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résultat ». Mais d'autres s*y sont trompés, et c'est ainsi qu'une démonstration attribuée à Philolaos (1) est un véritable non-sens. Étant donnés les nombres suivants, qui représentent quatre notes consécutives (/a, soly fa, mi) :

ce sont les différences de ces nombres, et non leurs rapports, que Philolaos va considérer. Le premier ton (/a-5o/) comprendra, en conséquence, 24 unités, le second 27, et l'intervalle restant {fa-mi) 13 ; d'où il suit que cet intervalle est plus petit qu'un demi-ton (2). Chacun sait, au contraire, que les deux premiers intervalles sont rigoureusement égaux, étant représentés par les rapports m ^t ItIy q^^ s^^^ égaux (leur plus simple expression est

b) ; et si le troisième est moindre qu'un demi-ton, c'est qu'il est inférieur en valeur numérique à la racine car- \

rée de f^> it|, ou de|. L'absurdité de cette démonstration ne doit cependant pas nous en rendre l'authenticité suspecte. Il n'y a rien d'étonnant à ce que Philolaos, ou tel autre philosophe pythagoricien, ait commis une confusion contre laquelle rien ne le mettait en garde.

Nous avons vu que les Pythagoriciens ne réussirent jamais à faire dépendre d'une formule unique les quatre nombres fondamentaux de leur acoustique. Ils n'en renoncèrent pas pour cela à l'idée que ces nombres, ou plutôt que leurs rapports mutuels, devaient présenter entre eux quelque analogie : s'il n'était pas possible de les déduire les uns des autres, du moins devaient-ils appartenir tous à une même classe, reconnaissable à quelque carac-

(1) BoÈGB, de Mus., III, 5. — Plut., de An. procr.,c. 18.

(2) Cette doctrine eut une certaine vogue, puisque Plutarque {de An. procr., 13) affirme que « les Pythagoriciens donnaient au nom-

« bre 27 le nom de ton, au nombre 13 le nom de X$îfji(xa ou $(fi9iç. » 1

tère mathématique. Or, les rapports qui expriment les trois premières consonances présentent cette particularité d'être des rapports superpiartiels C"-^). Les Pythagoriciens décrétèrent, en conséquence, qu^un rapport consonant devait avoir la forme superpartielle. Cette règle ne peut, bien entendu, s'établir par une démonstration mathématique : elle résuite seulement de la généralisation des résultats de Texpérience. C'est un postulat, le véritable postulat de l'acoustique pythagoricienne ; Euclide s'en rend bien compté : c'est avec une sorte de timidité, et en invoquant une analogie avec le langage dont un géomètre ne devrait pas se soucier, qu'il pose, au début dé son traité, ce principe indispensable à la marche de ses démonstrations : que les consonances correspondent à des rapports superpartiels ou multiples (1). C'est en vertu de ce postulat que certains Pythagoriciens excluent du nombre des consonances la onzième (réplique à l'octave de la quarte), parce que le rapport qui l'exprime (|) n'a pas la forme superpartielle et ne s'y laisse pas réduire (2). Ceci posé, que faut-il penser des rapports qui correspondent aux intervalles dissonants de la gamme? Tout d'abord qu'ils peuvent s'exprimer par des nombres, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas incommensurables. C'est ce que montre l'expérience pour le premier d'entre eux (g)^ c'est ce que prouve aussi le raisonnement; en effet, un intervalle prend successivement toutes les valeurs

(1) Euclide ne parle plus de longueurs de cordes, mais du nombre des vibrations, ou plutôt des impulsions successives (tiXt^ysO* Mais la difâculté reste entière, car ces nombres peuvent fort bien n'être rationnels qu*en apparence, comme tous les nombres donnés par Texpérience seule. Voir, sur ce début, mon article de la Revue de Philologie, 1900, p. 236.

(2) Magr., in Somn. Se, II, 1. — Dion., § 29, p. 107 Bellermann.

