AR1ST0XÈNE DE TARENTE

mots, c'est parce qu'il est impossible d'en dire davantage en l'absence de toute défmition de Tintervaile et du système. Quant h ce qui suit, il y a naturellement des lacunes, puisque ce ne sont là que des notes complémentaires, mais rien qui contredise à Tordre indiqué au début. Nous verrons donc dans ce second livre tout entier un recueil de notes destinées à une seconde édition, orale ou écrite, du premier ouvrage (1).

Le troisième livre contient d'abord des fragments d'une seconde rédaction, ce sont des éclaircissements destinés aux auditeurs embarrassés ; il s'agit de la contiguïté des intervalles, qui, si elle n'est pas bien comprise, empêche de saisir convenablement les deux modes d'enchaînement des tétracordes, par conjonction ou par disjonction, et aussi la vraie nature des intervalles simples. Après ce préambule, Aristoxène établit que seuls les deux sons intermédiaires d'un tétracorde sont variables, puis il étudie les lois de la combinaison des intervalles, en une série de théorèmes qu il nomme TipoêXiôfJiaTa. Nous avons ici la seconde partie de l'ouvrage (2), qui doit s'intituler les Éléments. Malheureusement elle s'arrête court au moment d'aborder l'étude des modes.

Suivant en cela l'exemple d'Aristote, Aristoxène avait fait précéder son étude théorique d'une étude historique

(i) V^estphal admet encore un autre ouvrage, divisé en six parties seulement, d'après un passage d'Aristoxène (dans le de Musica) où sont énumérées six parties en effet. Mais rien ne prouve que cet ouvrage ait réellement existé, et dans tous les cas il n'a point laissé de traces. L'hypothèse de Westphal est donc inutile.

(2) Celte seconde partie est également postérieure à la première rédaction des Principes^ comme le montre le vocabulaire. Voir le Lexique d' Aristoxène aux mots Er8o<, ^/jt^ix, Tovoc.

LA VIE ET l'œuvre d'aRISTOXÈNE. 30

OÙ étaient examinées les solutions proposées jusque-là au problème musical. Nous ne savons si cet ouvrage, auquel il est fuit allusion au début de la première rédaction des Principes (1), portait un titre spécial : il ne nous en est rien parvenu. Nous possédons en revanche d*abondants extraits d'un autre livre d'Aristoxène sur Fhistoire de la musique : c'est Plutarquequi les a découpés pour les insérer dans le gauche dialogue intitulé \hp\ Moii'TtXY};. Ces extraits, complétés par quelques passages de Porphyre, Athénée et Thémistius, nous donnent une idée de la musique grecque assez différente de celle que nous pouvons nous former à Taide du traité d'Harmonique. C'est ce qui fait leur prix. Nous ne savons d'ailleurs s'ils sont tirés, comme le veut Westphal, des Propos de Tahle^ ou du livre sur la Musique^ ou de quelque autre ouvrage historique (2).

Enfin il faut noter que nous retrouvons la doctrine d'Aristoxène dans un certain nombre de manuels de basse époque, mél6e en général à d'autres emprunts.

Cléonide est le plus fidèle de ces compilateurs, quoiqu'il ait déjà abandonné le plan d'Aristoxène ; viennent ensuite Bacchius et Gaudence^ enfin Nicomaque, qui est surtout pythagoricien, et Aristide Quintilien, qui a connu, sans doute indirectement, des traités antérieurs à Aristoxène.

La rythmique est représentée par un important fragment, publié en 1785 par Morelli, et qui est devenu, depuis Westphal, la pierre angulaire de la méirique grecque. Ce fragment semble, d'après la première phrase, former le début d'une seconde partie ; et les questions qui y sont traitées rentrent dans la catégorie des Èlé-

(1) Harm,, f, p. 2. 1. 29.

