GENRES

!'• corde

ila)

2« corde

3* corde

4« corde {mi)

Enharmonique Chromatique. .

Diatonique. . .

«7 '•'^ St4 7

fi V^ IR __ 4

9 S^ tn 4

Dans les séries d'Archytas comme dans celles de Pytha* gore et de Philolaos, les nombres mesurent les longueurs des cordes. Cependant le son n'est plus mis en relation directe avec ces longueurs : entre les deux termes extrêmes, un terme moyen s'est introduit, qui n'est pas encore le son, mais qui n'est plus une grandeur matérielle, qui est déterminé par la longueur de la corde, et détermine lui-même le son. Cet intermédiaire est la

(1) Voir à ce sujet VAppendice qui fait suite au présent ouvrage.

lEîl

'Ma»"*."»" """°'*" "« "«»"

h> par l,„n '^*'" '™«-

I' "<-n L,.».-/ "Ji'lions : les u- |-l..v; .„"'""■' «""'-^ son. p„„

I'' '■"velonp, E, ." " '«"mme de »'<■ '<V"rJ, .,„„!■ f'" '« PWnomèL.

"""tuonsM, „„*""■•" «tjels, L.^, '^""""''"'tioniéiaU

Vv~ • LES PYTHAGORICIENS 65

^'' dans l'espace : le mot ou la note que perçoit notre oreille

■r^''': n'est pas do même nature que la couleur des lèvres ou

-^r.: la longueur de la corde ; il ne se voit pas, c'est-à-dire

^ . .. qu'il ne nous est pas donné comme un attribut sensible

11' i: de ces lèvres et de cette corde ; il semble au contraire

iiïtK. s'en détacher, et cela dans certaines circonstances seu-

lement, et venir chercher notre oreille, qui, pour sa part, ne le perçoit pas dans l'espace, mais en elle-même. Ce n'est que par un rapprochement des données de la vue avec celles de l'ouïe que nous pouvons deviner que tel son est parti de tel objet. Que voit notre œil en pareil cas ? Il voit le corps sonore, et il le voit remuer, c'est-àdire qu'il voit l'origine du mouvement : le son est lancé par la corde comme le disque par la main de Tathlète. Mais sa rapidité est telle, qu'on ne le voit pas s'échapper et voler dans l'air ; il n'est perçu qu'au point de départ, parla vue, et au point d'arrivée, par l'ouïe. Cette conception très primitive et matérialiste fut reprise par les Pythagoriciens et adaptée à leur doctrine dès une époque ancienne : en effet, un texte de Théon (1)* attribue à Lasos et à Hippasos, l'établissement d'un rapport entre le son et la vitesse, et, d'autre part, la théorie de l'harmonie des sphères, assez ancienne, si l'on s'en rapporte à la forme des gammes dont elle fait usage (2), repose tout entière sur ce même rapport. La vitesse dont il est question ici n'est autre que la vitesse de propagation, supposée variable avec la hauteur des sons. C'est là une erreur^ mais qu'il était bien difficile d'éviter. En effet, la corde se meut, et on voit sans peine que son mouvement

(2) Cf. Reinach, Vharmonie des Sphères* Comptes rendus du Con-^ grès international d'Histoire (1900), p. 60.

AHISTOXÉME DE TAHfiME 5

66 ARISTOXÈNK DE. TAIIBNTB

est plus vif pour les sons aigus ; dès lors comment ne pas croire que le son aigu est projeté avec plus de force, et, par suite, fend Tair plus rapidement ?

Ârchytas (1) invoquait aussi l'exemple d'une baguette que Ton agite^ ou celui d'une toupie, dont le son monte avec la rapidité de rotation. Qu'est-ce donc que le son? Est-ce un corps, lancé dans l'espace avec plus ou moins de vigueur ? Non certes; c'est là une opinion vulgaire qu'un Pythagoricien devait repousser ; car on ne concevrait pasy à ce compte, que la hauteur du son varie avec la rapidité de sa course : un disque garde sa forme et sa couleur, quel que soit le trajet qu'il accomplit. Le son, en acquérant une existence matérielle indépendante, perdrait cette relation directe avec le nombre qui en fait, dans toute la nature, un phénomène privilégié. 11 faut donc dire que le son, loin d'être indépendant de la vitesse, est cette vitesse mème^ et telle est en effet la définition que nous trouvons à la fois chez Archytas et chez Platon. Selon Eudoxos et Archytas, nous dit-on (2), les rapports sont des rapports de mouvements ; un mouvement rapide est aigu parca qu'il frappe l'air d'une façon soutenue et plus vive, un mouvement lent est grave parce qu'il est moins actif. Ce qui ne veut pas dire que le son ne soit, en dehors de nous, qu'un mouvement, mais que le son est, en nous comme hors de nous, un mouvement d'une certaine nature ; il y a un mouvement qui est sonore, sans doute en vertu de sa rapidité même ; ou plutôt ce mouvement n'est pas seulement sonore, il est son. Les Pythagoriciens établissent une identité entre

(1) PoRPH.*, ad PtoLy p. 237.

