RR'{R—R'){2R—R) X(2R~R
Or , il est vrai que cette équation donne deux valeurs pour a , mais il n’y en a qu’une seule qui puisse satisfaire à l’équation du cercle. Le point en question continuera à être un point d’inflexion , attendu que q ne cesse pas de changer de signe en passant par
00 , tandis que devient , de sorte que le caractère d’un du 0
maximum où d’un minimum n’existe pas.
Archives Néerlandaises, T. XIY
H. ONXEX. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
4. Examen des cycle ïdales décrites par les divers points d’une droite liée à la courbe génératrice.
Nous supposons une ligne droite qui coupe la courbe génératrice et qui soit invariablement liée avec elle , et nous suivons les divers points de cette sécante dans le mouvement qu’ils exécutent pendant que la courbe génératrice roule sur la directrice.
Nous pouvons toutefois nous représenter ce mouvement d’une autre manière. Nous pouvons nous figurer qu’en chaque point de la courbe génératrice on ait construit le cercle des points d’inflexion et la focale , qui forment alors comme une couronne autour de la courbe génératrice. Cette couronne sera traversée par la sécante. Celle-ci rencontre une partie des cercles de points d’inflexion , et chacune de ces intersections est un point de la sécante , qui constitue un point d’inflexion lorsque la courbe génératrice touche la directrice au point correspondant. De cette manière , on trouve d’un seul coup tous les points de la sécante qui forment des points d’inflexion. A de rares exceptions près, toutes les focales sont coupées par la sécante; et, d’un autre côté, il n’y aura aucun point de la sécante qui ne se trouve pas sur une des focales. On voit par là que les points de la sécante ne deviennent des points
d’inflexion , mais que tous doivent , tôt ou tard , former des sommets.
Supposons maintenant que la position des deux courbes R et i?' , à un moment donné, soit telle que la représente la figure 1 ; le mouvement se continuant au-delà , on aura encore pendant quelque temps R'> R\, c’est-à-dire que la courbe restera hypocycloidale extérieure] et durant ce même temps aussi, le cercle des points d’inflexion se maintiendra au côté extérieur de la tangente. Si l’on imagine toutefois que la différence entre R et R' devienne de plus en plus petite et finalement nulle , le cercle dés points d’inflexion se dilatera successivement et finira par se transformer dans la tangente. Le de la focale , au contraire ,
se resserrera de plus en plus, jusqu’à ce que cette courbe, de
lÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES.
même que son asymptote, se confonde aussi avec la tangente,
au moment où R sera devenu égal à /?'. A ce moment, les
centres de courbure de toutes les cycloïdales franchissent ensemble la tangente, et les rayons de courbure changent de signe, au moins si R continue à décroître plus vite que /?'; toutes les cycloïdales forment un point de rebroussement , puisque d (T , mais non dw^ change de signe. Un seul point de la sécante fait toutefois exception, à savoir, le point où elle coupe la tangente aux deux courbes. Pour ce point on a cos « = 0 , et par conséquent
^ . Essayons de déterminer ce point plus exactement.
En divisant par R — R' le numérateur et le dénominateur de la fraction qui exprime la valeur de ^ , on obtient
R R' cos a R- R
et il est évident qu’il suffit de chercher la valeur de la fraction ^R' + et Rz=. R\^ attendu que , par hypo-
thèse, i?, ni r ne sont nuis. Si l’on différentie le numérateur et le dénominateur de cette fraction, en regardant u comme variable indépendante, on trouve
da sm a — du
dR'
Mais — - =
du
R cos a — r d R'
du
du r
cette fraction se change donc en celle-ci
R' {R cos a — r) sin a ^ R R'^xT — R' i?i r ’ qui devient pour R z= R' et « = +
HZ iï l. -- et ,
du R du
H. ONÎfEN. NOTES CONCERNANT LA THl^ORIE DES
Si l’on substitue cette valeur dans la formule de on a, en remplaçant RR par R'^ ^
Il résulte de là que, au point en question, le rayon de courbure aura en général une valeur finie et ne changera pas de signe. Les équations (12) et (13) montrent, en outre, que d Q et dw changent tous les deux de signe en passant par zéro , ce qui signifie qu’il se forme une ramphoïde (rebroussement de la seconde espèce).
Maintenant, les cycloïdales deviennent hypocycloldales-intérieures. Le cercle des points d’inflexion et le nœud de la focale sont situés tous les deux au-dessous de la tangente, mais le second s’est placé à l’autre côté de la normale.