(2) D'après le vocabulaire, cet ouvrage serait antf^rieur «lu Tra'U^ d'Harmonique. Voir le Lexique au mot Tovo<;,

40 ARISTOXÈNE DE TARBNTE

ments. Les Principes de rythmique, qui devaient précéder, ont disparu, mais Bacchius, Psellus et Marins Victorinus nous en ont conservé deux passages relatifs, Tun à la définition du rythme, l'autre au choix d'une unité. Le fragment des Éléments rythmiques est d'une ordonnance beaucoup plus claire et plus simple que les Éle'ments harmoniques ; cet ouvrage semble appartenir à une période de maturité, oîi Aristoxène, après avoir essayé sa méthode sur la mélodie, était arrivé à la posséder complètement. Et comme d'ailleurs nous savons que pour lui rharmonique était la plus élémentaire et la première des sciences musicales, nous sommes assez portés à croire qu'il a suivi aussi cet ordre dans la composition des ouvrages. Enfin il y a dans la Rythmique une allusion au traité A' Harmonique (P. 286 Mor. § 14 West.), tandis que VHarmonique parle bien des rythmes en certains endroits, mais non d'un ouvrage qui leur serait consacré. Ce fragment rythmique, copié par Psellus et transcrit encore, avec quelques variantes, dans un manuscrit de Paris (1), s'arrête cour! au milieu de Tétude des mesures de différentes longueurs. Nous ne savons quelle était rétendue et la portée du traité complet. La doctrine rythmiqued' Aristoxène ne semble pas avoir eu grand succès dans l'antiquité (2) : il n'en subsiste que quelques bribes chez Bacchius et Gaudence, et des traces assez douteuses chez Aristide Quintilien. Un fragment d'un ouvrage spé-

(1) Par. 3027.

(2) Les éditeurs alexandrins semblent bien avoir divisé les textes des lyriques en cola, c'est à-dire en mesures composées, suivant les principes aristoxéniens. Mais on relève aussi dans leurs éditions des infractions à ces mêmes principes. Voir en particulier Blass, Bacchylidis Carminay p. XXV.

LA VIE ET L%ECVR£ d'aRISTOXÈNB il

cîal sur VlJnité de temps nous a été conservé par Porphyre : il renvoie très clairement à VHarmoniqiie.

Nous n aurions, pour préciser les doctrrnes rythmiques d'Aristoxène, que quelques remarques éparses dans les traités d'Héphestion ou de Marius Victorinus, si Ton n'avait découvert récemment, dans les papyrus d'Oxyrynchos, un important fragment, qu'on a pu attribuer sans hésitation à Aristoxène en raison du vocabulaire. L'auteur y étudie une question qui ne touche pas à la rythmique proprement dite, mais à la réalisation du rythme par des mots : dans quelles séries peut-on insérer un groupe de syllabes comprenant une brève entre deux longues (- ^ -) ? Aristoxène peut fort bien avoir ajouté à son ouvrage un chapitre sur la composition rythmique, comme il avait fait pourTHarmoniqujc. Mais nous n'avons pas là une partie de ce chapitre : le vocabulaire encore mal fixé (le mot de temps est pris dans le sens de syllabe) prouve clairement que la Rythmique n'était pas encore composée au moment où fut écrit le fragment d'Oxyrynchos. Il faut donc songer à un ouvrage spécial sur la Composition rythmique^ analogue à ce traité sur la Co/nposition mélodique dont parle Pappos (1), et que plus lard Aristoxène fit rentrer dans son grand ouvrage théorique.

Tels sont, avec quelques courts fragments des ouvrages dont nous citions plus haut les titres, les restes de la grande œuvre qui valut à Aristoxène le nom de musicien (2). Ces restes sont assez abondants et fort impor-

(1) PoRPH., p. 298. On sait que le commentaire de Ptolémée qui nous est parvenu sous le nom de Porphyre est attribué aujourd'hui à Pappos.

(2) Suivant la remarque de M. Reinach, cette épithète n*avait

ARliSTOZÈffS DE TARENTE

taats ; le 8t]rle d'Aristoxène, dépouillé de toute prétention littéraire, devient ici net, incisif^ d'une aveuglante clarté ; les divisions du plan, les liaisons des idées sont marquées avec insistance. Aussi est-il assez facile de reconstituer, dans son intégrité, la théorie d'Aristoxène sur la musique. Mais, avant de porter un jugement quelconque sur cette théorie, il importe de savoir quel était le problème et quelles solutions en avaient été proposées.

d'abord pour objet que de distinguer Aristoxène de ses nombreux homonymes. Par la suite elle devint honoriflque ; Théophraste remployait déjà. {Ftstschrift filr Gomperz, p. 78.)

