectives se détruisent arithmétiquement.
8. Appliquons la théorie précédente à un jeu de hasard anglais, nommé krahs^ que l’on joue avec trois dés.
Appelons A le joueur ou banquier, ici le tenant^ qui tient le cornet aux dés , et B son antagoniste , le servant , qui après chaque coup remet les dés dans le cornet. On a ici les règles suivantes.
a. En premier lieu A jette les dés, pour livrer la chance de B: ce sont seulement les nombres 8, 9, 10, 11, 12 ou 13 qui peuvent y servir; les autres coups ne comptent pas.
b. La chance de B étant livrée, le tenant doit se couvrir ^ en jetant pour lui-même.
Lorsque le nombre amené est le même que la chance du servant B, déterminée suivant la règle a, le tenant A fait une répétition, et il gagne.
Vis-à-vis de cette chance de gagner , il doit se trouver des chances de perte. C’est à quoi servent les krabs^ c’est-à-dire les coups 3, 4, 5, 6 et 15, 16, 17, 18. Mais ces krabs valent d’une manière différente, suivant les divers cas de la chance du servant B.
c. La chance de B étant 10 ou 11, par la règle a: alors le tenant A gagne lorsqu’il jette respectivement 10 ou 11 (comme
D. BIERENS FiE HÂAR. NOTE SUR LE NOMBRE DE FOIS , ETC. 385
répétition), ou lorsqu’il jette le krabs 15; il perd, au contraire , lorsqu’il jette les autres krabs, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18.
d. La chance de B étant 9 ou 12: alors le joueur A gngne lorsqu’il se couvre par une répétition 9 ou 12, ou bien par le krabs 15: mais il perd par les autres krabs 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18.
e. La chance de B étant 8 ou 13: alors le tenant gagne en jetant 8 ou 13, une répétition, ou bien le krabs 16; mais pour les autres krabs 3, 4, 5, 6, 15, 17, 18, il perd.
f. Mais lorsque le nombre jeté est autre que les nombres cités , il devient la chance du tenant A ; et comme , après la soustraction des krabs , qui toujours finissent le jeu dans l’un ou l’autre sens, il reste encore les nombres 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et 14, le tenant A a deux chances de plus que le servant B pour se couvrir.
A partir de ce moment, on ne tient plus compte des krahs ou des répétitions.
g. Le tenant A gagne ou perd, selon qu’il jette d’abord sa chance , ou la chance du servant B.
h. Seulement dans le cas où A perd , il passe les dés à B , qui est obligé d’accepter la partie.
Il nous faut chercher maintenant la probabilité de gain pour le tenant A, quand il jette un des nombres suivants 8, 9, 10, 11 , 12 ou 13.
