Dans son célèbre Mémoire: a general methoà in
d^jnamics‘\ ‘ ) Hamilton a montré que dans les phénomènes de mouvement il est en général possible d’assigner une fonction , soit des coordonnées seules soit des coordonnées et du temps , de laquelle se laisse déduire par une simple différentiation tout ce qui est nécessaire pour la connaissance du mouvement. Celui-ci est donc complètement spécifié par la forme de cette fonction, que Hamilton appelle, en conséquence, la fonction caractéristique.
Plus est remarquable le fait que l’existence d’une pareille expression peut être démontrée en général , plus on doit regretter que la détermination en reste toujours entourée de difficultés extrêmes , même dans des cas très simples , où la forme cherchée offre déjà une assez grande complication.
C’est principalement à Hamilton et à Jacobi que l’on doit l’indication de la voie à suivre ; il résulte de leurs travaux que la fonction en question peut être obtenue par l’intégration d’une équation aux différences partielles du premier ordre, non linéaire. Jacobi
) Phil. Transactions of the Royal Society of London, 1834 et 1835.
surtout a puissamment contribué à rendre cette intégration exécutable , et il a même indiqué pour cet objet une méthode générale.
Par une marche toute différente, où Ton part d’une forme intégrale donnée par définition, on reconnaît que dans beaucoup de cas simples de mouvements la détermination de la fonction caractéristique s’obtient très facilement. Dans le cas d’un point matériel (auquel nous nous bornons ici), il suffit, en effet, que le mouvement soit convenablement décomposé suivant deux directions perpendiculaires entre elles, de façon que, par l’application des principes fondamentaux de la dynamique, on puisse donner une forme simple à l’expression de la force vive dans une de ces directions; une transformation, qui se présente d’elle-même, conduit alors immédiatement au résultat désiré.
Nous considérerons successivement trois cas importants de mouvement.
2. Prenons pour premier cas le mouvement , dans un plan vertical , d’un point matériel soumis à la seule action de la pesanteur.
Déterminons le mouvement par rapport à deux axes de coordonnées X Qt Z ^ l’un horizontal , l’autre vertical , ce dernier dirigé dans le sens de la pesanteur , de haut en bas. En désignant alors par V la fonction caractéristique et par T la demi-force vive du point , nous avons , d’après la définition donnée par Hamilton ,
F=2 ^Tât (1)
intégrale qui doit être prise entre 0 et t.
Si les demi-forces vives dans la direction horizontale et dans la direction verticale sont représentées respectivement par T, et 2^2 , on a
F = 2| T,dt + 2j T^dt
OU
rp m /dx\^ ^ m fdz\
‘"”2 W/’ ^~^2\dt)
132 C. H. C. GRIXWIS. SUR LA DÉTERMIXATIOX SIMPLE
et
dt=.dx\J ~-=dz\J
de sorte que l’équation (2) se transforme en
V = J v/2m r, dx + J y 2m dz (3)
Remarquons maintenant que la vitesse horizontale et par conséquent Tj sont constantes, et posons \/ 2 m appliquons
ensuite le principe des forces vives, d’après lequel, si U représente la fonction des forces, on a
T — U z=z constante.
Il vient alors
et (3) se change en
V = ^x + I \/ 2 m {H+ U) — P de,
OU, à cause de U-=z7ngz {g étant l’accélération de la pesanteur) ,
V + J dz\/ 2 m (H ^ mgz) — ^ \
En exécutant cette intégration , on trouve pour la fonction caractéristique relative à ce cas:
comme il le fallait, elle contient deux constantes, et H.
Si , pour abréger, nous faisons 2 m H — , l’équation (4)
devient
DE LA FOISCTION CARACTÉRISTIQUE
3. Le mouvement du point s’obtient par la différentiation de F. Comme on a
= m (x''^ + y'^)^ nous poserons d’abord
dT , dT ,
— zzzm X zzz m V. z= p. z=zmu-==:mv^=p^\
dx' ' dy' ^ 2 i'2,
conformément à la théorie développée par Hamilton, tout ce qui concerne le mouvement du point est alors déterminé par les équations suivantes:
\/h'^-h2m^gz=zt^C. . .
^ 2mP‘ gz=p^=zmv^ . . .
OÙ 6 et (7 représentent des constantes qui, de même que B et LT, sont déterminées par les conditions initiales.
De ces quatre équations, (5) donne la trajectoire, (6) la relation entre 2: et t. Pour l’appréciation du mouvement, ces deux équations pourraient suffire; mais les éq. (7) et (8) donnent directement les vitesses et dans les directions horizontale et verticale.
Soit a la vitesse initiale pour 2 = 0, vitesse faisant un angle « avec la direction horizontale ; (7) donne alors
mvy HZ m a cos a ^ constante , ainsi qu’on l’avait regardé comme connu.
(8) donne, si pour on pose v^-=zv^=a8ina^
2 g z’=za‘^ sin- a + 2 gz'
puis
=z 2m H — P z=. 2mH — m^a’^cos^ a = = m‘^a‘^sin'^u
d’où
rr ma^
de sorte que cette constante est indépendante de la direction de la vitesse.
