Suivant le § 7, on a

r. 7 ^U s'mifgi , .^ ^ . . ^U sin i ta i

cos%h=cosu - 2 - • 2 '1 r'^^9\^>^—^v)=^^^^^Tfî i i i -

U^ -\- sur itg^i U^ — stn^ t Ig^ t

Ces deux équations peuvent servir à déterminer fJ et u, et permettent donc de déterminer les constantes optiques n^ et k^ à Taide des équations (13), (6) et (7).

Il résulte des valeurs de cos 2A et tg {(pn — cpp) que

. ^ , ,^ ^x ^^ — sm'^ifg^i

sni U cos {(pn—(pr) = 772 . » 2 ~/ 2"

U^ -\- snr i tg^ s

ou bien

stn U cos {(p,—(pr) = y.^ 1 "• 2 • / Y"- • (1^)

La formule (19) et la valeur de cos 2 h donnent

6^tf,M « = ,^^- - ----——. (20) ')

*) Voir la note 2 de la page précédente.

*) Voir aussi Kettei.er, Wied, Ann, 1, 242, 1877; 22, 212, 1884. Des formules pour calculer p et « ont été données par Lorentz, Théorie der terugkaatsing en breking, pp. 164, 165, et Eisenlohr, Pogg, Ann.^ 104, 370, 1858.

') Cette équation a déjà été donnée par M. Ketteler, Wied, Ann,^ 1, 241,

REFLEXION METALLIQUE. 217

D'autre part

. ^ » . /^ .*. X ^ Usin u siîi i fg i

On tire de là, en faisant usage de la valeur de fg {(pn — 0p),

. sin i tgi sin {(pn — <pp) sin 2A U 8inu=^—. — T-- Z.T- ^\ • (^1) )

1 COS ((pn 0p) 8171 2A

On peut donc se servir de Tazimuth rétabli h et de la différence de phase cPn — (Pp relative à un angle quelconque, pour calculer U cos u et UsinUj ou ncos x et k, relatifs à cet angle. Commun cos x^=\^ ^i^ — m^/, on obtient alors Uq et k^ au moyen de (6) et (7). Ces deux grandeurs permettent ensuite de calculer (p,, — (pp et h pour n'importe quel angle.

9. On introduit généralement Tangle d'incidence principal /, pour

lequel (pn — <Pp = ^. L'azimuth rétabli relatif à cet angle est appelé

Tazimuth principal //. De (20) et (21), aussi bien que de (15) et (16) on peut déduire

Ui = sin Itgl , cos ui = cos 2 H, (22)

où toutes les grandeurs affectées de l'indice 1 se rapportent à Tincidence principale.

D'après (18) on a:

kl = fl[ si?i ui = sin I tg I sin 2 H^ (23)

[n^ cos^ oi)i = np- — sin^ I = sin*^ I tg'^ I cos^ 2 R

v{^ = fg'^ / (1 — sin'^ I sin^ 2 H), (24)

L'équation (24) peut encore s'écrire :

ni^ + ki'^ = lg^I.^) (25)

Les constantes optiques Hq et kg peuvent être tirées de :

Wo^ — '^o^ = '^r —k{^ = tg^I{\ — 2 sin'^ I sin^ 2 H)

Uq ^q = {n cos x)[ ki= ^ sin^ I fg^ I sin 4 H, (26)

*) Voir la note 3 de la page précédente.

*) M. Ketteler considère cette éq^uation comme l'équivalent de la loi de Brewster, Wied. Ann., 1, 242, 1877.

àl8 R. SISSINGH.

