Hypocycloïdes et Epicycloïdes
Les équations des lignes cycloïdiques sont comprises dans la formule
b) \/ a^ + 2 ap cos
{a — b)p^ -i- a P {2 a — b) cosu
qu’on obtient en faisant R' z=zb dans l’équation (19). Cette formule suppose que le mouvement commence lorsque le point générateur se trouve sur la droite CA, ou sur son prolonge-
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES. 27
ment , et en outre du même côté de C que A ; le signe supérieur se rapporte aux valeurs positives de a , par conséquent aux hypocycloïdes, le signe inférieur aux valeurs négatives de a, par conséquent aux épicycloïdes. Les lignes cycloïdiques sont allongées ,
ordinaires ou raccourcies , suivant qu’on a ^ = a ; les hypocycloïdes
sont extérieures ou intérieures selon qu’on a a ^ ô.
La discussion des différentes formes peut être notablement abrégée à l’aide de la proposition suivante.
Lorsque sur un même cercle directeur roulent deux cercles générateurs dont les rayons ont une somme algébrique égale au rayon du cercle directeur , deux points , choisis de telle sorte que le produit de leurs distances aux centres des cercles générateurs soit égal au produit des rayons de cercles , décrivent des cycloidales semblables.
Soient, par exemple, a, et a ^ les rajons des cercles générateurs; b le rayon du cercle directeur, p^ et distances
de deux points P, et P 2 aux centres Cj et C2 des cercles générateurs; la courbe que décrit le point P, , lorsqu’il se meut avec le cercle Cj , sera alors semblable à la courbe que décrit P 2 , lorsque ce point est entraîné avec le cercle C2 ; pourvu qu’il soit satisfait aux conditions
a, + «2 = ^ et ^2 ~ ^ 1 <^^2 î
où on doit prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que a, et a 2 ont des signes égaux ou contraires.
Nous démontrerons cette proposition séparément pour chacun des deux cas a^>^b et aj cô; pour le premier, la démon-* stration sera géométrique, pour le second, analytique.
Dans la fig. 3, C' est le centre du cercle directeur, Cj , G2 , P J et P 2 sont les positions que les centres des cercles générateurs occupent au moment où le mouvement commence et où les trois cercles se touchent en A q. Comme C^Aq ou a, est plus grand que C'Ao=ô, a^ est négatif, et par conséquent C2 Aq = Cj C' se porte à l’autre côté de Aq. Figurons-nous
28 H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
maintenant que les deux cercles se meuvent simultanément , jusqu’à ce que le premier ait décrit un angle Cj et
le second un angle égal «2 — — ^^5 centres des cercles
générateurs seront alors parvenus enC'^ et C'2 5 les deux points générateurs en P', et P'2 ; tandis que A, et A 2 sont les points oii le cercle directeur est touché par les deux cercles roulants. En faisant l’angle AoC'A,=i«;j et l’angle AoCA2=^2î ^
hv^ — a^ U et hv^z=z
et par conséquent
attendu que, par supposition, -\-a^z=zh. Dans la figure, on a donc: angle Aj C' A2 ~u. Mais lorsque la droite Cj P^ a pris la position C'j P'j , la droite a, Cj s’est placée en A^ C', ; on a donc aussi: angle P', C', A, = Pj Cj =w, et par conséquent C'j P', Il C'A2. De même, on a: angle P'2 C'2 A2 = P2 C2 «2 = M, et par suite C'2 P\ |j C' A,. L’intersection A'o de C'j P'j et C 2 P' 2 trouve donc à des distances de C', et C'2 qui sont égales à CjA^ et C2A0. Par chacun des deux cercles le point A^ est donc amené en A' ^ ; d’où suit la propriété connue, que les deux cercles générateurs produisent la même cycloïdique ordinaire.
Si maintenant Pj et P 2 sont choisis de façon qu’on ait P, C, X P2 C2 — P'j C'j X P'2 C'2 — Cj Ao X C2 Ao =: C'C2 xC'Cj mC'C'2 X C'C'j , il en résulte la proportion
En joignant donc P'j et P'2 avec C', les triangles P'j C'C'2 et P'2C'C2 sont semblables, car ils ont, en outre, angle P^j C', C' = angle P'2C'2C'. Par conséquent, P',, P\ et C' sont situés en ligne droite. Et comme alors le rapport
C'Pj
PV^
Cj C'
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
reste constant, quelle que soit la position que les points P, et P 2 viennent occuper par suite de la révolution des cercles, on voit que les cycloïdales décrites par ces cercles sont semblables, et que C' est leur centre de similitude extérieur.
Lorsqu’on a prend une valeur positive. Chacun
des deux cercles donne donc des hypocycloïdes intérieures. Nous supposons, en conséquence, que dans les deux cercles générateurs l’angle de rotation u est positif. Les rayons de courbure des deux cycloïdales étant et , on a alors
(«J — h) \/ P — 2 a ^ P ^ cos U
^ — h)p^'^ — a^p^{2a^ — h) cosu
(^2 ^) \/ ^2 ^ P2 ^ ^ Cil Pi ^
[a^ — h)p^'^ — a.^p^[2a^ — h) cosu
En substituant dans la seconde de ces .équations
a^=h — a, et ^^2 =
Pi
on trouve pour le rapport des rayons de courbure
Qi
ce rapport est donc constant pour des valeurs égales de u. En outre , on a pour les deux cycloïdales , dans chacun des triangles formés par le point de contact A , le centre de courbure C et le point générateur P,
a J smccj =Pi sin (u -h a^) et smcc.2 =Pi sin {u -h «2)- Par la multiplication on trouve, attendu que a, ^PiPi ?
sin «J . sin «2 = sin {u -j- a ^) . sin {u + «2) > d’où résulte , après développement et. réduction ,
Tgu = — Tg(a^ + a^),
c’est-à-dire
et par conséquent , pour u = 0 ^
H. ONNEN. NOTES CONCERNANT LA THÉORIE DES
Ce résultat étant rapproché des relations bv^:=za^u et
d’où résulte par addition
— (^, H- ^2) = «1 + «2 “ ((«2)0 H- («2)0) î on voit qu’on a
ou w ^ — w^.