PREMIÈRE SOLUTION DONNÉE AU PROBLÈME DE LA MUSIQUE : LES PYTHAGORICIENS

I. Situation particulière du problème. Caractère subjectif de Tart musical. — II. Sa signification mathématique. — III. Les Pythagoriciens: leur philosophie. —IV. Les trois premières consonances identifiées à trois rapports numériques. — V. Le rapport du ton et la proportion harmonique. — YI. Recherche des rapports correspondant aux autres intervalles. Principes qui dirigent cette recherche. — VIL Évaluations de Philolaos et d'Archytas. — VIll. Le son ramené àla vitesse.— IX. Les vibrations. ~ X. Explication physique du phénomène de consonance.

La musique est, parmi tous les arts, celui qui a le plus occupé les philosophes et les savants depuis l'antiquité jusqu'à nos jours ; et on a volontiers fait une étude spéciale des questions qui se posent à son sujet, comme si elle obéissait à des lois qui lui fussent propres et exprimait une beauté d'un ordre particulier. C'est que la musique ne cherche pas, ou tout au moins ne prétend pas chercher son modèle dans la nature. Un peintre ou un poète arrivent, par des moyens «lifférents, à nous donner une image plus ou moins fidèle de la vie.

44 ARI8TOXÈNE DB Tl RENTE

Ce serait certes une erreur grossière que de croire leur mission terminée là. Aristote, qui fait de l'imitation, c'està-dire de la représentation du réel, le principe de la poésie, donne à ce principe, dans sa Poétique^ une portée supérieure ; le poète imite la réalité, mais c'est une réalité débarrassée du hasard, et par là le poète fait œuvre « plus sérieuse » et plus philosophique que Thistorien. Celui-ci, en effet, cherche à savoir quelles furent les paroles ou les actions de tel personnage à tel moment de sa vie ; le poète, au contraire, nous fait assister aux événements d*une existence imaginaire, c'est-à-dire généralisée. 11 se propose comme objet de son étude, non plus un personnage réel, mais un caractère vrai, et emploie toutes les forces de son intelligence et de son intuition à creuser ce caractère, c'est-à-dire à en déduire toutes les conséquences — idées, sentiments, désirs, attitudes, actions — qui, dans le jeu ordinaire de la vie et du hasard, passeraient inaperçues ou ne pourraient se développer. Ce qu'il atteint, c'est donc la réalité encore, mais exaltée, avivée, complétée de telle sorte que toutes les virtualités qu'elle enferme soient devenues des actes, que tout le possible y soit réalisé : c'est, en quelque sorte, le surréeL 11 n'en est pas moins vrai que son point de départ est dans la réalité.

Mais il est un art qui a toujours tenu en échec la théorie de l'imitation : c'est la musique. Ici, en effet, on ne sait quel objet réel il faut rapprocher de l'œuvre d'art pour instituer la comparaison avec la nature. La musique n'est une image ressemblante ni du monde matériel ni du monde moral. Si les bruits de la nature y apparaissent, c'est transfigurés à tel point que le problème n'est pas d'apprécier la ressemblance, mais

LES PTTtiAGORlClËNS 4S

d'expliquer la reconnaissance ; il en est de môme pour les accents de la parole humaine, que la musique astreint aux lois de la gamme et à la logique de la mélodie, ce qui revient à dire qu'elle les rend méconnaissables. Et quant aux sentiments humains, si Ton peut à la rigueur soutenir que la musique les exprime, il est à peine besoin de faire remarquer que cette expression est toute symbolique : un sentiment humain n'est pas un do ni un /a, il est un sentiment, et la musique ne peut l'évoquer qu'en vertu de l'association des idées. La musique n'a pas, dans la nature, de modèles directs et prochains. C'est pourquoi elle a toujours fait exception dans l'esthétique: tandis que tous les autres arts reposaient sur l'imitation plus ou moins fidèle ou généralisée de l'objcJ;, la musique restait cantonnée et comme prisonnière dans la subjectivité. Seule parmi tous les arts, elle semblait ne mettre en jeu que des sensations physiques sans rapport avec la réalité, sources d'impressions toutes personnelles et affranchies de tout contrôle de la raison. De là le souci des philosophes anciens, de ceux-là surtout qui se préoccupaient de morale et de politique : la musique a sur les âmes une action puissante, dont il faut surveiller les effets, au même titre que ceux de la bonne ou mauvaise hygiène et de la gymnastique. Ne nous y trompons pas en effet. Si la musique tient une si grande place dans la cité idéale de Platon ou dans la politique d'Aristote, ce n'est pas que ces philosophes la mettent au-dessus de tous les autres arts, c'est seulement qu'ils lui accordent une influence morale dont les autres arts sont dépourvus en raison même de leur objectivité. La musique et ses diverses parties, modes et rythmes, sont des breuvages salutaires ou vé-