10. En éliminant ui et ki entre les équations (26) et (25), on obtient une équation du 6""® degré pour déterminer fgl^ quand ;/q et ^„ sont connus. On peut trouver d'ailleurs des formules d'approximation , pour déterminer / et Jï au moyen de n^ et k^. De m'^ — ki'^ = ^/^^ — k^^ et kivnj^ — sin^I= n^k^ il suit

Substituant cette valeur dans «/^ + ^/^ = '^i/^^ ^^ obtient

mi" I + 2*/«2 /(^^2 ^^2) + (>t^,2 [ ,,^2)2 ^^i,,4, if^^i, (27)

Or, dans les métaux n^^ + ^o^ ^^t assez grand par rapport aux deux premiers termes du 1* '* membre de (27). On a donc approximativement

d'où résulte, au même degré d'approximation, mi^I = 1-

Introduisant ce résultat dans (27) on obtient

nn If.gl= V%^+^^ \\ + \ ^^^£7^\^--\- (28)

Voici comment on trouve une formule d'approximation pour H, De (23) et (210 on déduit

n{^ — kP' = ;/o2 — k^^ = dn'^ l + dn^Itg^ I cos 4 H, donc

7fQ^ — kQ^ — sin^I

cos4iH= - — rr 77-7 .

n?r 1 ig 1

1 —* cos 4 R

On tire de là, en remarquant que fg'^%H=^ -r—, --=, et en faisant

^ 11*/ \-\-cos^H

usage de la valeur approchée qui résulte de (27),

RÉFLEXION METALLIQUE. 219

/,2//=J^jl+.«^/^-^-^-,j. (29).)

11. Je ferai remarquer enfin que ces relations sont applicables pour toute valeur de k, La réflexion par des corps absolument transparents est donc un cas particulier de la réflexion métallique ^).

DÉDUCTION DES EQUATIONS FONDAMENTALES DK LA RÉFLEXION MÉTALLIQUE DE LA THÉORIE DE CaUCUY.

1 . J'ai fait remarquer dans la première note que les théories de la réflexion métallique données par Cauciïy, Kettkler, Voigt etLoRENTZ conduiçent à des résultats identiques. Il faut donc qu'il soit possible de déduire, dans la théorie de Cauchy aussi, les deux relations, données par les trois dernières, entre Tindice de réfraction et le coefficient d'absorption, pour une lumière qui tombe normalement ou obliquement sur le métal, c. à d. les équations fondamentales du mouvement lumineux. Ces équations fondamentales, ou peut les obtenir d'abord en songeant à la relation entre les grandeurs que la théorie de Cauchy et les autres introduisent pour décrire le phénomène. Cauchy détermine l'angle de réfraction imaginaire r par les relations si7tr=siu i: 78*'^ et cosr=pe*^ ^).

Il suit de là 1 = p^e^", de sorte que

(^2 cos2t = /j2 ^2 c^g 2 (r + cy) + sm^ i. (80)

(r2 êin ^T = p^7^ shi 2 (t + a;). (31)

Si nous faisons attention aux relations entre (t, t et Wq, k^^ l'indice de réfraction et le coefficient d'absorption pour l'incidence normale, ainsi qu'aux équations (17) et (18), les équations (30) et (31) ne sont

*) M. Drude a donné des formules d'approximation analogues dans Winkel- MANN, Physik 1« éd. II, 1, pp. 823 et 824; 2nie éd., VI, 2, pp. 1209 et 1800. *) Voir Voigt, Wied. Ann,, 24, 146 et 147, 1885. •) Voir chap. I, p. 216.

220 R. SISSINGH.

autre chose que les équations fondamentales, données au chap. I, forra. (6) et (7).

2. Mais, vu le rapport intime entre les diverses théories de la réflexion métallique, il doit être possible de déduire ces équations fondamentales de la théorie de Cauchy, sans songer à ses rapports avec les autres. L'idée fondamentale de la théorie de Cauchy est l'introduction d'une grandeur complexe comme indice de réfraction. Représentons ce dernier de nouveau par Wq -|- //{-q = o-e"", de sorte que

et

91^ = 0" cos T, ^0 = (T sin T

sin r = mi i : ct^'t

et posons encore

Supposons que le plan XZ d'un système de coordonnées rectangulaires soit le plan d'incidence de la lumière pénétrant dans le métal, et que le plan l^^soit la surface limite du métal, Taxe des 2^ étant dirigé du milieu ambiant vers le métal. Alors le vecteur déterminant le mouvement lumineux dans le rayon réfracté est déterminé par

(7' xcosr-\-zstnr A sîu 2t ^ (//o + ik^)

A étant la longueur d'onde dans l'air. *) La phase est déterminée par rapport à un point dans le plan limite.

