RÉFLEXION MÉTALLIQUE
k port - augmente; on retrouve ainsi un résultat de M. Voigt. ')
5. EiSENLOHR^) a démontré qu'en introduisant un indice de réfraction complexe on retrouve bien simplement les résultats obtenus par Cauchy pour la réflexion métallique.
On reconnaît de la manière suivante qu'à l'indice de réfraction des corps transparents correspond, dans les métaux, une grandeur complexe. Quand on tient compte des conditions (3) et (4), l'expression (2) représente un mouvement lumineux possible. /, et /j sont les distances du point où s'effectue le mouvement (2) au plan d'égale amplitude où l'amplitude est A et au plan d'égale phase où la phase est b. Au lieu de (2) on peut encore écrire
jg-P.X'-jHz ^i^ (ct—q^ X — qiZ—s)y (11)
puisque les plans d'égale phase et d'égale amplitude sont perpendiculaires au plan XZ. Les normales abaissées du point jr, z sur les deux plans en question ont respectivement pour longueur (/;, x -\- p.^ z) : \ /^,^+V^U^i-^ + ^2^) î ^^il^ + Î2^ de sorte que P = V>, 2+^02.^,
Un autre mouvement lumineux possible est
jg-p^x-j\z ÇQ^ ^çi — ^^ ^ — ^^ ^ — ^y
Aux équations différentielles, qui sont supposées homogènes et linéaires, on satisfait donc aussi en posant
Jq-Vxx-p^z j çQg f^çi — ^^ j, — ^^ ^ — ^) ^ ^ ^i^ (^i — g^ j, — q^ 2 — ^) I ou
^e±i î(cr-ar(<7,T'p,)-z((/, =FO»i)-«! (12)
Pour un milieu absolument transparent jo, =p^ = ^. Alors la vitesse de propagation est v =^ciV q^'^ +^2^* ^^ bien, comme c= — ,
t? = 27r : T ^?i^ + ^2^- S^ ^ e^^ ^^ vitesse de la lumière dans Tair, et n l'indice de refraction du milieu absolument transparent, on a
') Wied, Ann„ 24, 150, 1885.
*) Pogg. Ann., 104, 368, 1858.
£12 R. SlSSDfGH.
Il résulte de (12) que dans uu métal y, est remplace par ^, + //>, et ^2 par q^ hF //>2' Si n,n est donc la grandeur qui, dans un métal, correspond à l'indice de réfraction de la substance absolument transparente, on a
^n? = ^"2- I —Pi^+qr—Pi^+qi^ + 2/(/>,^, +Piqi) ! •
Les cosinus des angles que les normales aux surfaces d'égale amplitude et d'égale phase forment avec les axes A" et Z sont successivement
Tenant compte des valeurs que nous venons de trouver pour F et Q, et introduisant l'angle x, compris entre les plans d'égale phase et d'égale amplitude, nous trouvons /?, ^, -\- p^q^ = F Q cos x. Donc
ou bien, eu égard à (3) et (5), 4;r
^ {-p-' + q-'TZipq).
Ce qu'on appelle Tindice de réfraction complexe du métal est donc
VT
déterminé par Um = (^ -F ip) ^ — • Soit Aq la longueur d'onde dans le
métal pour une lumière incidente perpendiculaire; alors, en vertu de (1),
^ = — = — — et /j = — — , donc Um = n^ + /^q. Aq a a
6. Il résulte de ce qui précède que, suivant l'exemple de Eisen- LoiiR ') , on peut transformer les expressions, qui déterminent les amplitudes dans la réflexion par des corps transparents, en celles pour la réflexion métallique, en remplaçant u par ;/q T i^q. Supposons que le faisceau incident ait l'intensité 1 et soit polarisé dans le plan d'incidence. Le mouvement lumineux réfléchi peut être représenté par la
*) Voir aussi Lorentz, Théorie der teragkaatsing en breking, p. 163, Sciilômlich's Zcitschrift^ 23, 206, 1878.
REFLEXION METALLIQUE. 213
partie réelle de — — -rr- ,- — ; e ^^^^^ '^^K Dans cette expression érï» r= — sw (t-j- r) H
o\ nous posons h = w^ h- /a-q, .-,.-; — ^ devient Ae '''". l^e mouve-
^ui [i -f- r)
ment lumineux réfléchi par le métal est la partie réelle de Ae^^^^^ +x-B)^ où A est l'amplitude et H la différence de phase avec le rayon incident. On arrive de cette manière aux expressions connues pour la réflexion métallique. Qu'il me soit permis de les réunir ici en un tableau, et de les faire suivre par celles qui permettent de déduire les constantes optiques d'un métal des grandeurs mesurées, ainsi que par deux formules d'approximation pour le calcul de Tangle d'incidence principal / et de Tazimuth principal H, au moyen de Wq ®^ '^'o-
Lumière polarisée parallèment au plan d'incidence. Réflexion par des corps transparents métaux
Intensité Lumière incidente Lumière réfléchie
sm\i — r) ^2 (^^* * — ^'^^ — ^^^^ *)^ "1" ^^
nu^i-j-r) ^ ~ ^cos i+V n^ — sî^ if + F
DifiFérence de phase avec le faisceau incident
%kcosi
180° lg(pp-
Lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Intensité
tg^ij — /) 2 n'^coiP'[i — x) -\- tc^ cos'^ i
Diff'érence de phase avec le faisceau incident 0° pcmr 0 < * < /
tgq>n=C
'Ik (kP- + n^cof?'x — mi^-i) cos i
{lc^—7i?'cos'^x—8i7r'i)cosH—7i?'cos'^xco8iLi—k'^
On déduit encore de là
9,ksi7i i tg i
214 E. SISSINGH.
» et iî? se rapportant au mouvement lumineux dans le métal^ qui résulte d'ondes planes tombant sous Tincidence i. L'angle de réfraction x est
déterminé par sin x = .
