X TT

vecteur en une seconde est alors = ^ M = t ^ s ,

si s représente la vitesse linéaire de la Terre en une seconde. Nous avons donc

s = \/ 1 2 e cos V e‘^ ,

Appelons maintenant S la vitesse de la lumière , A la distance de l’étoile, l la grandeur du déplacement apparent de l’étoile dans un plan parallèle au plan de l’elliptique; on a

l = — = -^4 X \/ 1 2 e cos V e^,

S sTs/l — e^

La direction dans laquelle s’opère ce déplacement est indiquée par l’angle HJ C que la tangente fait avec le grand axe de l’orbite terrestre'; cet angle est évidemment z=.v 90^ —

Si donc , dans la fig. 2 , on fait l’angle A' F' C égal à cette valeur et F' C C sera le lieu où l’étoile paraît se trouver. Les

coordonnées de ce point sont

C D' T=x= — Isin^D — i q) ,

F' D' = y -=z Icos {v — \ q).

A l’aide de la valeur donnée ci-dessus pour cos ^q on trouve aisément

sin ^ q =

e sin V

puis

\/ (1 2 e cos V + e^)

sin (v — ^ q)-=.

sin V

cos {v — i ^) =

par conséquent

x = — Ax —

\/ (1 -h 2 ecos V 4- e‘^)

cosv e \/ (1 2 ecosv

2iTa

sin V

148 J. A. C. OUDEMANS. SUR l’oRBITE ANNUELLE, ETC.

yz=i A X . (cos V 4- e).

A la rigueur, A n’est pas constant, attendu que la distance de l’étoile au Soleil change à raison de la révolution de la Terre autour du Soleil ; mais , vu le grand éloignement des étoiles fixes , la différence est tout à fait insensible. Elle disparaît même entièrement quand on ne considère que le déplacement angulaire; si,

en effet, nous prenons chaque fois pour unité un déplacement qui, vu de la Terre, se présente sous un angle de une seconde , les expressions trouvées doivent être divisées par Asin\\ et en posant

2 TT a

S Tsin

nous obtenons les deux équations simples

xz= — « sin V ■=. a cos {v + 90°) ,

îj ■=. U cos V A- CK e = U sin {v A- 90®) + « c ,

qui impliquent les propositions énoncées ci-dessus. Dans la seconde de ces équations , « c est égal à la ligne B' F’ de la figure ; en d’autres termes, c’est l’excentricité de l’orbite apparente circulaire de l’étoile, excentricité qui, par rapport au rayon a, est la même que celle de l’orbite terrestre.

Toutes les étoiles paraissent donc parcourir un cercle excentrique pareil à celui que représente la fig. 2 ; dans tous ces cercles l’axe B ' F' est dirigé du même côté , à savoir , perpendiculairement à la direction du grand axe de l’orbite terrestre.

Il suit de là que l’orbite apparente , que chaque étoile décrit en ■ vertu du rapport existant entre la vitesse de la lumière et celle de la Terre , est une ellipse ayant un demi-grand axe = « =

2 TT a

S T sin 1" ’

dirigé parallèlement à l’écliptique, et un demi-petit axe égal à

J. A. C. OUDEMANS. SUR l’oRBITE ANNUELLE, ETC. 149

cette même quantité multipliée par le sinus de la latitude de l’étoile.

Pour trouver de combien l’étoile est déplacée au ciel par l’effet de l’aberration , nous désignerons la longitude de l’étoile par À, la latitude de l’étoile „

la longitude du Soleil „ L,

la longitude du périgée du Soleil par JJ, on a alors : 'V‘=: L — JJ.

Yu de la Terre , le cercle que l’étoile semble parcourir se présente comme une ellipse , dont le grand axe , couché le long du parallèle de latitude , est z=z A a ^ et dont le petit axe , perpendiculaire à ce parallèle, est z=: Asin^^ celui des diamètres du cercle qui ne subit pas de raccourcissement par la perspective, et qui coïncide par conséquent avec le grand axe de l’ellipse, est perpendiculaire à la droite qui joint la Terre à l’étoile, et a dans ce cercle une direction allant de X — 90° à À + 90°. Le centre du cercle est à la distance ^ ^ de l’étoile , dans la direction