Au moyen de (38) et (84'), Téquation (85) se transforme en

AsmZx)- — ^X ("o+"^o)|- (36)

Cette équation satisfait aussi aux équations différentielles du vecteur lumineux dans le métal, supposées homogènes et linéaires, quand on remplace la fonction sinus par une fonction cosinus.

*) M. LoRENTz a prouvé que, quand on introduit un indice de réfraction imaginaire, on obtient à la surface limite la continuité nécessaire des valeurs du vecteur lumineux dans les deux milieux.

Voir Théorie der terugkaatsing en breking, 1876, p. 160.

REFLEXION MBTALLiqUE. 221

Si nous appelons (p Tare qui figure dans (36), ces équations sont également satisfaites par

A cos(p — i A sin (p ').

Le vecteur lumineux dans le métal peut donc être représenté par

où

çx sm Où — z nm J {-{pxcosu-f-z sin i ) —, (38)

, Z' , . .C09T\71q /" . . .*/wT\Ao /Qo\

o =^ [px C08 Où -\- Z stm \ [pxsm Où — z sim J — . (39)

3. Il suit de (37) que les surfaces d'égale amplitude sont représentées par:

où, d'après (38),

. . sin Tiir. . . . C08 T kr.

a* = — S171 1 + sm i .

^' <r A ' (TA

Comme il résulte de (32) que -7^ = cotg r, nous avons //, = 0, et les

atq

surfaces dYgale amplitude sont parallèles au plan limite. Cela est

nécessaire, puisque nous supposons que la lumière vient de Textérieur

pour pénétrer dans le métal.

Les surfaces d'égale phase sont données par:

Si nous introduisons de nouveau ~ = cof^ r, nous avons en vertu

de (39)

p cos(t+cû) . .

A sm T

^'^~ (Thslur' )

*) D'après le § 5 du chap. I (p. 211), quand Tindice de réfraction est représenté par n^ + < ^0 cette expression est Acos^^ t A sin^.

222 K. SISSINGH.

4. Soit X Tangle compris entre les normales aux plans d'égale amplitude et d'égale phase. Comme les premiers plans sont parallèles an plan limite, c. à. d. au plan YZ^ x est Tangle que forme avec Taxe des X la normale aux plans d'égale phase. On a donc coi x =P2 : K^2M^2> ou bien, en faisant usage des valeurs de/?2 ^^ Î2 fournies par (42) et (4^3}:

cos x = p cas (r -f- w) : L/ p- co^^ (r -}- û?) -j ^ — . (44)

Il s'ensuit que

stn X =^ -^

Comme x est l'angle de réfmction pour un mouvement lumineux arrivant sous l'incidence i (voir § 2 du chap. I), nous avons

n^ = sin?" i : sht} x = (t'^ p^ cos^ (^ H~ '^) H~ *^'^^ ^*- (^^0

Soit k le coefficient d'absorption correspondent à n. Perpendiculairement aux plans d'égale amplitude, l'amplitude varie dans le rapport de 1 : (?— 5A-^J^: A sur une distancer. Comme îi = 0, nous avons, en vertu de (37) et (38):

= («0 *^^ ^-j- ^Q cos w),

d'où il suit de nouveau , quand on remplace y^ par cofg r :

k ^= kQ p sin [t -\- ce) : si7i r , ou bien , en vertu de (32),

k = (T p sin (r + w). (47)

5. Les équations fondamentales résultent immédiatement des valeurs que nous venons de trouver pour l'indice de réfraction et pour le coefficient d'absorption. Les équations (46) et (47) conduisent directement à

n"^ — k'^ = (T^ p^ cos 2 (r -f- w) -|- si?i^ i.

En vertu de (30) le second membre de cette équation est égal à (r^cosîr, ou à «0^ — kQ^ suivant (32). On obtient ainsi la première équation fondamentale.

RÉFLEXION METALLIQUE. 223

Il résulte ensuite de (44), (46) et (47):

nkcos x = - fj^ p^ sin 2 (r + n).