L’équation (5) donne pour la trajectoire
a cos a / — ô ; — X — 7
X — \/ sin^ « + 2 ^ ^ = 6 ;
en déterminant h de manière que la trajectoire passe par l’origine, on obtient
cos a sm a
sin 2 a
la trajectoire devient alors
sin 2 a a cos a
OU, en développant.
z-=: xt g a +
\/ sin"^ a 2g Z
gx^
2 cos’'- a
Si -a; et ^ sont pris en sens opposé, on a
z = xt g a — — ,
2 a’^ cos"^ a
équation connue de la trajectoire des projectiles dans le vide. Enfin, (9) donne
DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE
OU , en déterminant C de façon qu’on ait ^ = 0 lorsque le point se trouve à l’origine,
sin^ a + 2 g z-=L [g t + a sin a)^ , z = v^t
4. Comme second cas , nous choisirons le mouvement d’un point matériel autour d’un centre d’attraction.
Si l’on prend ce centre pour origine de coordonnées polaires r et qp, la demi-force T sera exprimée par l’équation
m (dry m , (d,^y
2 \dt) +2 \Tt) ' ^ '
OÙ M est la masse du point attiré.
On peut regarder ce mouvement comme composé de deux mouvements partiels : pendant que le rayon vecteur tourne autour du centre , le point se déplace incessamment le long de ce rayon , et en vertu de ce dernier mouvement il accomplit, lorsque la trajectoire est fermée, une oscillation à chaque révolution successive. Désignons par T, la demi-force vive de ce mouvement d’oscillation, et par celle du mouvement de révolution; on a alors '
et l’équation (1) donne
T= T, + Tj,
T (dry
' 2 \dt) ' 2 \dt) ' ' '
En admettant comme démontré pour ce cas le principe des aires, on a
- (rî) = «• «
OÙ C est une constante. De (2) il résulte alors
Tj =- — (4)
Pour la fonction caractéristique on aura, comme précédemment,
V zn 2 |* T ^ d t “1- 2 J' T 2 dt ^ c’est-à-dire , à raison de (2) et (3) ,
= ^\/2mT^dr-\-mCjd(f (5)
Du principe des forces vives il suit de nouveau, si U est la fonction des forces et H une constante,
T— U=H ou
et , en posant m C = a,
2mT,=2m(H+U)—— (7)
Supposons que la force qui agit sur m, soit attractive et en raison inverse de la puissance nième de la distance , c’est-à-dire
F ; nous avons alors
rn
U={Fdr=
et l’équation (7) se change en
2mT,=2m(H+
DE LA F0:NCTI0N CARACTÉRISTIQUE
Il en résulte pour la fonction caractéristique
V = fdr\/ 2m -f! +«<P- • (8)
Elle renferme les deux constantes H et «.
5. Si a et ô représentent maintenant de nouvelles constantes,
que et soient désignés par r' et gj' , que indi-
cé t d t
quent les vitesses des deux mouvements , et qu’on pose , en outre , d T . . dT
et = mr^ (p' — mr = p d cp'
le mouvement sera complètement déterminé par les quatre équations suivantes:
\rn—lj
= t-hb,..{10)
Gt)=v'^” -1^=»-. ('■>
L’équation (9) donne la trajectoire; (10) conduit au principe des aires (qui toutefois avait déjà été admis par nous); (11) détermine le mouvement le long du rayon vecteur, et par suite la valeur de Tj ; (12) donne v^. Etudiées de plus près, voici ce que ces équations nous apprennent:
Ciomme on a w=zmC^ l’éq. (9) donne
dr
2 if”. 2 II 1
Il est facile de montrer que le rapport
est de la dimension
[2>— 3] ^ où [L] représente une dimension linéaire ; nous avons en effet pour les dimensions , quand [3/] désigne la masse et [ T] le temps,
F= — ^ = [MLT-^],
ru
donc
et attendu qu’on a
il s’ensuit
JL. = [Z,"-3] ;
si l’on pose donc , h indique une dimension linéaire.
La trajectoire est alors donnée par l’équation:
V mC‘ ^ n — l\rj
Pour l’attraction conformément à la loi de Newton , cette équation devient
dr
en y faisant
DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE
où e est un nombre, on obtient d r
d’où
dr
]^2 ' Jcr
J. r k q) — az=z ±f cos î
k^ \r kj
- cos (cp — a) =
1 e cos (cp — a)
ce qui est, comme on le sait, l’équation polaire des sections coniques, quand le pôle est placé au foyer.
Nous avons dit que l’équation (10) conduit à l’équation des aires. On a en effet, en différentiant (9) par rapport à r:
adr ,
m fl
et en transportant cette valeur dans l’équation (10),
fr^ dcp . , 7
ou, à cause de a = m
r‘^ d (pz= C dt ^
expression connue du principe des aires, pour le cas actuel. L’équation (11) donne:
^ — Ha-
Mfl
mC^
résultat conforme à celui trouvé en (6). On en déduit
f TJ, n m
ou , après différentiation ,
r» dp
c’est-à-dire ,
\dt) dP ^
formules connues du mouvement curviligne.
Enfin, (12) donne
p^=:mrv2=ciy
Const,
expression de la vitesse de révolution du point qui se trouve à la distance r du centre.
6. Prenons pour troisième cas le mouvement d’un point pesant sur la surface d’une sphère. Supposons l’axe des 0 dirigé dans le sens de la pesanteur, les axes des x et des y horizontaux; a étant le rayon de la sphère, déterminons la position d’un point par des coordonnées sphériques 9 et de façon que
x = a cos (p cos yj y a sin qj cos ip.
z = a sin ip.
Nous avons alors
dx
dt
dy
dz d(p , dxp
d t dt
x' ■= — a (q)' sin q cos ip y' zn a (q' cos q COS xp z' z=z a q' cos q ,
et en conséquence, pour la demi-force vive du point.
dt dt
- q' cos q sin q)
- q' sin q sin q)
rr / /î . /2 , /•)\ mcP , ,