46 ARISTOXÈNE DB TARENTB

néneux, qa'il faut recommander ou interdire, ou prescrire dans certains cas, comme des remèdes à certaines maladies de l'âme; on connaît les discussions de Platon etd'Aristote sur l'emploi des différents modes, querelles de médecins ou, si Ton veut, d'éducateurs, mais non d'artistes.

Loin d*ôtre le plus élevé des arts, la musique serait donc, pour les philosophes, le plus bas, elle serait confinée dans le domaine de la sensation, ferait partie du régime de Tâmc et serait toujours soumise à un intérêt moral immédiat si elle ne prenait sa revanche d'un autre côté et ne regagnait d'un seul coup un privilège unique et une éminente dignité. La découverte, due, selon la tradition, à Pythagore, de rapports fixes entre les longueurs des cordes qui donnent Toctave, la quinte ou la quarte, fut le point de départ d'une vaste théorie, mathématique et mystique à la fois, qui a séduit l'antiquité presque entière et bon nombre de philosophes dans les temps modernes : Leibnitz croit encore que la musique est un « calcul inconscient », et Kant (1) appelle la forme musicale « une forme mathématique qui ne se traduit pas en concepts déterminés ». Si l'oreille trouve entre deux sons une certaine parenté, une affinité que l'on exprime généralement par le mot de consonance , c'est que ces deux sons correspondent à deux nombres détermines et simples. Tel est, dans toute sa généralité, le principe dont s'inspirent et les Pythago-

(1) Kritik der Urtheilskraft, p. 204.

Les pythagoriciens 47

riciens dans leur culte 'du nombre, et Platon dans sa cosmogonie, et Euler, et Kant, et Hegel, et plus d*un adepte contemporain de la « gamme naturelle ». Si donc la musique est, d*un côté, le moins représentatif et le plus émotif des arts, elle est, d'autre part et en même temps, celui qui fait appel aux notions tout abstraites de la quantité pure. La musique semble toucher ainsi aux deux pôles de notre vie morale, excitant, d'un côté, des sentiments soustraits à tout contrôle de la raison, exerçant, de Tautrc, cette même raison à une perpétuelle application du principe d'identité. Art de la sensation, et par elle du sentiment, et en même temps art du nombre, telle fut, pour les anciens, jusqu'à Aristoxëne, toute la musique. G*est la haute signification mathématique de la musique qui fixa d'abord l'attention des philosophes : c^est en vertu de la régularité même de ses rapports numériques que les Pythagoriciens recommandaient l'étude d'un art le plus propre, selon eux, à assurer l'équilibre de l'esprit. Ce n'est que plus tard, au temps de Platon, que les effets moraux des différents modes musicaux, c'est-à-dire les sentiments suggérés, deviennent l'objet, non pas précisément de l'étude du philosophe, mais de la préoccupation du législateur.

On connaît la destinée de la philosophie pythagoricienne. Cette doctrine, beaucoup plutôt religieuse et morale que philosophique, fut d'abord la propriété de sectes fermées, qui étaient en même temps de puissantes associations politiques. Ce sont là les temps héroïques et légendaires, sur lesquels nous savons beaucoup de choses^

mt^

ARISTOXÈNB DE TARENTE

mais nous les savons toutes mal : car Jamblique, Diogène Laërce, Aristoxène lui-môme, semblent brouillés avec la chronologie, et assez mal informes des dogmes.