D'après (31) le second membre est égal à tr^sin 2t, donc à «q ^^ suivant (32); on obtient ainsi la seconde équation.

Pour finir, nous remarquerons que nous avons fait ici le contraire de ce que nous avons fait au chap. I (§ 5), où nous avons déduit des deux équations fondamentales Texistence de ce qu'on appelle l'indice de réfraction complexe.

SUR l'allure DES COURBES SPINODALES ET DES COURBES DE PLISSEMENT

PAR

J. J, VAN LAAB.

1. Dans une communication récente sur le même sujet '), j'ai cherché

les équations générales RT = f{v, x) et F{v,x)= 0 de la courbe

spinodale et de la courbe de plissement, pour un mélange binaire de

deux substances normales, et j'en ai donné la discussion pour le cas

spécial où ^1 = ôj, c. à d. od tt = ô, ir étant le rapport des pressions

critiques —, et 6 celui des températures critiques -j^ des composantes

{1\ représentant toujours la plus haute des deux).

Je suis parti de Téquation d'état de van dbr Waals, où b est considéré comme indépendant de v et de 7'; de plus, dans les relations quadratiques

j ^ = (l^)2^^ |2ur(l — .r)^„+ar2ô,

j'ai admis:

ce qui transforme ces relations en

j b = {\ — x)b, + xb^

I a = {[\ — x) i/tf, + X Va^Y.

J'entendrai dorénavant par mélanges (binaires) normaux des mélanges, dont non seulement les composantes sont normales, mais encore pour lesquels on peut admettre que les deux relations (1) sont vérifiées.

Ces Archives, (2), 10, 373, 1905.

SUR l'allure des courbes spinodales, etc. 225

La discussion a appris que la courbe de plissement se compose de deux branches séparées (voir la planche 1. c), qui présentent un point double pour une valeur déterminée de ù (fig. 5). Si d < 2,89 (notamment quand b^ = b^) on a l'allure normale, représentée fig. 2; si tf>2,89, on obtient Tallure anormale, représentée fig. 1, dont on admettait jusqu'ici qu'elle n'était offerte que par des mélanges avec une composante associée (anormale) {C^H^ + CH^OH, C^IP + H^O, SO^ + H^O.éiheT + H^O).

J'ai fait voir aussi qu'il pouvait se présenter un troisième cas encore (fig. 3), dont M. Kuknen e. a. a décrit des exemples [C'^JP-\-C^H^OH, etc.), mais je ne m'en suis pas occupé davantage, pas plus que des relatiojis eonnodales et des équilibres de trois phases (déjà décrits eu grands traits par MM. Koutbweg et van dkr Waals).

Dans un mémoire plus récent encore ^),]*2À déterminé la situation du point double, dont la connaissance est importante, parce qu'elle établit la limite entre deux types très différents, pour le cas tout à fait général

6, ^ 6.^, et j'ai étendu la discussion de Tallure de la courbe de plissement au cas TT = 1, c. à d. au cas fréquent où les pressions critiques des deux composantes sont égales. Dans ce dernier cas j'ai trouvé e. a. que le cas de la fig. 1 ne se présente que pour 6 > 9,9. Enfin, des équations tout à fait générales

de la courbe de plissement, j'ai déduit l'allure initiale de cette courbe, c. à. d. l'expression \^~J (^^^- P- ^'^^) P^^^ 1* mettre surtout en

rapport avec des avis autrefois émis à ce sujet.

Ainsi que je l'ai déjà fait remarquer ^), M. van dkr Waals a déjà établi l'équation différei/iielle de la courbe de plissement, et en a déduit une série de conséquences générales. Tout dernièrement même ^), il a fait voir, de la façon magistrale qui lui est propre, jusqu'où on peut aller en faisant usage de considérations thermodynamuiiies et de rela-

*) Arch, Teyler, (2), 10, Première partie, 1—26, 1905.