(2) Théon. Smr., g. 13, p. 61. Texte traduit plus haut, p. 64, note.

deux termes qui nous paraissent foncièrement distincts ; nous ne pouvons voir dans le son qu*un effet du mouvement, ou un attribut du mouvement| ou dans le mouvement une condition de la perception sonore, parce qu'invinciblement nous faisons du son un phénomène subjectif, du mouvement un rapport objectif. Sans vouloir examiner ici jusqu'à quel point le préjugé moderne est fondé, disons seulement qu'il faut s*en dépouiller autant que possible pour comprendre la théorie ancienne. Cette théorie est aussi celle de Platon, et il ne faudrait pas croire qu'il y ait le moindre pressentiment de la relativité de nos perceptions dans le passage du Timée (1) où se trouve analysé le phénomène de l'ouïe : Platon y distingue deux temps : un choc (ttXyjyyj), qui est produit par Tair, pénètre par l'oreille et se propage Jusqu'à Tâme à travers le cerveau et les vaisseaux sanguins ; ce choc est le son même (^wvyî) ; il détermine un mouvement (xtwîatç) qui se transmet depuis la tète jusqu'au foie, siège de l'âme mortelle, et ce mouvement est l'ouïe (àxovj) ; sa rapidité ou sa lenteur est acuité ou gravité. Mais ces deux termes, choc et mouvement, se retrouvent hors de nous sous la même forme : il y a un choc de la corde, phénomène actif, puis un mouvement de Tair, phénomène passif et résultant ; mais ce choc est déjà un son naissant, et ce mouvement est un son encore, non plus produit, mais transmis. Et si Platon veut retrouver en nous à la fois le choc et le mouvement

' (1) P. 67 B. "OX(o; [xev ouv ©covtjv Ocufiev ttjv ot* ôSxwv 6ir* dépoc vçfxt^oîkoM Te xal x'ifAaxoc f'-^XP' '!'''^X^'^ itXijY^i'' SiaStSofxivr^v, ttjv Se 67: 3çÙT^< x(vT)atv, ûtTto TTJ^ xecpaXfjc |Ji£v dp)(^oji.ivT)v, xeXeuxwaqcv 81 iiepl X7)v xoi3 T^iraxoc eSpav, ûtxoTjv Sjtj 8e aux^ç xa/^eîa, oçetav, 6'(nf) 81 ppaSuxépa^ Papuxépav, xxs.

68 ARISTOXÈNE DE TARBNTB

consécutif^ ce n'est pas du tout pour suivre le plus loin possible dans notre organisme des impulsions purement mécaniques venues du dehors, comme pourrait faire un physiologiste moderne, c'est pour reproduire exactement en nous-mêmes le son tel qu'il existe et qu'il existait déjà en dehors de nous. Ce qui doit ressortir de son analyse, ce n'est pas le moins du monde une différence de nature et un lien de causalité entre le phénomène interne et le phénomène externe, c'est l'identité complète de ces deux phénomènes : le son est dans notre corps et dans notre âme immatérielle comme il est dans le corps sonore et dans l'air transparent : ici comme là, c'est un mouvement^ provoqué lui-même par un choc. Et ce mouvement se mesure, et ce sont les nombres donnés par cette mesure que compare entre eux l'intelligence humaine. On sait l'intransigeance de Platon sur ce point, et le mépris dont il accable les musiciens d'instinct^ qui ne savent pas lire le nombre inscrit dans l'accord ou dans la mélodie (1).

L'acoustique ancienne alla plus loin : on découvrit que le premier choc, reçu et transmis à l'air par la corde, se prolongeait en se répétant : écartée de sa position normale, la corde n'y revient pas d'un coup, mais la dépasse pour repartir aussitôt en sens inverse, et ainsi de suite jusqu'à ce que le mouvement s'éteigne. Ce phénomène vibra-

(1) Timée, p. 80. — Philèbe, p. 56 A : ■ cherchant le principe de « raccord non dans la mesure, mais dans les tâtonnements de la « pratique » : xtjV jjiouaixTjv à pjiôÇovxe*; où fi.£tpt|i^ àWà fjisXéttjc 9zoy(d(iyn^.

