J. A. C. OUDEMAXS. SUR L ORBITE ANNUELLE, ETC
droites telles que F' C (fig. 2), qui sont dirigées perpendiculairement k F L et proportionnelles à sa longueur , tombent aussi sur une circonférence de cercle.
La proposition est ainsi démontrée, mais la grandeur exacte du petit cercle décrit par l’étoile ne peut être trouvée que par le raisonnement employé ci-dessus.
Dans le cas où l’orbite de la Terre, au lieu d’être elliptique, serait parabolique (voir fig. 3), on voit facilement quelle modification subirait l’orbite apparente de l’étoile. L’excentricité serait alors =: 1 , c’est-à-dire que l’étoile elle-même se trouverait à la circonférence du petit cercle d’aberration. La droite F'M^ qui joint ce point au centre , serait perpendiculaire à Taxe de l’orbite parabolique de la Terre. Pendant que la Terre parcourrait la première moitié de son orbite, l’étoile semblerait se mouvoir le long du demi-cercle F' X M ; le diamètre F' M serait de nouveau égal à
S sin 1
86400 \/ P S sin V 86400 \/ p sin V
^x 497,78>/2__28',9 86400 Sîw 1"\/ q \/ q
Si l’orbite de la Terre était une hyperbole (voir fig. 4) , l’orbite apparente de l’étoile resterait toujours un cercle; mais, comme l’excentricité du lieu de l’étoile serait alors > 1 , l’étoile F se trouverait en dehors du cercle, F ^4 et 5 seraient les tangentes menées de F' au cercle d’aberration, et ces tangentes seraient parallèles aux asymptotes de l’hyperbole. Aussi longtemps que la Terre , encore très éloignée sur la première branche de l’hyperbole, se rapprocherait du périhélie avec une vitesse uniforme, l’qtoile semblerait immobile en A; et dui-ant le parcoui*s total de l’orbite hyperbolique l’étoile décrirait l’arc A M B , appartenant au cercle dont le demi-diamètre est égal à
k \/ P k \/ pj X 497,78 — /
86400 S sin 1" “ 86400 sin 1" - ’ “ V i »
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expression ou p désigne le paramètre de l’orbite hyperbolique.
La distance F' M serait évidemment = fois ce diamètre.
Revenons-en au mouvement elliptique de la Terre , et considérons le déplacement que l’étoile éprouve en conséquence de ce mouvement, ou le rayon vecteur de son orbite apparente; nous voyons alors que ce rayon vecteur n’est pas donné par la formule
vitesse moyenne de la Terre vitesse de la lumière
car, la circonférence d’une ellipse étant plus petite que celle du cercle décrit sur son grand axe, la vitesse moyenne sur l’ellipse
est aussi < , et le rayon du cercle d’aberration pourrait
donc être supposé < — ; mais ci-dessus nous l’avons trouvé 2 71 a
égal à
, c’est-à-dire , non seulement plus grand
S Tsin —
que ce que donnerait la vitesse moyenne , mais même plus grand que ce qu’on obtiendrait si la Terre se mouvait sur le cercle qui a pour diamètre le grand axe de son orbite. Le cercle sur lequel , la durée de la révolution restant la même , le mouvement devrait se faire pour donner le même cercle d’aberration, a pour rayon
la Terre.
ou — , h étant le petit axe de l’orbite elliptique de
Ce qui précède était écrit, lorsque je me suis aperçu qu’une démonstration analogue à celle qui vient d’être donnée se trouve déjà dans un ouvrage de Th. Simpson, Essays on Curions and TJseful subjects in spéculative and mixed mathematicks ^ London,
Le même sujet a été traité avec plus de détails par Frisius, dans sa Cosmographia (Milan, 1774 — 45), Cap. V, De variafi-
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onibus ortis e lucis aberratione. Voici l’énoncé du second théorème (Theorema XI) de ce chapitre: Si spectatoris oculus in sectione aliqua conica moveatur ^ semita apparens fixae cuiuscumque erit circulus^ et centrum apparens motus aut intra^ aut extra ^ aut in ipsa erit peripheria circuli , prout sectio conica erit ellipsis aut hyperhola aut parabola.
Enfin, Melanderhjelm , son Conspectus praelectionum academicarum^ continens fundamenta astronomiae^ publié à Holm, Upsal et Abo, en 1779, cite les deux auteurs précédents. Depuis, cette époque, la démonstration de Simpson paraît être tombée dans un oubli complet.
Les résultats auxquels j’étais parvenu n’ayant donc rien de nouveau , mon intention première avait été de les garder par devers moi ; ayant reconnu toutefois que ces résultats étaient , en général , ou bien entièrement inconnus ou au moins connus très imparfaitement , et prenant en considération la rareté actuelle des ouvrages de Simpson, de Frisius et de Melanderhjelm, j’ai cru devoir céder à la demande qui m’a été faite de publier la démonstration qu’on vient de lire.
Utrecht, 12 Septembre 1878.
