J. D. VAN DEE WAALS. CONTRIBUTIONS 1 LA THEORIE ETC
T dp dT Quand on fsit le produit de - ,,„ et -„ - , on trouve la valeur de ^ p dT Vax
- -j- pour le commencement de la ligne de plissement. Or, comme — -r^et —J- sont tous deux négatifs pour des mélanges d'oxygène et d'anhydride carbonique, la valeur de T- - J est positive.
W. KAPTEYN.
1. Si P {£) et P^^ {z) sont deux fonctions Besseliennes successives de première espèce , le quotient de ces deux fonctions peut s'écrire :
' Nous nous proposons de déterminer le terme général de ce développement. EuLKU et Jacobi se sont déjà occupés de cette question '), mais, au lieu du terme général, il se sont contentés de donner les pre miers termes du développement, savoir:
2Mv + l)Mv + 2)
If (v + a
•^* 2»(v + etc.
Nous partirons de la fraction continue, bien connue,
2» (v + 1)=^ (. +"2)2 (v + 3) (v -h 4) (v + 5). etc.
') NiELSEN, Handbuch der Cylinderfunctionen, p. 358.
150 W. KAFfEYN.
^■^ ^ '' 2 (v + 3) etc.
dont les réduites successives sont :
Pi
ft ^ [2=^ (y + 2) (k + 3) — ^2]^
î, 2' (<' +!)('' + 2) (" + 3) -22 (v + 2)^2 etc.
Si on développe suivant les puissances croissantes de z, on trouve immédiatement:
Pi ^ ^ q, 2 (v + 1)
Pi ^
^3 2(v+l)"^2^(v+l)2(v + 2)^2^(v + l)2(v + 2)(v + 8)^-" etc.
En opérant de cette façon, on retrouve dans — les « — 1 premiers
qn
termes du développement de ~— , et notre question revient donc à
qn-\
déterminer le n'' terme dans le développement de ■ ~. Si nous romarin
quous que la série — n'est convergente que dans le cas où mod. z
<2V/(v+l7(7+2y;iasérie^danslecasoùmod.^<l/2(i/ + l)(y+3)
etc., il est clair que ces valeurs convergent, à mesure que ;/ augmente, de plus en plus vers la plus petite racine positive de /" [z)==0^ en exceptant du moins zéro.
Si Ton compare ce résultat avec le théorème de Schafheitlin \
') Journ. f. Math., Bd. 114, p. 40.
SUE TiE qUOTIENT DE DEUX PONCTIONS, ETC. 151
qui dit que la première racine de /" {z) = 0 est plus petite que V ^ (v + 1) (v -Ç- 3), on reconnaît que l'on trouve pour cette racine une limite supérieure plus rapprochée encore, en employant les racines de Çu ^5" ., savoir
iXô (v + 2) (v + 3) — 2 V/ (v + 2) {v + 3) (5 v^ + 26 v +~38") l/"6 (v + 2) (y + 4) — 3 V'V+^Hv + 4) (v^ + 6 v + iT]
etc
2. Si, dans la fraction continue qui est l'expression de , on pose
il vient
^2 -t- ^^- + etc.
Occupons-nous d'abord de la détermination du coefficient général dans le développement
Pour revenir à notre problème, nous n'aurons qu'à remplacer, dans les résultats, les valeurs de a y par 2 (i/ +/?)• Nommons les réduites successives:
l± — ±^ Q, ~ ay
Q3 '«i «2 ûfs + («1 + Û3) ^ etc.; il résulte alors de ce qui précède que :
152 W. KAPTKYN.
Si Ton j pose
iP2n ^= m^ X '\- m^ x*^ -]- . . -|- w„ ;r"
y-irt = /î*o + /^l ^ + /^2 ^ + • • + /^N ^•" i^2»i H 1 = //, ;r + y/2 ^^ + • • • + w„ + i ^" + ^
OU trouverait un nombre suffisant d'équations pour déterminer les coefficients /*/ en multipliant l'équation (1) par Q.»,, et en identifiant ensuite les coefficients des mêmes puissances de x. Mais cette mt^thode ne convient pas quand il s'agit de comprendre la manière dont ces coefficients sont composés.