On entrevoit seulement, à travers leurs récits confus et leurs anecdotes rebattues, un ensemble de préceptes et de règles, qui traçaient à Thomme une « vie pythagoi'ique », de même qu'il y eut une vie orphique : la justice, Tordre, l'amitié, Tabstinence, la géométrie et la musique sérieuse, faisaient partie intégrante de cette vie, et le tout reposait sur deux croyances fondamentales, irréductibles Tune à l'autre et sans doute d'origine très différente : la métempsycose et la vertu du nombre. 11 nous est impossible de préciser le sens de cette dernière formule, et il est probable qu'on se tromperait en voulant préciser outre mesure. Car les premiers Pythagoriciens semblent avoir seulement saisi des correspondances mystérieuses entre les nombres et les choses, qu'ils se transmettaient comme des formules magiques, sans chercher à les éclaircir, sans se demander si les nombres étaient les choses mêmes ou seulement leurs modèles, s'ils existaient dans l'espace ou hors de l'espace, et s'il valait mieux dire que le monde imitait les nombres ou participait du nombre. Toutes ces distinctions entre la matière et la forme, l'étendue et l'inétendu, l'immanent et le transcendant, supposent un développement de la dialectique qui ne s'accomplit qu'au cours du v*^ siècle, c'est-à-dire au moment même où les sectes pythagoriciennes étaient chassées de leur terre natale par une révolution, et où la doctrine allait changer de nature en changeant de patrie. Sans aller jusqu'à soutenir, avec Rose, qu'Aristote a crt^é de toutes pièces lamélaphysique pythagoricienne pour la réfuter, en la tirant d'ailleurs

des œuvres de Platon, oh peut cependant affirmer que la pensée de Pythagore n'était métaphysique qu'à un faible degré. Il confondait simplement les nombres avec les choses, parce qu'il ne savait pas distinguer Tabstrait du concret ; par une sorte d'ontologisme à rebours, it attribuait au monde réel ce qui appartient à Tesprit. Rien de plus habituel que ces méprises chez les plus an* ciens philosophes grecs : frappés, à la vue de Tunivers, comme d'un éblouissement, ils ne savent pas distinguer les données des sens de celles de la raison. 11 faut descendre jusqu'à Anaxagore et à Platon pour trouver TEsprit ou l'Idée nettement opposée ^ la Matière ; ce fut Platon, en particulier, qui reprit à son compte la croyance pythagoricienne à la vertu du nombre et en fit un système.

L'acoustique pythagoricienne, qui seule nous intéresse ici, partit de Texpérience fondamentale du monocorde : en mesurant les longueurs des cordes qui donnent les trois consonances d'octave, de quinte et de quarte, on trouva entre ces longueurs des rapports fixes et définis : j, î» 5. Telle fut la découverte de Pythagore (1). Rien ne nous autorise à supposer qu'il ait connu également le rapport | (| : i), qui représente le ton majeur, c'està-dire l'excès de la quinte sur la quarte. Il se déduit directement des précédents, mais à la condition que

(1) Nie, i^an., c. 6; c. iO. — Ptol., Harm., I, 8; — II, 12. — Aa. Qu., in,2,p. 116.— Théon Sue., JtfMS.,i2,p.59; 13, p. 61 ; 16, p. 71.— La même expérience, faite avec des tubes sonores, est relatée dans Nie, 10, p. 19 ; — Théon, pp. 57, 60, 61, 66; — Porph., 216.

ARISTOXÈNB DB TARBNTB 4

l'on sache qu'une différence d'intervalles s'exprime par un quotient de rapports ; et nous verrons que cette loi particulière, si elle a été observée par un grand mathématicien comme Euclidc, n'a jamais été formulée expressément dans l'antiquité et qu'elle n'a pas encore d'action, en particulier, sur certains calculs de Philolaos. Nous ne pouvons donc la supposer connue de Pythagore ; et puisque les textes ne lui attribuent que la détermination expérimentale des trois rapports de consonance, nous devons croire qu'il s'en était tenu là.

La découverte était d'importance, car, en ramenant une consonance à un rapport numérique, elle faisait, pour ainsi dire, saisir et toucher, en un cas particulier, cette universelle correspondance des nombres et des choses, qui était pour les Pythagoriciens le secret même de l'univers : la musique devenait, à l'égal des mathématiques, la science du nombre, mais du nombre concret, dont les rapports nous sont directement sensibles, et l'on comprend le conseil que donne, en mourant, à ses élèves, le Pythagore de la légende : « Travaillez le monocorde ». Car cet instrument, qui mesure les sons, nous permet d*atteindre par l'expérience certaines de ces hautes vérités mathématiques qui partout ailleurs ne se fondent que sur Pintuition.

