r„ ^Tn^ . •Z
iV= («, — «î) («, — 2,) .... (^, — ^„)
et
Posant
{Zn-\ - -2^n)
k-\ zk+i
1 ir ^*^-1 irfc + 1
fc -1
1 ^,.1 ..Zi^i^-'^Zi^i^ + K,Zi^i'"'^
on obtient
de sorte que
1 Zn - • ' ' Zfi
fc-1
i> = (-i)'.;z{-iy-i-^^'±^(f^A...
X Zi
(6) (- 1)" 2- Nm = (-1)^- £ (-1)-^ ll~^^i«. Pour déterminer A,/, nous écrirons
X Zi
nous avons alors OU bien, comme
^k ^^ Vq+Vx Zi + . .^VkZi^
Or,
Vo^i
pour a? = -jj , z^, . . . ., Zi^i, Zi^\ . . . ., Zn\ ces ;/ — 1 équations
permettent donc de déterminer les n — 1 inconnues — ,^. (^=1, 2, On obtient de cette façon:
où
U^iZ^i^i. . .^.-i""'^
Zi^iZ^i^i . .iTi^.^^-^
i^i-l Z^i^i., .Zi^i^-^ -^,-l''+^
Zi + X Z^i^X. .ZiJ^x'"-'^ ZiJ^x '^1-'. . .^Ti + i"-
^n ^n • • Zfx Zfi
156 W. KAPTEYN.
On a donc en premier lieu
(Zi -i-i Zi -1- o) . • (2^1 -H 1 -m)
En comparant les facteurs de ce produit avec ceux de N ^ on reconnaît aisément que
ou bien, en changeant les signes des i — 1 premiers facteurs du dénominateur,
Zi ^ 2ri-|-1 (-*)
Si Ton remarque eu outre que
Z\Zi' ' 'Zn __ , ^y y^
Zi Vn
il vient
Zi H 2n + \ \Zi)
En second lieu
D' ={-lYAi, donc
U2n + i{Zi) Zi '• ^^
En vertu de cette relation, (6) donne OU bien, eu égard à (5) ,
y^k=^f'lu +1 Vk kn-{-2Vk i +^2rt+3î'/c — 2 • • + ( 1)'^ Ain + fc + 1 Vq.
Ce résultat peut être mis sous une autre forme encore. Il résulte notamment de
qu'après multiplication par Q2n-\-\ les coefiBcientsdej?*'^^, a;" + ^, . . . . dans le second membre sont tous nuls. Le coefficient de ar^" + '^"''* donne donc :
0 = ^2n + Ar + lVo + /2n + A*ï', +. . . . + /2n+2ï' fc l +/2n + l V k +
-}-/2nVk-\-i +/2n-1 V /,- + 2 + • • • ~\- fn -\- k -\- \ ^n.
Il s'ensuit que
(7) Wk=/2nVk + i—/2n-\V ki-2-\- • • + (— 1)^ + * + Vn + & + 1 ï'n-
De même on trouve
(8) V/c = — [/2njC*& + l— /2n-lA^^- + 2+.+ {— ly + '^ + yn + fc+ll^n].
4. Passons maintenant à la détermination des coefficients y. Dans ce but nous multiplions F équation
Q2n + 1 Q2n tt2n + l Q2n
par Q2n + i Qîn; si nous identifions les coefficients des mêmes puissances de X, nous obtenons
0 = jC*o M?, + 1^1 ««'o + î'o «'i + î'i «^0
0 = /C^o«^n-1+A*itt?n-2 + ..+/î*n«'o+î'o Vn -1 +V, Vh-2 +•• + ï'»"o-
W. KAPTEYN.
Et si nous substituons dans ces relations les valeurs (7) et (8) que nous venons de trouver, il vient
/l=(î'l^o)/2n-(v,A*o)/2«-1+...+(— l)"+Hî'nA*o)/n + i (9) +(-!)"+ Vn A*. )/« + 1
Il importe de remarquer que tous les coefficients dans les seconds membres de ces équations se composent, pour la première de 1, pour la seconde de 2, pour la troisième de 8, pour la dernière de w déterminants du deuxième ordre. Ces nombres se réduisent toutefois, parce que certains déterminants sont nuls.
Les nombres restants sont donnés dans le tableau suivant
Le nombre le plus élevé qui figure dans ce tableau est donc - ou
— - — , suivant que ;/ est pair où impair. En résolvant le système (9) on
constate que c'est la forme que prend ( — 1)" + ^ /„ + 1 qui convient le mieux pour notre but. C'est pourquoi nous nous bornerons à considérer ce coefficient là.
Examinons d'abord son dénominateur. Celui-ci est constitué par le déterminant du n'' ordre :
i'^lf^o) i^lf^o) i^zf^o) iynf^o)
(î'ii^o) (»'3/^o) + (î'2/^l) (l^4i^o) + (î'3A*l) i^nf^i)
{Vnf^o) i^nf^i)
{Vnl^l) (Vn/t*H-i)
Pour le réduire, nous écrirons
Q 2 n - 1 = Aq + A, j: + •
^2n-2 = >Co + )C, X-\- Q2n-4=«0 + ^I-^ +
etc.
