Hypocycloïdes extérieures^ à cercle des

sommets situé en dehors. Figure 10. Tandis que dans les développantes du cercle , à partir du sommet initial ou à partir du sommet intermédiaire quand celui-ci existe , le rayon de courbure croît indéfiniment, dans les courbes cycloïdiques actuelles et dans toutes les suivantes il se forme en outre un sommet terminal^ lorsque le cercle générateur a accompli une demirévolution. Ce sommet terminal est toujours un maximum positif. Son existence constitue la différence caractéristique entre ces hypocycloïdes et les développantes du cercle; les sommets initiaux , les points d’inflexion et les sommets intermédiaires présentent, chez toutes ces courbes, les mêmes variétés. Mais, tandis que pour les développantes du cercle le diamètre du cercle des points d’inflexion était toujours égal à une fois et celui du cercle des sommets toujours égal à trois fois le rayon du cercle directeur, ces diamètres deviennent maintenant plus grands et croissent à mesure que le cercle générateur devient plus petit. Le diamètre du cercle des points d’inflexion approche de celui du cercle directeur; le diamètre du cercle des sommets croît indéfiniment. En même temps , les poires des points d’inflexion et des sommets intermédiaires changent de forme. Elles s’allongent les unes et' les autres. Seulement, tandis que l’angle de révolution pour ^ lequel se forme le point d’inflexion le plus éloigné reste toujours plus petit que arc sm 19° 15' environ , la limite vers laquelle tend l’angle de révolution qui fournit le dernier sommet intermédiaire est 90°. La poire des sommets intermédiaires se dilate donc indéfiniment^ tant en longueur qu’en largeur

3. ? z= 2. Courbes cardidides. Figure 11. Le diamètre du cercle h

des points d’inflexion et celui du cercle des sommets ont atteint

68 H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

les limites indiquées ci-dessus. Le premier est devenu égal au diamètre du cercle directeur, sans que la poire des points d’inflexion ait subi pour cela un changement de forme bien marqué. Quant au cercle des sommets, il se change en ligne droite, et par suite la poire des sommets intermédiaires reste ouverte. Il y a , en effet , à mesure que le cercle générateur se rétrécit , un plus grand nombre de points qui sont mis en état de former un sommet intermédiaire, et, à la limite actuelle, cette propriété est acquise à tous les points qui engendrent des cardioïdes raccourcies. La poire des sommets intermédiaires devient en conséquence une courbe qui se rapproche asymptotiquement de la direction de la tangente commune à l’origine du mouvement ; car la valeur limite de l’angle de révolution u , pour laquelle se forme le dernier sommet intermédiaire, est 90°; et lorsque le cercle générateur^ a effectué le quart d’une révolution , la tangente commune est parallèle à sa direction primitive et, en même temps, à la droite des points générateurs.

Toutes les cardioïdes raccourcies ont donc un sommet initial^ un sommet intermédiaire et un sommet terminal.