7. Les expressions ainsi obtenues sont conformes à celles de Cauchy. D'abord, les relations du § 6 peuvent être mises sous la même forme; on n'a qu'à poser, comme Béer '),
ncos x = y n^ — sin^ i=^ Ucosu, k= U sin u. (1 3)
Parla
2 <^os^ i -\- U^ — ZUcos i cos u
^ cos^ i -{- U^ -{- Z Ucos i coêu' Si Ton pose
2 Ucos i cos u ' on a
De cette valeur de / il résulte encore
(cos i\ ^arcf^—r-j. (14)
Puis il vient
/^ cos i\
tg (Pp = stnufg \Ji arc ig — — \ .
Mettons Rn : Rp^= tg h-, alors
iî^ cos'^ {i — x) -f- ^2 ^<^*^ ^
tff^à =
n^ cos'^ (ê -\-oi)'\- k'^ cos'^ i'
L'expression correspondante de Cauchy donne la valeur de cos 2^. De la valeur de tg'^ h il résulte , en yertu de
/-. . ri,x /T . , ^,x ^, 2n cos X siu^ i cos i
cos %h = (1—/^ %h) \{^-\-tg %h) , cos %h = .
(^^^ cos^x -^-U^) cos^ i + sin *i'
*) Béer, Pogg. Ann., 92, 413, 1854.
REFLEXION MEFALLIQUE. 215
D'après (13) cela se transforme en
cos 2 à = coê u 8in ( 2 arc tg j . ( 1 d)
De même
. I ^ ^ X . %U sinifg i . , / ^ . ^n i fg i\ ,^ ^.
t0{<Pn — (pp)=sm u ^2 Z^;,2^7^2/ =*^^' '^ fgi^larcfg — ^^—^.(16)
Les expressions {\^)^ (1^)» (1^) oiit la même forme que les formules correspondantes de Cauciiy, seulement U est remplacé par (xp, conformément à la notation de M. Louentz, et /( par l'angle r + «• 0
De même qu'on peut déduire de i, [/ et u les grandeurs Jip, Ji^, (pp et <pn qui déterminent le faisceau réfléchi^ on peut se servir de i et de deux de ces quatre grandeurs pour calculer U et u, U et 7i dépendent donc de Tangle d'incidence et des propriétés optiques du métal, absolument de la même façon que les grandeurs correspondantes (xp et r + « de Cauchy. On voit en même temps que deux grandeurs constantes sont suffisantes pour déterminer la façon dont les métaux se conduisent au point de vue optique. Ce sont ici les grandeurs ;/<, et ^q, qui ont une signification physicjue déterminée; chez Cauchy ce sont les grandeurs (7 et T, dont la signification n'est pas aus^i évidente. Mais, quel que soit le système de deux grandeurs déterminatrices que Ton choisisse, les amplitudes et les phases des deux composantes du faisceau refléchi, polarisées Tune dans le plan d'incidence, Tautre perpendiculairement à ce plan , auront la même valeur. Les deux systèmes de formules sont donc identiques.
Caucuy ^) représente par «r^'^rindicede réfraction imaginaire. Comme cette grandeur est représentée ici par Vq -f" '^*o ^'^ ^ (t cosr = «o» (T sin T = kç^. Les grandeurs auxiliaires p et w ont été introduites par Cauchy pour déterminer ce qu'on appelle l'angle de réfraction imaginaire Ty déterminé par sin r = sini : (//^ -\- iIcq) *). Afin d'exprimer p et « au moyen des grandeurs employées ci-dessus, on doit remarquer que
') LoRENTz. Théorie der terugkaatsing en breking, p. 16G. Suivaut la notation de EisENLCHR (loc. cit. pp. 369, 370) U=câ^ u= s-^ru. Comme Bp et Bn: Bp^ 4>/; et ^n — (Pp ont la même forme que chez CxVuchy, il en est de même pour Bn et <^«.
*) LoRENTz, Théorie der terugkaatsing en breking, p. 164, Schlômlich's Zeilschr., 23, p. 206. Eisenlohr, loc. cit. p. 369.
iLaCUIV£S NEERLANDAISES, SKEIE U. 1X)MË IX. 15
216 R. SISSINGH.
cos'^ r sin^ i : sin^ r = cos^ r {pq + iAq)^ = («q + iAq)^ — sin^ i,
ou bien, en vertu de (6) et (7) et de la relation sin i = n sin x,
cofg T du i = ncos X -\- ik.
Comme chez Cauchy
cos r = pe^" *) et Mq + ik^ = (r<?"" y n co8 x -\- tk =^ pre (''^+*') ou bien
UC08 X= U COSU = ptT COS (t -f- Cà), (17)
k= Uitinu = pfT sin (r + où), (18)
Les équations (17) et (18) permettent de transformer les unes dans les autres les grandeurs auxiliaires des deux systèmes, savoir celles de Gauchy et celles que nous avons introduites. ^)