LjB^ PYTHAG0R1GIBNS 69

toire, le plus simple de tous, est fort bien décrit, dans le Commentaire de Pappos (1), par un auteur inconnu: « La corde, dit-il, prend un mouvement de va-et-vient « (àvax«/x'|£t$ noiiïaôai) surplace (xaià tov aùrbv xouov) . » Cette découverte semble être venue assez tard, après Platon et Aristote, qui l'ignorent, mais avant la rédaction du traité de Audibilibus (2), c'est-à-dire avant Aristoxène. Cependant elle n'eut pas toute la portée que l'on pourrait croire ; elle ne conduisit pas les physiciens à distinguer la vitesse de vibration, d'où dépend la hauteur de la note, de la vitesse de translation, qui est à peu près invariable. Les anciens n'eurent jamais l'idée de mesurer cette dernière vitesse. De l'observation des mouvements alternatifs de la corde on conclut seulement que le son, continu en apparence, est discontinu en réalité : chacun de ces mouvements produit un nouveau choc, et chacun de ces chocs, transmis par l'air, est déjà un son, et la vitesse de transmission dépend de la vivacité du choc, et détermine elle-même la hauteur du son. « Le mouvement « de la corde, continue notre auteur, est plus sensible à

(1) PoRPH., ad PtoL, p. 213.

(2) On attribue généralement ce traité soit à Héraclide de Pont (V. Jan, Musici grxciy p. 137), soit à un disciple d'Aristote, à peu près contemporain d* Aristoxène. Cf. Hodibb, Slraton de Lampsaquey p. 48. Quant au passage des Problèmes (xix, 39^) où il est question des périodes sonores (xwv ev xoT; (^^6-^01^ irepi48wv), il ne s'agit probablement pas ici des vibrations, mais du mouvement de la corde qui est censé prendre successivement dilTérentes vitesses. On veut nous faire comprendre que deux mouvements de rapidité dilTérente finissent par coïncider : la nète, d'abord deux fois plus rapide que rhypate, est, dans une seconde période, aussi lente {h^ y^P ^^^'^^poe 'ZT^<: vTfi-ctjç hXtiytI... ÛTcdtxTj èaxfv). Nous sommes ici en présence d'une théorie bien connue de la consonance que nous aurons à examiner plus loin (p. 74).

« la vue qu'à l'ouïe. A chaque impulsion reçue par l'air « qu'elle bat, il faut bien qu'un son vienne frapper l'oreille « et la frapper encore. S'il en est ainsi, il est clair que « chaque corde envoie plusieurs sons. Si chacun de « ces sons se produit au moment du choc, comme un choc « n'occupe pas de durée, mais une limite de temps (un <( instant), on voit que dans l'intervalle des ébranle- « ments sonores il y aura des silences qui dureront un M certain temps. Mais l'oreille ne perçoit pas les silences, « parce qu'ils ne l'émeuvent pas et qu'en outre ces petits <( intervalles de temps sont inappréciables ; et les sons, « en se touchant, donnent l'illusion d'une note unique « qui se prolonge dans la durée. )> Il faut descendre jusqu'à Euclide (i) pour trouver le son défini non plus par un choc unique, mais par une succession de chocs, et la hauteur du son déclarée proportionnelle à la rapidité de celte succession, et non de la transmission dans l'air. Encore Euclide parle-t-il pour les besoins de sa cause; il veut établir, en effet, que tous les rapports acoustiques doivent être rationnels, c'est-à-dire se composer de nombres entiers. Pour le prouver, il montre que c'est en ajoutant ou en retranchant un certain nombre de vibrations, nombre entier nécessairement, que Ton passe de l'aigu au grave, ou du grave à l'aigu ; nous avons montré précédemment que tout raisonnement de ce genre repose sur une simple confusion entre le fait expérimental et le droit mathématique. La confusion se double ici d'un

(1) Div, Mon., p. 23 Meib. : ^ Les mouvements sont plus fréu quents ou plus espacés, et les plus fréquents rendent les sons « plus aigus, les plus espacés, plus graves. » Twv oe xivijdscov al {ilv 7ruxv6xepa( ei<Jtv, al 8ê àpaiôxspxi, xat al [jlIv Ttuxvoxepat ôÇutépou^ tcoioOji Toùç çp6(5YYO^Ç» «^ 5s àpatoTEpai papuxépou;.

sophisme : Euclide se garde bien de remarquer que si le nombre total des vibrations, depuis le premier ébranlement jusqu'au repos final, est entier en efFet, la rapidité de leur succession peut être représentée par une fraction quelconque, dont le dénominateur dépend de l'unité de temps choisie. Il faut donc voir plutôt, dans la définition si exacte du phénomène sonore donnée ici par Euclide, ringénieux détour d'un géomètre qui a du mal à fonder ses démonstrations, que la vue profonde d'un physicien qui atteint et qui sent la vérité. Ici comme en plus d'un autre cas, la science antique a dit vrai sans le savoir, sans pouvoir le prouver, sans y attacher d'importance. Il n'en faut pas moins admirer l'heureux hasard qui Ta conduite, comme dans la nuit, jusqu'au seuil même de la science moderne.