Si l’on représente donc par
Q^={w) et Q^=q,^{w)
les équations essentielles des deux cycloidales , il est prouvé , par ce qui précède, que des valeurs arithmétiques égales de w donnent pour Q ^ ot ^ 2 des valeurs qui ont un rapport constant , — condition nécessaire et suffisante de la similitude.
Pour zzza^ et on a 1^, similitude se
change alors en congruence.
L’étude des différentes formes des courbes cycloïdiques peut donc être restreinte à celle des hypocycloïdes extérieures et des hypocycloïdes intérieures , pour lesquelles on a > ^ è.
8. Points d’inflexion et sommets des hypocycloïdes. L’équation du cercle des points d’inflexion est
V 4- cos « zz 0 (22)
Son diamètre est donc constant et zz ; le cercle lui-même
est situé, pour les hypocycloïdes intérieures, du même côté de la tangente que le cercle générateur , et de l’autre côté pour les hypocycloïdes extérieures.
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
L’équation de la focale devient, comme nous l’avons déjà fait remarquer plus haut (p. 16).
sin a I (a — 2h)r ^ah cos a \ 0.
Cette courbe est donc transformée en une droite
sin « zz: 0 ,
qui est la normale au point de contact , et en un cercle
r + -- - cos a=z0, (23)
dont le diamètre est constant et =: ^ ^ --- . Ce cercle , que nous
appellerons cercle des sommets^ est situé, par rapport à la tangente, à l’autre ou au même côté que le cercle générateur,
suivant qu’on a a'^2 b.
Nous classerons les différentes formes hypocycloïdiques d’après l’existence de points d’inflexion et de sommets et d’après la situation relative de ces points. A cet effet, imaginons que la droite, qui à l’origine du mouvement est normale aux deux cercles , soit invariablement liée au cercle générateur et se meuve avec celui-ci. Les divers points de cette droite, qui se trouvent avec le point de contact au même côté du centre de courbure du cercle générateur, décrivent alors toutes les cycloïdales possibles; nous avons donc seulement à déterminer en quels points cette droite peut couper ou toucher le cercle des points d’inflexion et le cercle des sommets.
Si dans les équations de ces cercles on substitue
r=z\/a-\-p’^ — 2 ap cosu et cos a
a — P cosu
la première devient
H- (a — h)p'^ — ap{2a — h)cosu^=0, équation qui nous permet de déterminer après quel angle de rotation u^ un certain point, situé à la distance p du centre du cercle générateur , formera un point d’inflexion. En général , on a
cos U
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OU pour et
Mais cette valeur n’est réelle que pour
— a P {2 a — b) < + (a — h) p‘^ <ap(2a — 5),
c’est-à-dire pour
et (a — b)p- — a {2 a — b)p -i- < 0 ?
Les points pour lesquels p satisfait à ces conditions formeront seuls un point d’inflexion.
De même, l’équation du cercle des sommets peut être écrite sous la forme
a- {a b) {a — 2 b)p‘^ — ap {2 a — b) cos — 0 ,
en désignant par l’angle de rotation après lequel le point générateur forme un sommet. Pour obtenir des valeurs réelles , toutefois, il faut qu’on ait
— ap{2a — à) < {a-k-b) + (a — 2 ^p"^ < ap {2 a — à) ,
c’est-à-dire {a — 2b)p^ -\-a {2 a — b)p-\-a'^ (a-h?>)>0
et {a — 2 b)p‘^ — a (2 a — b) p-^-a’^ {a-[-b) < 0 ,
ou bien | (a — 2h)p + a {a + h)\{p a) > d y
Dans le cas seulement où p satisfait à ces conditions , la cycloïdale possède un sommet.
Il y a encore une question dont nous pouvons d’avance indiquer le point de départ. Il s’agit de savoir si aux divers sommets le rayon de courbure atteint une valeur maximum ou minimum, cas que nous distinguerons par les dénominations de sommetsmaximum et sommets-minimum. Il faut remarquer toutefois que, si Q est négatif, la valeur de q sera un minimum dans un sommetmaximum , et un maximum dans un sommet-minimum. Il est par conséquent nécessaire de déterminer chaque fois le signe de Q et le signe du second coefficient différentiel. Mais on n’a pas besoin de se livrer à un examen direct pour chacun des sommets
ÉQUATIONS ESSENTIELLES DES COURBES PLANES
qu’une cycloïdale peut présenter. En effet, lorsqu’on sait pour le premier de ces points si c’est un sommet-maximum ou un sommet-minimum , la question se laisse facilement résoudre à l’égard des autres par la considération du cours ultérieur de la courbe. Or, toute bypocycloïde forme un sommet au moment où le mouvement commence, c’est-à-dire pour u = 0. Il suffit donc de chercher quel ^ est le signe de la valeur de ^ pour wzziO, et quel est le signe de la valeur correspondante
du second coefficient différentiel.
du^) 0
En général , on a
où rQ ± — a), suivant qu’on a ^ ^ a. On trouvera ensuite
a {a — h)pTQ
+(a — h)p‘^ — ap[2a — h \ -
a {a — h)pvQ {a — 2h)p — a{a-^h)^
de sorte que le signe de ( — est égal ou opposé à celui de
Xdu"^ J Q
suivant qu’on a a ^ à.