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possibles, suivant qu'on ajoute ou qu'on retranche aux deux cordes qui lui donnent naissance des quantités déterminées. Les nombres musicaux se forment par addition ou par soustraction; ce sont donc des nombres rationnels (I). Très exact au point de vue mathématique, ce raisonnement n'est cependant pas légitimement appliqué ici : on confond un procédé de mesure avec un procédé de construction. Il peut fort bien se faire, par exemple, que telle valeur correspondant au demi-ton soit, de sa nature, irrationnelle ; ce qui n*empéchera pas nos appareils de mesure de donner toujours des valeurs définies,, parce qu*elles ne seront qu*approchées : de même on attribuera à la diagonale d'un carré de côté 1, des longueurs égalesàl,4, — 1,41, — 1,414, etc., suivant la graduation employée, tant qu'on ne saura pas que cette quantité est irrationnelle, c'est-à-dire ne peut se mesurer exactement. Les Pythagoriciens devaient donc dire qu'ils ignoraient les lois de construction des nombres acoustiques, et non conclure prématurément à leur rationalité. Nous savons aujourd'hui que la série des intervalles et la série des rapports se construisent suivant deux lois différentes; et la relation entre les deux séries est telle que, si les intervalles sont exactement multiples ou sous-multiples les uns des autres, les rapports sont irrationnels, et si les rapports sont rationnels, ce sont les intervalles qui deviennent incommensurables entre eux — pour le mathématicien, bien entendu, et non pour l'oreille, qui est un instrument de mesure, et, en cette qualité, ignore l'incommensurable.

(1) C'est ce qu'afArme Archytas (Porph., ad Ptol., p. 215). — Cf. Adrastb (Théon, 6, p. 50).

LES PtTHÂCORICIENS 61

Faute d'avoir pu distinguer la série des rapports de la

série des intervalles, les Pythagoriciens attribuèrent à la première ce qui revenait à la seconde. Les nombres irrationnels, dont la théorie, dès le v' siècle, était fort développée, ne reçurent en conséquence aucune application en acoustique, et toutes les expériences eurent pour objet la détermination de nombres entiers.

L^ plus ancienne évaluation des rapports de la gamme entière qui npus ait été transmise est attribuée à Philolaos : nous avons dit précédemment les étranges conclusions que le philosophe en tirait relativement à la valeur des intervalles. Il est facile de voir comment ces nombres avaient été obtenus : on insère da^ns un intervalle de quarte deux tons successifs, dont on connaît la valeur (|) ; ce qui veut dire (car les calculs de Philolaos sont exacts sur ce point) qu'on multiplie deux fois de suite le rapport l par le rapport |. On obtient ainsi Les rapports H et 1^, qui signifient que le premier son inséré est au son inférieur de la quarte comme 27 est à 32, et que le second est à ce même son inférieur comme 243 à

la sol fa mi

La réduction des quatre fractions au même dénominateur, que Ton chasse ensuite, donne les nombres :

la sol fa mi 192 218 243 256

62 ÀRISTOXÈNE DE TARENTB ^

Les rapports mutuels de ces nombres (et non, comme le croit Philolaos, leurs différences^ sont égaux aux rapports primitifs et représentent les intervalles considérés. La condition de rationalité est remplie ; mais le rapport i^l ou |] et surtout le rapport irréductible ^ ont des formes bien compliquées. On s'en tira, pour le dernier rapport^ en expliquant qu'il ne correspond pas à un inter* valle véritable, maisà une différence d^intervalles fXsî/x|xa), à un passage {jiUcfiç) entre deux intervalles définis : en d'autres termes, on admit que Toreille ne percevait pas entre le fa et le mi de rapport direct : théorie fort soutenable, comme nous le verrons par la suite, et qui fut adoptée par une partie de Técole pythagoricienne. Platon, dans le Tintée^ construit des séries où n'interviennent que les rapports |) \ et |, comme dans les tables de Philolaos. Mais d'autres Pythagoriciens ne se contentèrent pas de ces premiers résultats. Eni effet, l'échelle diatonique à laquelle ils répondent était bien loin d'être la plus employée par la musique grecque ; et les autres gammes méritaient aussi qu'on les soumit au calcul, puisqu'elles faisaient partie de l'harmonie. En outre, le ton, qui est dissonant, s'exprime par un rapport superpartiel (|). Dès lors, pourquoi ne pas admettre que des rapports superpartiels doivent correspondre, non pas seulement aux consonances, mais à tous les intervalles de la gamme? Le postulat pythagoricien ainsi généralisé préside aux recherches des savants de l'école : Archytas, Eratosthènes, Didyme, et enfin Ptolémée. Les tableaux qu'ils nous ont laissés (1) sont des documents précieux, car ils nous donnent des évaluations de la grandeur des

(1) Ptol., Earm., II, 14.

intervalles^ sur laquelle la notation est muette^ c'est un service du même genre que nous rendent, au xvi* et au XVII* siècle, les tablatures de luth, en tranchant la question souvent indécise du dièse et du bémol. Mais il y a cette différence que la tablature n'a pas de préférence pour tel ou tel chiffre^ tandis que le géomètre pythagoricien veut trouver des rapports d'une forme déterminée. Si Ton fait soigneusement la part de ce préjugé, on peut tirer des indications fort utiles des divisions proposées par ces habiles calculateurs (1). Nous ne citerons ici que celles d'Archytas, le seul qui soit antérieur à Aristoxène :