Il nous semble aujourd'hui que l'on devait tirer de la découverte de Pythagore des conclusions d'un autre ordre, plus modestes et plus précises. Nous aurions dit simplement que ce qui est consonance pour notre perception est lié, en dehors de nous, à un certain rapport numérique, que la consonance est une illusion de notre ouïe, une catégorie de notre sensibilité, un mode de traduction, propre à la conscience, de ce qui dans le

monde matériel n'est qu'une relation dé quantité. Autant de notions qui manquaient aux Pythagoriciens, comme elles manquèrent à presque tous les philosophes anciens. Pour eux, la perception n'est pas distincte des choses, elle n'a pas ses lois propres, et le monde extérieur tel qu'il nous est donné par nos sens n'est pas, ne saurait être distinct de ce qu'il est en réalité. La relativité de la perception, affirmée par Démocrite et, à ce qu'il semble, par quelques disciples des Ioniens, n'est admise par aucun philosophe des autres écoles, pas même par Platon, qui établit entre les Idées et les données de nos sens des intermédiaires qui sont les choses, c'est-àdire ces données mêmes extériorisées, ni parÂristote, aux yeuxdequile sensible ne se distingue du sentant qu'en logique, et non dans la réalité. Pour un Pythagoricien une consonance n'est pas une perception, elle est une chose, dont l'existence se conçoit indépendamment de toute conscience et de tout organe sensible aux impressions sonores, et dont la réalité est aussi complète que celle delà corde qui lui donne naissance. Remarquons, en passant, que ce réalisme total est, avec le système opposé (idéalisme ou criticisme absolu), le seul soutenable en bonne logique ; on ne voit pas pourquoi nous accorderions à certaines sensations, plutôt qu'à d'autres, le privilège de représenter la réalité, pourquoi nous sanctionnerions ce que nous fournit la vue ou le toucher plutôt que ce qui vient de l'ouïe, et pourquoi, si un son ou une couleur n'est qu'une illusion, une sensation de résistance, ou même la perception d'un mouvement n'est pas une illusion encore : toute notre physique repose en réalité sur un postulat aussi commode que peu fondé; car il n'y a pas de raison pour accorder à la matière le

S2 ARISTOXÈNB DE TARENTB

poids OU la cohésion, ou simplement Texistence, plutôt que la couleur, la saveur ou telle autre qualité : tout ce que nous savons du monde extérieur nous vient des sens et doit partager leur fortune. Les Pythagoriciens étaient donc pleinement dans leur droit lorsqu'ils considéraient le son comme une sorte d'être, auquel la corde donne naissance dans certaines conditions, et plus tard les Stoïciens, qui faisaient du son un corps, exprimaient la même idée dans leur langage matérialiste. Cet être, sur la nature duquel les Pythagoriciens ne se sont jamais expliqués, présente cette propriété curieuse d'être déterminé, conditionné par les dimensions du corps sonore ; il est comme Tcxpression musicale de ces dimensions et de leurs rapports mutuels : c'est un nombre réalisé, comme toute chose d'ailleurs, mais ici le nombre semble se révéler d'une manière plus directe et plus immédiate que dans tout le reste de l'univers, où il se voile, on ne sait trop pourquoi, d'apparences et d'emblèmes. Le son est la chose numérale par excellence.

Tel est le principe et le fond de l'acoustique pythagoricienne. Elle devait se perfectionner de diverses manières, à la fois par l'expérience et par le raisonnement.

Le rapport |, que Pythagore ignorait sans doute, fut découvert d'assez bonne heure, puisque Philolaos le connaît (1). Dès lors l'octave put se décomposer en une quarte, un ton et une autre quarte, que Ton fit correspondre aux nombres 6, 8, 9, 12 : il est facile de voir que

(1) Nie, Man,, c. 9, p. 17 ; tj. 12, p. 27. — BoècB, de Mus., III, 5.