La relation connue
Q2n + t =«2«-|- I Q2n + iZ^Q2n - 1
donne alors
donc
{Vp iC^j) = i^2 ^ P - i — A*P ^1
Si nous substituons ces valeurs dans A , nous pouvons isoler le facteur jC*o; la première colonne devient alors A© Aj A^ . . . . An — i. Si Ton retranche maintenant la 1*^*"® colonne, multipliée par jC*, , de la seconde, la l*^**® multipliée par /x^ ^® ^^ troisième, etc. , enfin la 1^**® colonne multipliée par fin-\ de la dernière, on obtient
Al (/c^o Aj)
(i^^o ^2) (iC*o A„i)
■ ^n Aq A*„Ai
d^OÙ
H résulte de même, de la relation
Q2n = Û2rt Q2n-t + ^ Q2n-2, ^0 = a 2 n Aq
^p=«2nAp + Xp-i (/î=l, 2, ..^ 1)
^n = Xn-t
W. KAPTEYN.
(a*, Ap) = A;, Xo — a, Xp t
Si Ton substitue ces valeurs dans A, ou peut doue isoler le facteur — Xq; la deuxième colonne devient ainsi Xç x, x^ ... x«i. Si Ton ajoute maintenant x, fois la 1^'® colonne à la 3*^, Xj fois la T *^^ colonne à la 4* etc., enfin x„ 2 fois la l*^'*' à la 7i^^ il vient
A = — iC*o\)
Ao xo 0 0
A, X, (Aj Xo) (An-lXo)
Aj X^ (A3 Xo) + (Aj X,) . . . (An - 1 X,)
An-lXn-i (A,i t X,) (A„-i X»j 2)
Dans ce nouveau déterminant, nous multiplions la 1^'"'' colonne par Xo, la 2* par Ao et nous retranchons la 2* de la 1*'**; alors le premier terme de la ligne supérieure disparaît, de sorte que Tordre du déterminant s'abaisse d'une unité. Le déterminant prend ainsi la forme:
A = iC*o Ao
(A, Xo) (A2 Xo) (A„ 1 Xo)
(Aj Xo) (A3 Xo) + (Aj X,) (An-4 Xi)
(An -1X0) (An-lX,) (An-tX„-2)
Ce déterminant a la même forme que (10). Quand on remplace dans ce dernier n par n — 1 , les coefiScients v et iz deviennent respectivement A et X, et Ton trouve précisément le dernier déterminant d'ordre n — l. Cjg dernier peut donc être réduit de la même façon et donne en premier lieu
et puis
OU
5. Pour examiner le numérateur de ( — l)""^^/n + i, nous écrirons suivant (9)
(l)n + i^y.^^^ = (l)n.iX
OÙ A a la signification (11).
Si Ton fait subir à ce déterminant les transformations de tantôt^ c. à. d. que Ton isole d'abord le facteur f/^^, et que Ton retranche ensuite des 2®, 3®, . . . ., {71 — ly colonnes la l*-"^** colonne, multipliée respectivement par iC*i, Afc^' . . ., iC*n-2, on trouve:
\ (f*o^) (/*o^) +(f*iA,)(/*oAj +{Hi\) ..(f*oA-i) +(f*.^-»)
\ (f*oA,) (f*o\) +(f*i^)(/*o\) +(/*,Aj + (/*,A,)..(/*,A 0 +(^A^«)-(/*.A,)
^ (/'oAJ (^oA.) -\-{l^iK){l^o\) +(/*iA») + (f*,Aj..(f*,A.,) +(f*,A.,)— <f*.A,)
A— 1 (^oA—i) (f*iA^i)— (f*.A„) (f*»A^,)--(f*.A,) . . (/*^A^i) — ^.A^
A|»i7-^A, — - /lA.A^ — ^.A, . . — ^A.4
Quand on élimine maintenant f^, et que Ton ajoute, après avoir isolé le facteur — Aq, aux 3*, 4*, . . . ., {71 — 1)® colonnes la seconde, multipliée respectivement par A,, A^, . . . ., Un— 3, il vient:
A, *ii (A,«o) (a,0 + (a,xJ (a^xJ + (A,«J ..(A.axJ + (A^X4)
A, «, (A,«o) (a*XoH(A,«0 (As«J + (A,«J-f (A,«,) . . (A^iXo) + (A-*xJ+(a^«,)
A, '^^ (A,0 (a.Xo) + (A,x,) (A,0 + (A»«,) + (A,x,)..(A^i^) + (A aX.)H-(A.^^;
A^i x,^ (Ai^iXo) (A— |X,) (A— iK,) .. (a.iK^
On peut continuer de cette manière, en déduisant d'abord de
Q2n-1 = Û2n-1 Q2n-2 + ^ Q2n — 3 Aq = ^n - 1 Xq Ap = Ûf2n-1 Xp + 'p-1 (j» = 1> 2> • • , ^ 1)