II — 90°. Projetée sur le susdit diamètre non raccourci, l’abscisse de ce centre est donc + A aecos [II — À) et l’ordonnée Aaesin [Il — À). Vue de la Terre, cette abscisse donne une différence de longitude de a ^ cos (Il — X) séc (î , et cette ordonnée une différence de latitude de aesin{II — X)sin^ ^ expressions qu’on trouve aussi , mais obtenues par une voie analytique plus détournée , entre autres dans le Cours d’astronomie de M. Dubois, 2e éd. (1877) p. 530. Pour un espace de temps qui ne soit pas démésurement long, on peut regarder ce déplacement comme invariable, quoique en réalité , et abstraction faite de tout mouvement propre de l’étoile, il soit dépendant de la ‘direction du grand axe et de l’excentricité de l’orbite terrestre, ainsi que de la situation du plan de l’écliptique, tous éléments sujets à des variations lentes. Du reste , le coefficient « e ne s’élève actuellement qu’à 20', 445 X X 0,016892 0",343, et d’ici à quelques milMers d’années les

variations de cette quantité ne seront pas appréciables , de sorte qu’on peut dire que ce terme constant se confond avec le lieu moyen de l’étoile.

150 J. A. C. OÜDEMANS. SUR l’oRBITE ANNUELLE, ETC.

Comme le fait remarquer avec raison M. Oppolzer dans son Lehrhuch , cette quantité ne peut pourtant pas être négligée dans le calcul de l’aberration des planètes.

Pour connaître maintenant aussi les termes variables de l’aberration, nous n’avons qu’à considérer encore la situation relative du lieu apparent C de l’étoile et du centre B' du cercle déjà mentionné à plusieurs reprises. La distance B' C' est constante et la direction de B' C est = JJ + 90° v = L 90°.

La projection de cette ligne sur le diamètre non raccourci dont il a été question plus haut, ou, autrement dit, sur le parallèle de latitude , est donc 2=z A cc cos {L — À) ; l’ordonnée perpendicuaire à ce parallèle est A a sin {L — X). La première donne un changement de longitude de

a cos (L — À) séc § , la seconde un changement de latitude de

a sin [L-l) sin /î ;

ce sont les expressions connues de l’aberration en longitude et en latitude, expressions trouvées ordinairement par une voie beaucoup plus pénible.

Nous chercherons encore quel est le cercle que l’étoile semble décrire par suite de l’aberration diurne. L’observateur se mouvant alors avec une vitesse uniforme dans un cercle dont le plan est parallèle à celui de l’équateur , l’étoile , à raison de ce mouvement diurne de la Terre, paraîtra aussi se déplacer suivant un cercle , dont les dimensions sont plus petites que celles du précédent , dont le plan est également parallèle à celui de l’équateur , et sur lequel l’étoile est toujours en avance de 90° par rapport au lieu de l’observation. Si t est le temps astronomique , a l’ascension droite de l’étoile, d sa déclinaison, le lieu apparent de l’étoile, sur le petit cercle en question , sera donc dirigé vers 90° + t. Ce petit cercle se présente de nouveau sous l’aspect d’une ellipse, dont le grand axe suit la direction du parallèle et le petit axe la direction perpendiculaire, c’est-à-dire celle du cercle de déclinaison; dans

J. A. C. OUDEMANS. SUR l’ORBITE ANNUELLE, ETC. 151

le petit cercle, la direction du diamètre non raccourci est de a — 90° k a + 90°. Un raisonnement analogue à celui qui a été développé ci-dessus donne donc pour l’accroissement de l’ascension droite

a' cos^t — a)sécd^ et pour celui de la déclinaison

«' sin [t — a) sin d ;

dans ces formules, a' est la constante de l’aberration diurne pour le lieu de l’observation, c’est-à-dire, si r représente le rayon vecteur de la Terre pour ce lieu d’observation et h la latitude géocentrique ,

n r cos a 43200 5 sml"’

expression qu’on peut remplacer , toutefois , avec une erreur de

moins de , par celle-ci :

71 a cos (p 43200 S sin l"

0",32 cos (p ,

où a désigne le rayon de l’équateur et (p la latitude géographique.

La démonstration de notre première proposition devient encore plus simple lorsqu’on fait usage de cette propriété de l’ellipse, que les pieds H des perpendiculaires F H (fig. 1) se trouvent tous à la circonférence du cercle décrit sur le grand axe AE comme diamètre. Car, si la droite H F est prolongée jusqu’à sa seconde intersection [L) avec la même circonférence de cercle, on a jP L X LT z= jp’ jEJ X ^ = constante , de sorte que la droite FL est proportionnelle à la vitesse de la Terre au point C de son orbite. Cette droite F L est toujours perpendiculaire à la direction du mouvement. Tous les points L sont situés sur la circonférence du cercle AL E^ et par conséquent toutes les extrémités de