Lorsque R devient égal à zéro, et ensuite négatif , l’état cloïdal se produit. Le passage est reconnaissable' à ce que pour toutes les cycloïdales q devient ~ r , et que , par conséquent , tous les centres de courbure tombent au point de contact. Au moment où l’on avait tous les centres de courbure ont
franchi la sécante ; mais quelques-uns se seront mus vers A , d’autres se seront éloignés de ce point. Pour que ces derniers arrivent aussi en A quand i? zz: 0 , ils doivent passer par l’infini et se rapprocher ainsi de A de l’autre côté. Les cycloïdales auxquelles appartiennent ces centres de courbure doivent donc toutes acquérir un point d’inflexion dans la période où E décroît de R' à 0; les autres, au contraire, ne peuvent pas avoir d’inflexion dans cette période.
Il faut maintenant faire une distinction, suivant que le point de la courbe génératrice, où R change de signe en passant par zéro , est un point de rebroussement ou un point d’inflexion. Dans le premier cas, ds change de signe, et par conséquent da etdw n’en changent pas. Dans le second cas, ds ne change pas de signe , et par conséquent da et dw en changent tous les deux. Les cycloïdales n’ont donc pas de point singulier dans le premier cas, et ont une ramphoïde dans le second.
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
Lors du passage de l’état hypocycloïdal à l’état épicycloïdal , le cercle des points d’inflexion et le nœud de la focale viennent tous les deux se placer au-dessus de la tangente.
Pendant que R croît jusqu’à oo , il ne se passe rien de particulier, sauf que beaucoup de cycloïdales forment leur sommet et quelques-unes leur point d’inflexion. Les centres de courbure ne franchissent pas la sécante, excepté quand le point générateur est situé sur la courbe génératrice et que celle-ci touche en ce point la courbe directrice, circonstances qui donnent lieu à un point de rebroussement. Pour toutes les autres cycloïdales , le centre de courbure reste au même côté du point générateur , tandis qu’à chaque instant l’intersection de la sécante et de la tangente commune appartient à une cycloïdale dont le centre de courbure dépasse le point A.
Nous laissons maintenant R changer de signe à travers l’infini , et redevenir par conséquent positif. L’équation du cercle des points d’inflexion devient pour Rz=: co
r + R cos « 0.
Ce cercle a donc pour diamètre le rayon de courbure de la directrice et est situé au-dessus de la tangente.
Le rayon de courbure de la cycloidale devient
r-\-R cos a
tandis que do et div changent ou ne changent pas de signe, suivant que ds change de signe. Par conséquent, si le point de la courbe génératrice , où R change de signe à travers oo , est un point d’inflexion, le point correspondant de la cycloïdale est un point ordinaire ; si le premier point est un point de rebroussement, la cycloïdale a une ramphoïde,
La cycloïdale est maintenant redevenue hypocycloïdale-extérieure , et nous avons examiné les changements les plus importants que peut subir R , dans la supposition tacite , il est vrai , que R' reste toujours fini et positif. Si R' change de signe en passant par zéro ou par oo , il en résulte une ramphoïde dans la cycloïdale, lorsque R‘ = 0 est un point d’inflexion, ou jR'znoo
H. ONNEX. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
un point de rebroussement ; tandis qu’il se produit un point ordinaire, quand i?'=0 est un point de rebroussement , ou jR' n: oo un point d’inflexion.
5. Anti-cycloïdales. Cycloïdales semblables, produites par deux courbes génératrices qui roulent sur la même directrice.
Lorsque deux courbes génératrices congruentes roulent ensemble sur la même directrice et à chaque instant touchent celle-ci en des points homologues, tandis que les rayons de courbure ont toujours des signes opposés , deux points homologues par rapport aux deux courbes génératrices décrivent des lignes anti-cycloïdales. Si , pour chaque position , on veut pouvoir comparer entre eux les rayons de courbure, il faut remarquer qu’aux différentes valeurs R ^ u et a àe l’une des cycloïdales , correspondent les valeurs — /? , — u ^ tt — a dans l’anti-cycloïdale ; de sorte que celle-ci est engendrée par le mouvement de la courbe
lorsque R = f [u)
représente la courbe génératrice de la première cycloïdale ; quant au point générateur de l’anti-cycloïdale , il est déterminé par la condition que , pour =r 0 , on a r = r ^ et a = tt — lorsque dans la cycloïdale , pour — 0 , on a r zz: r ^ et a ■=. a q.
Si l’on se figure deux courbes génératrices différentes^ roulant sur une même directrice , on peut se demander , par exemple , à quelle condition ces deux génératrices doivent satisfaire pour produire des cycloïdales semblables. Cette question est liée au problème qui consiste à déterminer la courbe génératrice quand la directrice et la cycloïdale sont données. Car, en supposant que la cycloïdale , engendrée par l’une des deux courbes en question, ait pour équation essentielle
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
le rayon de courbure d’une cycloïdale semblable à celle-ci sera, pour les mêmes valeurs de iv ^ h fois plus grand ; elle aura donc pour équation
Q-=zih (p {w)^
et il ne s’agit plus que de savoir quelle courbe génératrice , roulant sur la directrice
Br=F(v),
engendrera cette seconde cycloïdale.