I = |, I z=z 1^ ^ = i, ^ = |. Cette série donne donc la valeur exacte des fractions qui représentent chaque intervalle de la gamine. Les Pythagoriciens, qui avaient Tesprit mathématique, virent aussitôt que ces quatre nombres devaient être ramenés eux-mêmes à une loi unique et générale, qui expliquât leur apparition ; ils tâchèrent de soumettre ces données de Texpérience à la nécessité mathématique. C est à cet effort que nous devons Tinvention de la proportion harmonique (1) qui relie entre eux les nombres 6, 8, 12: S = l^^. Si a = 6, et 6 = 12, le calcul montre que m = 8. Combinée avec la proportion arithmétique, qui pour les mêmes valeurs extrêmes donne m' = 9, cette relation devient le rapport musical (Xôyoç fjLonatxoç) (2). Mais il est facile de voir que ce prétendu rapport n a pas Tunité d'une formule, et représente seulement la superposition de deux rapports distincts. Aussi bien, le problème posé aux Pythagoriciens (étant données certaines valeurs d'une fonction, retrouver la fonction) était-il insoluble pour eux ; la science moderne n'arrive à la résoudre que dans certains cas particuliers, à l'aide des formules d'interpolation de Lagrange ou de Newton (3). L'arithmétique ancienne, privée du secours de lalgèbre, ne pouvait exprimer une relation de quantités que par un rapport de quantités, et il était impossible de comprendre dans un rapport unique les quatre nombres de la série musicale.

(i) Nie, Ifan., 8. — Jambl., de Nic.^ p. 451. — Ntc, Ar., II, 22.

(2) Jambl., de Nie, p. 168.

(3) C'est ainsi que la série 6, 8, 9, 12 est donnée par la formule

5—^^ 1 si Ton y fait successivement a; = i,a: = 2, a;=3,

â; = 4. Une infinité d'autres formules sont possibles, puisque le choix de la variable x est entièrement arbitraire.

Si ARI8T0XÈNE DE TARKNTE

Cet échec inévitable ne lassa point les chercheurs : un autre problème se posait en effet. Puisque le ton majeur, qui est dissonant, correspondait à un rapport défini, il devenait probable que tous les intervalles musicaux, quelle que fût leur valeur ou leur caractère, pouvaient être représentés par des rapports analogues. La détermination des nombres qui mesurent les différents degrés des différentes gammes, tel fut, du vi® au iv« siècle, le principal souci des Pythagoriciens. Ils sont guidés et dominés, dans cette recherche, par un certain nombre de principes et d'idées préconçues.

Le premier de ces principes est que les sons les plus graves correspondent aux cordes les plus longues, c'està-dire aux nombres les plus élevés. Nous savons aujourd'hui que la vitesse de vibration est inversement proportionnelle aux longueurs des cordes : ce sont, en conséquence, les sons aigus que nous faisons correspondre à des nombres élevés, qui sont des nombres de vibrations. Les Pythagoriciens restèrent fidèles, dans la disposition de leurs séries, à l'ancienne manière de voir, même lorsque des idées nouvelles sur la nature du son se furent répandues. En second lieu^ les mêmes nombres doivent se retrouver, quel que soit le mode de production du son : d'où les expériences d'Hippasos sur des disques de diamètre égal et d'épaisseur différente, ou sur des vases plus ou moins remplis d'eau, celles aussi que la légende prête à Pythagore sur les marteaux d'un forgeron. Toujours les mêmes relations apparaissaient entre les épaisseurs, les hauteurs d'eau, ou les masses : lequel

LES PYTHAGORICIENS BS

résultat est à peu près exact dans le premier cas, et complètement erroné dans les deux autres. Nous avons là un bel exemple d'une expérience faussée par un préjugé. Enfin, puisque les nombres mêmes qui mesurent l'objet sonore mesurent aussi le son qui en émane, Tintervàlle perçu par l'oreille doit croître et décroître suivant la même loi que les longueurs déterminées par Texpérience. On sait qu'il n'en est rien : étant données deux cordes dont Tune dépasse l'autre du tiers de sa propre longueur, ce qui nous donne un accord de quinte, si l'on ajoute à la plus longue un nouvel élément égal à ce même tiers, on n'aura pas pour cela superposé une nouvelle quinte à la première : c'est une octave que nous entendrons ; pour doubler la quinte il faut élever au carré le rapport 3/2 des deux cordes, c'est-à-dire se donner une troisième corde qui soit avec la plus longue dans le même rapport que celle-ci avec la plus courte. De même, pour ajouter une quinte (|) aune quarte (g)) il ne faut pas prendre une corde d'une longueur égale à la somme (17) des deux plus longues cordes desdits intervalles, il faut faire le produit des deux rapports qui leur correspondent ; ce produit indiquera le nouveau rapport de longueur (f ) qui donnera à Toreille la sensation d'une somme de la quarte et de la quinte.

