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OU , si l’on pose r sin azzzy et r cos, az=:x^

d’où il ressort, en premier lieu, que l’équation en coordonnées rectilignes est du troisième degré, attendu qu’on a

Figurons-nous maintenant, pour chaque point du lieu géométrique , une troisième proportionnelle | à y et r , et une troisième proportionelle ^ à et r; | et ^ sont alors les coordonnées ordinaires d’une ligne droite

qui détermine sur les lignes AC et AS (fig. 2), lesquelles sont

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

respectivement Taxe des abscisses et Taxe des ordonnées, des segments égaux à X et à Y.

Sans nous embarrasser ici de l’exécution de cette construction , nous nous contenterons de remarquer que les segments X et Y peuvent être obtenus géométriquement , quand on connaît , pour le point où la courbe directrice et la courbe génératrice se touchent , leurs rayons de courbure et ceux de leurs développées. En portant ces segments X:= X a et Y = Xb sur AC et AS, d’un côté de A ou de l’autre , suivant que A et Y sont positifs ou négatifs , on pourra tracer la droite (18). Si l’on joint alors le point A à un point quelconque q de cette droite, et qu’on mène g' w perpendiculaire à AS et nm perpendiculaire à Xq^ on a d’abord

mnziz :

mais

donc, après substitution.

et

ce qui est le rayon vecteur d’un point de la courbe. Comme on a, en outre, zz: ^ y ■= rj x ou - =rr- , ce point se trouve sur

la droite A ou sur son prolongement , selon que | et ^ ont des signes égaux ou opposés. Dans la figure , pour le point q , Vabscisse J est négative et Vordonnée y positive; par conséquent, pour le point P de la courbe , V ordonnée y doit être négative et Vabscisse X positive.

De cette manière a été construite la courbe W A W' dans la figure 2. C’est la focale de Quetelet, et elle a été obtenue par M. K. D. Schônfeld, dans sa Dissertation ^Over de omgekeerde kegelsneden"*^ (1866), par l’inversion d’une hyperbole équilatère, c’est-à-dire , en menant , d’un point quelconque du contour d’une pareille section conique, des rayons vecteurs, sur lesquels on

H. ONXEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES

prend , à partir du point , des segments inversement proportionnels aux rayons vecteurs. Pour avoir l’équation polaire de la focale , on n’a donc qu’à substituer dans l’équation polaire d’une hyperbole équilatère, le pôle étant situé quelque part sur la

circonférence, — au rayon vecteur; a est la constante d’inver-

sion. M. Schônfeld trouve ainsi pour l’équation de la focale en coordonnées rectilignes

(x‘^ — 1/^) + 2 (Ox -h D^) (x^ -f- = 0;

et c’est aussi la forme que prend notre équation (17), lorsqu’on y fait tourner les axes de 45 ^ En remplaçant dans cette équation

X par 4 \y 2 (x — y) et ^ par l\/2 (x-h on obtient , en effet ,

— XV(a:^— + 2 |(A' 4- ¥)yj(x^ -t- t/'^) z= 0.

En prenant maintenant ^ î 5 ^

C=^L^ et B = ^ •

L’équation de l’hyperbole dont l’inversion donne naissance à notre focale devient alors, en coordonnées parallèles aux axes principaux ,

Nous ne nous étendrons pas sur les propriétés de la focale. Disons seulement que les deux branches se rapprochent d’une même droite asymptotique, qui est parallèle à la droite représentée par l’équation (18); nous appelons aussi l’attention sur la construction par laquelle nous avons obtenu la focale, construction qui n’est pas mentionnée dans le travail de M. Schônfeld.

Dans des circonstances particulières , la focale prend des formes spéciales.

Lorsque, en premier lieu, on a R'^ R^i — i?'i = 0, le

premier membre de l’équation (15) se laisse partager en deux facteurs , à savoir

sin a [ (J? — 2 R ) r S R R cos « | = 0.

ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES

La focale alors est remplacée par la droite sin « = 0 , c’està-dire par la droite AC, et^ par le cercle

cos a

dont le diamètre a une longueur et est situé sur A C.

Ce cercle se trouve à gauche ou à droite de ST, suivant que

^ 0. Ce cas se présente, entre autres, dans les hypo-

^RR'

cycloïdes et les épicycloïdes.

En second lieu , si l’on a R = 2 R' ^ l’équation devient

cos a I (jK i — 8 R'^i) r -h 3 sm « I = 0 , ce qui représente la droite ST et un cercle

r rz

dont le diamètre, égal à

3jR2

sm a

tombe sur S T , au-

dessus ou au-dessous de A, selon que cette valeur est ^ 0.

Enfin, si = il ne reste plus que le premier terme de l’équation (15), et la focale est réduite à la tangente ST.

Outre le point A, le cercle des points d’inflexion et la focale auront encore toujours un point commun s. En éliminant r entre les équations polaires de ces deux lignes , on trouve , en effet ,