Que la hauteur des sons dépende de la rapidité de leur course ou de la fréquence des vibrations, les sons élevés doivent être représentés par des nombres élevés ; il y a donc lieu de renverser les proportions traditionnelles où la plus grande valeur est attribuée au son grave, donnée par la plus longue corde. Mais cette idée mit très longtemps à triompher. Ce n'est que chez les auteurs de la dernière période, comme Plutarque, Nicomaque, ou l'Anonyme de Bellermann, que l'on trouve les anciens rapports intervertis (1). Tous les tableaux de Ptolémée sont construits suivant l'usage primitif, et Euclide, qui n'ignore pas cependant la loi de vitesse, ne s'occupe,

(1) Plut., de An. procr,^ 13, i5, 18 ; —De Mus.^ 22. — Nie, Man,, 6. ~-Exc., 3 b. — An. Bbll., III, 77, 79, 96. Il faut ajouter Aristote. si la citation de Piutarque {de Mus., c. 23) est bien exacte. Aristote mettait, en effet, le son en relation directe avec la vitesse, et il n'était pas dominé par la tradition autant qu'un Pythagoricien.

72 ARISTOXÈNE DE TARIlNTE

dans SCS démonstrations^ que des longueurs des cordes, comme le montrent les théorèmes 10 et suivants. Il y a donc, entre le préambule dont nous parlions plus haut, et le traité auquel il s'applique, une véritable solution de continuité: car, en admettant qu'Euclidene voulût mesurer que les longueurs des cordes, qui seules étaient mesurables en effet pour un savant ancien, encore devaitil, après avoir défini le son par la seule fréquence des vibrations, établir une relation, et une relation inverse, entre cette fréquence et cette longueur. 11 n'en est rien ; pareil principe ne se trouve énoncé nulle part, ni dans son ouvrage, ni ailleurs; et les anciens, qui n'ont pas hésité à proclamer, contrairement à la vérité expérimentale, la proportionnalité des poids tenseurs, n'ont jamais affirmé explicitement la proportionnalité des vitesses, qui était nécessaire à leur théorie, et qui se trouvait exacte, si l'on savait distinguer le mouvement de translation du mouvement vibratoire. C'est là une timidité bien étrange, et qui montre que les différentes hypothèses acoustiques ne sont jamais arrivées à se coordonner entre elles. C'est la distinction de la cause et de l'effet qui pouvait le mettre d'accord ; mais l'acoustique pythagoricienne semble dominée jusqu'à la fin par le principe d'identité: le son est une longueur, et d'autre part est une vitesse ; or cette vitesse croît quand la longueur diminue, et réciproquement. Pour sortir de là, il fallait dire : Le son n'est pas une longueur, il est une vitesse (cette définition pouvait être maintenue), laquelle est déterminée par une certaine longueur. C'est ce qu'on n'osa jamais faire ; et, plutôt que de sacrifier l'un de ces deux énoncés contradictoires, on aima mieux les mettre en avant tour à tour ou simultanément, en se gardant d'^xp^îi^^i* ^^ relation

mathématique qui les rend incompatibles. En acoustique comme en métaphysique, la doctrine pythagoricienne demande à n*ètre pas trop pressée ; elle garda toujours une certaine indétermination , due précisément à la rigueur exagérée des premières formules.

Sur un point cependant les Pythagoriciens tentèrent une explication physique, et non pas seulement mathématique. Nous avons vu que la doctrine, en se développant, avait fini par perdre de vue le phénomène de la consonance sur lequel elle s'appuyait d'abord. En effet, si un rapport rationnel d'abord, superpartiel ensuite, convient à tous les intervalles de la musique, ce rapport ne traduit pas en langage mathématique la différence entre les intervalles consonants et dissonants, mais seulement leur analogie. Il faut donc chercher à rendre raison d'une autre manière de l'impression si nette et si définie que donne une consonance. Quelle est d'abord cette impression ? Ici tous les savants et tous les musiciens de l'antiquité sont d'accord pour répondre que dans la consonance les deux soqs se trouvent fondus et confondus (1). D'où les Pythagoriciens conclurent, avec leur rigueur ordinaire, que ces deux^jsons n'en formaient qu'un pour l'oreille (2). Qu'est-ce à diyei? Y a]iirait-il là une illusion

(1) Arist., Mét.y VII, 2, 6, p. 1043 ^(ôÇâoç xal papio<; [i{5tc xotdtSe) ; — de Sensu, c. 3, p. 419; c. 7, pp. 447-448. — Adraste, dans Porph.» ad Ptol.f p. 270 : (Xe(a xai itpo<xT)VT|C <pci)vT5).