et de
▲RCHIVES NEERLANDAISES, SERIE n, TOME XI. 11
W. KAPTEYN.
Q'in - 2 = <Ï2n - 2 ©in -3 + ^ Qp, - 4 Zq = «2»» — 2 'o
On obtient alors de même ^/«+i = (— l)Vo>'o>«o'o X
Al X, /, «, (/2«o) .. (/n-A)+(/n-5«,)
^ Xj /2 ô^ (/3 «o) . . {in -3^0) + ('^«-4^1 ) + ('/i-5«2)
A3 >C3 /., «3 (/4^o) •• (/n-2tfo) + 0n-3«,) + (/,»-4«2)+(^.-5Ô3)
An-2 Xn-2 '/i-2 ^n-2 0 . . 0 An-l Xn-1 0 0 0 . . 0
et enfin , si
«/» + 2 = Co + ^I -^ + • • + ^r ^'" ^ + 1 = fo + f| ^ + • • + ^« ^
oiir = --}-l ^^*=ô ^*^^ ^^® ^^ °^ ^ ^^ P^ir>
et r = — -— et s= —— dans les cas où « est impair,
4f JL
= (~ 1)'* Q2. (0) Q2n-1 (0). . Qh + 2 (0)
où ^ = ^ — 1 OU — - — , suivant que n est pair ou impair.
De (11) et (12) on tire maintenant la valeur cherchée de^n + i, sous la forme
An-o^n-
aJ'a
A, X, /, ^ A2 Xj /j ^
An -2 J^n— 2 'n-2 ^n-2 A„i X„i 0 0
6. Revenons maintenant à la question dont il s'agit. Nous remarquons à cet effet que
Qj = «, flî + a; = 22 (1/ + 1) (v + 2) + ar
64 =a, «,a,+(a,+a3)dr=2»(v+l)(v + 2)(v + 3)+22(i' + 2)*
d'oi\ l'on déduit aisément:
Q,. = 2"(v + l)(v + 2)..(v + «)ri+— Jjzili^
(v+l)(v + «) 2! 2M'' + 1) (v + 2)(v + «— l)(v+«) Le dernier terme est
2" (v + 1) (, + 2) . . . (. + «) ou
suivant que n est pair ou impair.
Il r&ulte de cette formule que
(2«— jo— 1)(2«— ;> — 2). .(2«- 2ip) V —, ap + i .
.. a2n-p-l(iO=l, 2,..,« 1)
•• <»2n-p 2ip=l,Z,. .,n — 1)
■ A (2«— yo —4) (2»—/) — 5). . .(2«— 2»— 3) 9p jj- ap + i ....
• • «n-/. + 2fi) = l,2,.,,f + ij
W. KAPTEYN.
tandis que Arï-t = «a„, Xn-i = l, /n -2=(w — l)an-i> ^n- 2=1 etc. On vcit ainsi que, suivant que n est pair ou impair, les lignes successives du déterminant sont divisibles:
la V'^^ ligne par a^ . ... an la 2* ligne par a^ .... an - 1
n pair
la Q^ ligne par an ^ ^
la 1^*^® ligne par a^ .... an la 2® ligne par a^ .... «n — i
n impair <
la T— — J ligne par flnjM ^n + 3
Dans le premier cas on peut donc extraire le facteur
et dans le second le facteur
a^ a^^. . .an-\-i ^ an-\-z ^ . . .an-i^fln
Dans le cas où m est pair on trouve donc
An Z n ' 71
et quand // est impair
,"+* <^n-i a„ + ^ia„ + 3 . . . Oy, a„ + i/„ + i =
où
An -2 JCn-2 /n-2
An-1 Xn-1 0
• fi
^p — -, ûtn-p-f-2 . . •^2n — p -2
(2n—p—S) . . . {2,71 — 2p— 2) / p — z un -p -1-2 ...û^2n-p — 3
Les degrés en a des deux derniers déterminants sont rendus clairs par les deux systèmes suivants
W. KAPTBÏN.
Quand on remplace donc û;, par fap et que Ton multiplie les
r- + l J V9^~^) • • • • (^' — "iY {n — \Y lignes respectivement par t
dans le cas où n est pair, toutes les colonnes sont rendues de même
degré et Ton peut extraire le facteur t ^ .Le degré en a^, est
donc le même pour tous les termes, savoir:
fclJItS.(,+3+...(»-3)) = ^-=*>.
Quand n est impair et que Ton multiplie les ( — - — J V ^ "y ....(« — tf\n — \f lignes respectivement
toutes les colonnes deviennent encore du même degré. On peut donc
isoler le facteur / "^ , et conclure que le déterminant est homo-
gène par rapport aux grandeurs Up et du degré
Du premier membre de (15) on peut donc extraire le facteur
2 ^ et du 2*^ membre le facteur 2 ■* . Hennissant ces facteurs on obtient