La solution revient à ceci. De l’équation (11) il suit
w ^ V — Vq a —
de sorte qu’on a
Qz=zk(p{v — Vq h- a — «o). ,
Mais on a aussi
[R — R‘)r+ RR'cosa
donc
{R — E‘) r B R' cos a
k(p{v — Vq 4- « — «o).
En résolvant cette équation par rapport à E , après avoir substitué B' F (v) ^ on a E en fonction de r et «, soit, par exemple ,
R =l 'ip {v ^ r ^ a).
Mais on doit aussi avoir
R du — R' dv — F (v) d v ,
d’où il résulte
dv= y. cl U ;
en y joignant
dr ■=. ip (^ , r , «) sin a du
, ip (v. r, a) cos a — r , da =: a du ^
et
H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
on a trois équations différentielles simultanées, d’où l’on peut tirer r et «. En substituant les valeurs ainsi trouvées dans l’équation
R — xfj{v, r, a),
on obtient l’équation de la courbe génératrice en question.
6. La ligne génératrice ou la ligne directrice est un cercle ou une droite.
a. La ligne génératrice est un cercle^ de sorte qu’on o, R a et m-0. Les équations (3) et (7) donnent immédiatement
d r i = 0 , ou r i = constante — ^ ;
— du^ ou «i — — U.
Du triangle APC, on tire
r -=i \J — 2ajg sin ((«i) o — ^))’
a — psin ( («i)o — y)
cos a = — — -L ^ .
\/ — 2 ap sin {{a^i)Q — u))
En substituant ces valeurs dans
{a — R')r a R' cos a on obtient, après réduction
^ [a — R') 's/a^^ p"^ — 2ap sin ((«i)o — u))
a^ + (a — R)p'^ — ap (2 a — R') sin — u))
Soit a positif. Si l’on prend alors (a.i) ^ i tt , c’est-à-dire , si l’on fait commencer le mouvement lorsque le point générateur se trouve sur la droite CA et , de plus , au même côté de C que A , on aura sin ((«i) q — u) ~ cos u. Pour l’anti-cycloïdale , a est alors négatif et («i)o — — ] ^ ^ par suite sin ((«i)q — u) z= — cos u. Nous avons donc en général
{a ~ R') \/ a"^ p^ 2 apcosu
a^ -h (a — R')p‘^ a P {2 a — R) cosu
OÙ le signe supérieur doit être employé avec les valeurs positives de a, le signe inférieur avec les valeurs négatives.
Pour p — 0^ on a q:= a — R' . Par conséquent , lorsqu’un cercle roule sur une ligne directrice quelconque, le rayon de courbure de la cycloïdale décrite par le centre de ce cercle est toujours égal à la différence ou à la somme du rayon du cercle générateur et du rayon de courbure de la directrice , suivant que le contact est intérieur ou extérieur.
b. La ligne génératrice est une droite. Pour i? zz: oo , l’équation de la cycloïdale devient
^ r -\- R cos a ' '
En nommant q la distance du point générateur à la droite génératrice, on a toujours
q-=.r cos a \
de sorte que q est positif lorsque P tombe au côté positif de la droite génératrice; négatif, lorsque P tombe à l’autre côté. La substitution de cette valeur de q donne
En outre, I R' dv est égale à la partie de la droite qui a •'^0
déjà roulé sur la directrice et que nous appellerons l. En faisant maintenant commencer le mouvement au pied de la perpendiculaire q, on a r"^ =: P et l’équation peut être écrite ainsi
tandis que l’égalité
R do^l
et la relation
H. ONNEN. Î^OTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
permettent d’exprimer q en fonction de w, lorsque cela est possible. «0 est 0 quand q est positif, mais = quand q est négatif.
Le diamètre du cercle des points d’inflexion est ici toujours égal au rayon de courbure de la ligne directrice, mais il est situé à l’autre côté de la tangente. A l’égard de la focale , l’examen nous apprend qu’on a
X = ^~^ et Y = — d R'.
c. La ligne directrice est un cercle. R' = b^ donc jR'i = 0,
{R-b)r-^Rb cos a
Ce cas ne donne lieu à aucune remarque particulière, d. La ligne directrice est une droite.
r — R cos a
Le diamètre du cercle des points d’inflexion est égal , en grandeur et en direction, au rayon de courbure de la courbe génératrice. Pour la focale, on a
et Y=zl-R.