(2) Arghytas, dans Porph., ad Ptol., p. 277. Dans les consonances^ l'ouïe ne perçoit qu'un son unique. 'Evôç ip6(5Y"foi» -^fs^n^ai xa^à xàc

7i ABISTOXÈNË DE TARE^TK

particulière de l'un de nos sens ? Non certes ; car rien ne peut être dans la sensibilité qui n'ait d'abord existé dans le monde réel. Si nous ne percevons qu'un son, c'est qu'il n'y a qu'un son en effet. L'explication du phénomène se trouve tout au long dans le Timée (1). On se fonda sur ce principe bien connu qu'un mouvement s'éteint en se ralentissant ; il doit en être ainsi pour le mouvement sonore : un son aigu a un commencement et une fin, il doit donc être plus lent, c'est-à-dire plus grave à mesure qu'il tire vers sa fin. Mais comme un pareil mouvement est, de sa nature, numéral, c'est-à-dire est toujours mesuré par un nombre défini, comme il est représenté (pour parler le langage moderne) par une fonction discontinue, sa rapidité ne ilijiiîmi«raqu*en prenant des valeurs entières (2). Suivant quelle loi? On l'ignore ; mais on peut admettre avec vraisemblance que ces différentes valeurs décroîtront suivant des rapports très simples, de

2 à 1, de 3 à 2, de 4 à 3 par exemple. Supposons maintenant qu'un son grave ait résonné en même temps que le son aigu ; si sa rapidité est égale à la moitié ou aux

3 ou aux 4 de celle de son compagnon, un moment viendra où le son aigu, en baissant, se trouvera précisément à l'unisson du son grave ; à ce moment précis nousn'entendrons plus qu'un son unique : la consonance sera révélée à notre sensation si nous sommes ignorants, à notre intelligence si nous savons retrouver le rapport dénombres qui en est la cause. Cette théorie ne se fonde sur aucune donnée expérimentale: il est faux qu'un son baisse lors-

(2) Ce sont ces valeurs successives qui consliluent, pour Tautcur du Problème cité plus baut, p. 69 (XÏX, 39 b), \e3 pénodes du mouvement sonore.

LES PYTHAGORICIENS t5

qu'il s'éteint, et surtout qu'il baisse en passant à l'octave inférieure, ou à la quinte ou à la quarte. Ne soyons cependant pas trop surpris de voir ainsi le raisonnement substitué à Tobservation des faits : lorsque Helmholtz affirme qu'un intervalle mélodique consonant est reconnu comme tel grâce à la coïncidence des harmoniques supérieurs, il invoque, lui aussi, un phénomène que la théorie indique, mais que Foreille ne perçoit que rarement. Et tout un système harmonique (le dualisme) prétend former la gamme mineure à l'aide d'une certaine série d'harmoniques (dits de résonance inférieure) que personne n'a jamais entendus, car ils n'existent pas. Reconnaissons d(Hic plutôt, dans l'explication proposée par les Pythagoriciens du ve siècle, le pressentiment obscur de deux vérités : la première, c'est qu'un son doit contenir d'une certaine manière d'autres sons en rapport simple avec lui-même. La physique moderne a montré qu'il en était bien ainsi, et que des vibrations sonores d'une rapidité déterminée s'accompagnaient presque toujours de vibrations de rapidité double, triple, quadruple, etc., qui appartiennent aux harmoniques. Les Pythagoriciens ont eu seulement le tort de croire à des sous-multiples plutôt qu'à des multiples, et de parler de succession, au lieu de simultanéité. Cetle théorie inexacte concorde d'autre part assez délicatement

avec les données delà perception : elle suppose, en effet, que les deux sons d'un accord consonant sont d'abord entendus séparément, puis confondus. Si les deux faits ne se succèdent pas nécessairement dans cet ordre, il paraît bien établi aujourd'hui que le sentiment de consonance ne doit pas être confondu avec la perception distincte des deux sons et ne peut même coexister avec elle : c'est tour à tour, et non au même instant, que nous en-