*) Loc. cit. p. 387. Je ne crois donc pas avoir mérité le reproche (voir p. 115 de ce tome) d'avoir „perdu de vue'* qu'il y a déjà 10 ans M. van der Waals établit les propriétés principales de la courbe critique etc.

') Ces Archives, (2), 11, 115, 1900.

226 J. J. VAN LAAR.

iion^ générales , empruntées à Téquation d'état. Mais comme, dans son mémoire sur les Si/sfèmes ternaires *), M. van derWaals a insisté avec raison sur Tabsurdité de la croyance, fort répandue, qu'une équation d'état serait inutile pour la connaissance des systèmes binaires, j'ai cm bien faire en mettant sous (orme f^iie F{v,x), au moyen de l'équation d'état, réquation différentielle de la courbe de plissement, savoir

^ + s ( Â~ ) 9 où /est le second membre de RT =^f{v, x)y l'équation des courbes spinodales. Cette équation /' (i», or), combinée avec RT =f{i\ x), donne la courbe de plissement dans le système ordinaire de variables 7', t», x. Cette transformation m'a permis de découvrir de nouvelles particularités au sujet de l'allure de cette courbe (e. a sa séparation en deux branches distinctes), et d'examiner cette allure en détail, d'une façon plus précise qu'il n'a été possible de le faire jusqu'ici. J'ai fait remarquer d'ailleurs (1. c. p. 387) qu'avant moi M. Korteweg avait déjà tâché de trouver pour la ligne de plissement une équation sous forme finie, mais sans y réussir tout à fait. Enfin, chez cet auteur la discussion ne se rapporte qu'au cas partie u lier ^)ô, = ^2=^1 2 ^ a^=a^^ (mais a, 2 = x,x^)y tandis que dans ma propre discussion j'ai admis il

est vrai ô, = b^ mais a, ^«2 (et «,2 = V^^^i «2)- ^^ mémoire de M. Korteweg est particulièrement important, surtout en ce qui concerne les relations connodales, parfois très compliquées et sur lesquelles je reviendrai tantôt.

Une fois que j'avais déduit sous cette forme finie l'équation de la courbe de plissement, il n'y avait pas de peine à trouver aussi, pour

— -f — 7^) , [du coté de la température critique la plus basse, une ex-

pression exacte ne contenant que les grandeurs d = -^ et ;r = — . Pour

cette expression aussi, M. van der Waals n'a donné que l'équation différentielle générale \

2. Il me reste maintenant encore à traiter quelques points importants.

*) Ces Archiver, 2, 7, 313, 1902.

*) Ibidem, 24, pp. 297, 324, 337 et 341, 1891.

•) Ibidem, 30, 285, équ. (9), 1896.

SUR l'allure des courbes spinodalks, etc. 227

J°. Au sujet de Tallure des lignes spinodales, le cas de transition au point double-, et la discussion de la possibilité du 3° cas (1. c. fig. 4).

2°. Le cas particulier d = 1.

8°. Les relations co7ifiodales dans les trois cas principaux et dans le cas de transition.

4''. La particularité du point de . rebro'usseîne^d en j?,, R^ ^i R\y dans le diagramme/?, T pour les trois cas (1. c. figg. 2a, 3a et 4a).

5°. L'existence d'un minimum de température critique et, en rapport avec elle, l'existence d'un maximum de tension de vapeur.

Je m'occuperai d'abord de ce dernier point, parce qu'il se rattache immédiatement à mon travail précédent (1. c. pp. 405 — 413).

a. Température critique minima.

Dans le travail en question , je suis arrivé à la formule

Y^r^-' iKïC'.-'/.v'^)"-']- <»)

Si Fon pose donc A < 0 , on a

E. àd.

ou

ceci donne l'aperçu suivant :

T=Vw Vie '/» '/4 1 * 9 16 25

6<.\ 1*2 1 r/is 1^'/,. 2'*/,n 2"/4«.

Comme nous supposons toujours 6 "^1 {T^ étant la plus basse des deux températures critiques), un minimum de température critique n'est possible que quand t, c. à d. le rapport des deux pressions critiques, est>V,,.

Si7r = -, le minimum se présente pour toutes les valeurs At 6 ; si