RR'V

ds] . .

OÙ représente l’élément d’arc de la cycloïdale, et où c? s peut être remplacé par Rdu ou R' dv. La première de ces équations s’obtient en remarquant que les éléments d’arc do et ds sont proportionnels aux vitesses PM et AB, et qu’on a trouvé pour ce rapport (page 6)

YR'

La seconde équation se trouve à l’aide de la relation

H. ONXEX. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

d’où l’on tire

A l’égard de l’état positif ou négatif des variables introduites, voici ce qu’il y a à observer. ,

Des trois côtés qui forment le triangle A P C , le côté AC = R d’abord peut changer de signe en passant par zéro ou par Vinfini, Mais /• et r i peuvent également changer de signe, et cela à travers oc si les courbes K et Jï i ont des asymptotes et tendent par une de leui’s branches vers le côté positif et par une autre vers le côté négatif de ces asymptotes , et à travers 0 si les points A et C dépassent le point P. Pour que les formules trigonométriques (8) et (9) puissent s’appliquer à tous les cas possibles , nous conviendrons que « et «i sont les angles formés par les directions positives des normales AC et CC i avec les directions positives des droites AP et CP; et que ces angles eux-mêmes sont positifs lorsque, aux sommets, on doit tourner à droite pour passer de la normale à l’autre côté de l’angle.

3. Examen des cycloïdales décrites simultanément par les divers points du plan de la courbe génératrice, quand celle-ci touche la courbe directrice en un point donné. Cercle des points d’inflexion. Focale.

î^ous supposons que R et R' diffèrent tous les deux de zéro et que Pi est positif. Dans toutes les cycloïdales dont les points générateurs se trouvent , pour une certaine position de la courbe génératrice, sur la tangente commune des deux courbes, on a

« izr + i TT , donc cos « — 0 et Q = r] tandis que , pour cos a ^ 0 , on aura aussi o ^ lorsque 0 <R <i?', mais Q^r lorsque R > R* ou R c 0. Géométriquement, cela signifie que les centres

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

de courbure de toutes les cycloïdales décrites par les différents points d’une tangente à la courbe génératrice coïncident simultanément avec le point de contact de cette tangente au moment où le point A tombe sur la courbe directrice, tandis qu’à ce même instant, pour chaque point générateur P situé au côté intérieur de la tangente (c’est-à-dire du côté de la courbe), le centre de courbure se trouve au même côté de A que P , lorsque la courbe est hypocycloîdale-extérieure (R> R' ) ou épicycldîdate {R < 0) ; à l’autre côté , lorsqu’elle est hypocycloïdale-intérieure (0 < jR < R'). Pour chaque point générateur 'situé au côté extérieur de la tangente, c’est tout l’opposé.

Si le point de contact lui-même est considéré comme point générateur, on a pour ce point r zr: 0 et par conséquent aussi (>1=0. La cycloïdale forme en ce cas un point de rebroussement, car les équations (12) et (13) montrent que dq^ mais non dw^ change de signe en même temps que r. Il faut remarquer que cos a change également de signe avec r; l’angle PAC, à la vérité , est aigu immédiatement avant et après l’instant que nous considérons , mais la direction du côté A C ne change pas de signe, celle du côté PA change] par conséquent, l’angle a doit devenir obtus s’il était aigu, et réciproquement.

Le point de contact A des deux courbes est le seul point, dans le plan de la courbe génératrice, qui forme à ce moment un point de rebroussement.

Si la tangente commune des deux courbes est le lieu géométrique de tous les points où le centre de courbure des cycloïdales est situé au point de contact, il y a aussi un lieu géométrique de points où le rayon de courbure est infini , et un lieu géométrique de points où ce rayon atteint un maximum ou un minimum. Le rayon de courbure devient infini lorsqu’on a

{R — R') r R R' cos a = 0 (14)

Et alors il se produit toujours un point d’inflexion, à moins qu’on n’ait r =z0 et cos a = 0 , cas dont nous avons déjà parlé ; ou à moins que , pendant que r et a passent par les valeurs qui

H. OX:SEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

satisfont à l’équation (14), la forme (R — E') r + RR' eos a ne change pas de signe. Dans ce cas , en effet , o ne change pas non plus de signe, et il ne peut pas être question d’un point d’inflexion ; O = CO est alors un maximum. En général , toutefois , Q changera de signe en passant par x ; et alors , d’après les équations (12) et (13), dw^ mais non d(j^ changera de signe en passant par zéro^ ce qui marque l’existence d’un point d’inflexion.

L’équation (14) est l’équation polaire d’un cercle, lorsque le pôle se trouve sur la circonférence ; le diamètre de ce cercle est

égal à

^ ^ . Construisons donc (fig. 2) A Y — ^ , c’est-

à-dire une quatrième proportionnelle à CC' , C'H et CA, et sur cette ligne, comme diamètre, décrivons un cercle ; toutes les cycloïdales dont les points générateurs se trouvent sui’ la circonférence de ce cercle y auront alors un point d’inflexion , sauf au point A , ou l’on a r = 0 et cos « =r 0 , et où il naît un point de rebroussement ; et au point où (> = x est un maximum. Ce second point ne peut être ailleurs qu’en Y. Si l’on se figure, en effet , ce même cercle construit lorsque la courbe génératrice se trouve dans les positions immédiatement précédente et suivante , tous les points générateurs pour lesquels {R — R ) r R R' cos a change de signe seront situés, dans la position précédente, à l’extérieur du cercle A Y , et dans la position suivante à l’intérieur de ce cercle , où réciproquement ; parce que pour chaque point en dehors de ce cercle on a {R — R ) r -h R R' cos a > 0 ^ et pour chaque point en dedans {R — R ) r -h R R cos a < 0. Si donc {R — R') r R R cos a ne change pas de signe, le point générateur reste en dehors du cercle A Y , de sorte que la cycloïdale touche le cercle ; or , cela ne peut avoir lieu qu’en Y.

Dans la figure , le cercle A Y est situé au côté négatif de la

normale A C , parce qu’on a i? > /? , et par conséquent

RR'

positif; des angles « aigus donnent donc des valeurs négatives pour r, des angles obtus donnent des valeurs positives. Dans

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

le cas de 0 < R <. R‘ le cercle est situé à l’autre côté de la tangente commune. Pour /? < 0 , toutefois , le cercle se place de nouveau au même côté que dans la figure. C’est ce qu’on peut aussi exprimer de la manière suivante : dans l’état hypocycloïdal-extérieur {R > R') , tous les points d’inflexion se trouvent , par rapport à la courbe génératrice , à l’autre côté de la tangente commune; dans l’état hypocycloïdal-intérieur (0 < R <R') et dans l’état épicycloidal , ils se trouvent au même côté.

Dans un travail de La Hire sur les courbes cycloïdales , travail inséré aux Mémoires de V Académie des sciences (1706) et cité par M. Cramer, le cercle dont il vient d’être question, et que nous appellerons cercle des points d’inflexion , est trouvé par une méthode purement géométrique et forme le point de départ d’une foule de constructions. De La Hire ne parle pas , toutefois , du lieu géométrique de tous les points qui , pour une position donnée de la courbe génératrice, forment un sommet. Ce lieu est une courbe dont l’équation , en coordonnées rectilignes , est du troisième degré. Voici comment on l’obtient.

En différentiant l’équation (1) par rapport à if, on trouve, après réduction ,

i{R—R>) 1 {R-R'r+2RR'cos« | r +r^cos« (r’ ^ +

) du \ du du )