Nous savons aujourd'hui ce qu'il faut penser d'une relation pareille, oîi une série géométrique (série des pro^ duits) répond à une série arithmétique (série des sommes) ; les mathématiques l'étudient, et une fonction existe, qui permet de faire correspondre à un terme quelconque, entier ou fractionnaire, commensurable ou non, positif ou négatif, réel ou imaginaire de Tune des séries, un terme de l'autre série : c*est la fonction logarithmique,, dont

S6 ARISTOXÈNB D£ TARENTE

rinvention remonte à Napier(1614). Elle faisait défaut H raritbmétique ancienne, et, avec elle, Téquation qui représente d'une façon générale la correspondance des deux séries (équation exponentielle élémentaire), c'est-à-dire la notion mathématique d^une telle correspondance : un an-* cien ne pouvait supposer qu'une relation mathématique stable et déterminée pût exister entre deux séries de genre différent ; passer d'une de ces séries à l'autre était à ses yeux une opération extra-mathématique. D'où le grand embarras de l'acoustique ancienne : car l'expérience était là pour montrer que la somme d'une quarte et d'une quinte, pour l'ouïe, correspondait dans la réalité au produit des rapports | et |, et qu'il. y avait donc lieu de chercher une loi particulière entre ces deux phénomènes, d'ordre mathématique l'un et l'autre. Mais l'établissement de cette loi dépassant les ressources de la science antique, les Pythagoriciens devaient s'en passer, admettre par conséquent l'identité du rapport donné et de l'intervalle perçu,^ ou du moins, dissimuler la dissemblance de ces deux termes par des subterfuges variés. On sait que le rapport des longueurs est désigné, dans leur doctrine, par le même mot (dta<7Tv}|xa) que l'intervalle. Des expressions comme « intervalle double, triple, sesquialtère » qui supposent une véritable confusion, sont courantes en particulier chez Euclide(l). Cependant le grand géomètre ne se trompe pas dans ses calculs : il n'hésite pas à construire par multiplication des intervalles où le langage musical voit des sommes : ainsi l'intervalle de quinte et d'octave (îtà nbnî. xal 5ià Tra^ûv) est déclaré « triple »,

(1) EucL., Div. mon,^ p. 24, etc. — Eratosth., dans Porph., p. 267.

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ce (}ui est démontré immédiatement par la multiplication des rapports | et j. Mais en aucun endroit de son traité Euclide ne pose le principe qui devrait autoriser une pareille opération ; jamais il ne fait remarquer que^ dans le domaine de Tacousti que, c'est la multiplication qui représente l'addition, et la division, la soustraction. Ce postulat fait défaut à cette partie de sa Géométrie. Et c'est par de véritables artifices dé langage quMl dissimule la difficulté. Il écrit (1) : « Si Ton retranche d'un intervalle sesquialtère un intervalle sesquitierce , le reste sera un intervalle sesqui octave. » Proposition évidemment fausse^ à prendre les mots dans leur vrai sens, puisque Tonal — 5 = 5. Mais dès le début de la démonstration, le problème est posé d'une tout autre manière : « Soient en effet la longueur a égale aux | de 6, et la longueur c égale aux | de 6, je dis qu'on a ^ = |. » Ce qui est démontré facilement par la réduction des fractions au même dénominateur ; mais on voit que l'idée de division s'est substituée à celle de soustraction. De même, lorsque Euclide annonce qu'il va ajouter à lui-même ((TVVTiôevat ) un intervalle multiple, c'est en réalité à une élévation au carré qu'il procède ; et s il dit que l'octave est la somme ((7DV£<7tiqxsv) des deux rapports | et 1, il faut entendre qu'elle en est le produit. Il y a là de véritables équivoques, et toute une sophistique mathématique peut-être inconsciente (car un Grec est sophiste dans Tâme), mais qui nous parait aujourd'hui bien contraire à la méthode des sciences exactes. Du moins Euclide, servi par son instinct de grand géomètre, a-t-il le mérite, comme tel mathématicien moderne célèbre par ses erreurs de calcul, de « trouver toujours le

(1) Bw. Mon,, p. 30.