I\.-DIVISION

84. Ire Définition. La c/i^^i^ion* est une opération par laquelle on cherche combien de fois un nombre appelé dividende contient un autre nombre appelé diviseur.

Le résultat de la division se nomme quotient"^*,

85. On indique la division par Fun de ces deux signes, ( -^ ) ou (:), qu'on prononce dknsé par, ou bien par un trait placé entre le dividende et le diviseur.

Si l'on veut indiquer la division de 42 par 5, on écrira 42 -r 5, ou 42: 5, ou encore -M-. Cette dernière expression s'énonce ordinairement 42 sur 5.

86. 2û Définition. On définit encore la division une opération par laquelle, connaissant le produit de deux facteurs et l'un de ces facteurs, on cherche l'autre.

Ainsi diviser 40 par 5, c'est chercher un facteur qui, multiplié par 5, donne 40 pour produit.

Cette deuxième définition renferme la première, car si 40 = 5 X 8, le dividende 40 contient 8 fois le nombre 5.

* Division, du latin dividere, séparer.

* * QiAotitniy du latin quoties, combien de fois

OPERATIONS ARITHinâTIQUBa Kl

87. 3® Définitioa. Enfin on définit la division une opération qui a pour but de partager un nombre en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans un autre.

Cette troisième définition convient pour le cas où le dividende est un nombre entier ; elle est d'ailleurs l'enfermée dans la deuxième. En effet, si nous partageons 40 en 8 parties égales, la valeur d'une part est le quotient ; et si nous multiplions une part par le nombre des parts, nous devons évidemment retrouver 40.

88. Lorsque le dividende contient exactement le diviseur, le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient. Ainsi 63 contenant 9 sept fois exactement, on a : 63 = 9 x 7.

89. Lorsque le dividende ne contient pas exactement le diviseur, la division a un reste; alors le quotient donne, à moins d'une unité, le nombre de fois que le dividende contient le diviseur. Dans ce cas,' le dividende égale le j^^^oduit du diviseur par le quotient, "plus le reste.

Ainsi 62 contenant 8 sept fois, et le reste de la division étant 6, on a : 62 = 7 X 8 -I- 6.

90. Remarque. Le quotient d'une division peut s'obtenir par une suite de soustractions. En effet, pour trouver le quotient de 25 par 6, on peut retrancher 6 de 25, ce qui donne 19 pour reste ; puis 6 de 19, ce qui donne 13 pour reste ; puis 6 de 13, ce qui donne 7 })our reste ; puis 6 de 7, ce qui donne 1 pour reste. Une nouvelle soustraction n'étant pas possible, on voit que 25 contient 6 quatre fois et qu'il y a 1 de veste.

Cette manière de trouver le quotient de deux nombres exigerait un temps très long, et ne serait pas pratique dans un grand nombre de cas ; aussi a-t-on dû chercher un moyen plus rapide d'effectuer la division.

Différents cas de la division

91. I^r Cas. Le dividende est plus petit que 10 fols le diviceuVy c est-à-dire contient le diviseur inoins de lOjol^.

\^ Le diviseur n'a qu'un cliiffre. Dans ce cas, la table de multiplication permet de trouver innnédiateuient le quotient.

68 jlbiteh^quk

Soit, en effet, à diviser 51 par 6. On voit dans la table que 51 est plus grand que 6x8, et plus petit que 6x9; donc 8 est le quotient, à moins d^une unité, de 51 par 6.

2^ Le diviseur a plusieurs chiffres.

Soit à diviser 1 643 par 382.

Diviser 1 643 par 382, c'est, d'après la définition de la division (n^ 84), trouver combien de fois le dividende 1 643 contient le diviseur 382.

J'écris le dividende et le diviseur sur une même ligne, je les sépare par un trait vertical et je souligne le diviseur. Puis je cherche combien les 16 centaines du dividende contiennent de fois les 3 centaines du diviseur ; je trouve qu'elles les cuntiennent plus de 5 fois et moins de 6 fois, car 5 fois 3 font 15, nombre plus petit que 16, et 6 fois 3 font 18, nombre plus grand que 16. Je dis que 6 est le chiffre du quotient ou un chiffre trop fort. En effet, le dividende contient bien 5 fois les 3 centaines du diviseur, mais je ne suis pas certain qu'il contienne 5 fois le nombre 382,

qui est plus grand que 300 ; dividende 1 643

j'essaye donc le chiffre 5. Pour 1528

cela, je fais le produit de 382 reste 115

par 5 et je trouve 1 910, nombre plus grand que 1 643. Le chiffre 5 est donc trop fort ; j'essaye le chiffre 4 : 4 fois 382 donnent 1 528, nombre plus petit que le dividencie ; 4 est donc le chiffre du quotient. Je retranche du dividende 4 fois k diviseur, et j'obtiens 115 pour reste.

Ainsi 4 est le quotient, à moins d'une unité, de 1 643 par 382, et le reste de la* division est 115.

92. Remarque. On peut ne pas écrire le nombre 1 528 et faire la soustraction en même temps que la multiplication du diviseur par le chiffre du quotient. On dit alors :

4 fois 2 8 de 13. . . , reste 5 et je retiens 1 ;

4 fois 8 32 et 1 33 de 34 reste 1 et je retiens 3 ;

4 fois 3.... 12 et 3.... 15 de 16 reste 1.

93. Règle. Pour diviser un nomhre de plusieurs chiffres pai un 'nombre de plusieurs chiffrer, dans le cas ou le dividendi contient moins de \0 fois le diviseur, on écrit le dividende et le diviseur sur une même li(j7ie, on les sépare jjar un trait

382 diviseur 4 quotient

OPÉEATIONg ARITHMÉTIQUEft 53

vertical et Von souligne le diviseur. On cherche ensuite combien le nombre formé 'par le prem,ier ou les deux premiers chiffres du dividende contient de fois les plus hautes unités du diviseur ; on obtient ainsi le chiffre du quotient ou un chiffre trop fort. On multiplie le diviseur par ce chiffre ; si le produit est plus petit que le dividende^ le quotient trouvé est exact ; dans le cas contraire^ on dirainue successivement le quotient dune unité^ jusqu^à ce que le produit du diviseur par le quotiertt soit égal ou inférieur au dividende.

94. 2^ Cus. Le divideyide est plus grand que \0 fois le diviseur. Soit à diviser 2 499 408 par 438.

Pour cela je prends sur la gauche du dividende autant' de chiffres qu'il en faut pour former un nombre contenant 2 499 408 438

le diviseur au moins une fois et moins de dix 309 408 5 ()Ç)(^ fois ; ici, je sépare 4 chiffres, c'est-à-dire les 2 808 700

mille du dividende, et je dis : 180 g

24 contient 4 .... f^ ^ois, et à cause de la retenue, 5 fois ; j'écris 5 au quotient 5 fois 8 .... 4U de 49 ... . reste 9 .... et je retiens 4 ;

5 fois 3. ...15 et 4... .19 de 19.... reste 0 et je retiens 1 ; 5fois 4... 20et 1 21 de 24 reste 3.

J'écris 4 à la droite du reste ; 30 contient 4 .... 7 fois. 7 fois 8 .... 56 de 64 ... , reste 8 .... et je retiens 6 ;

7 fois 3 21 et 6 .... 27 de 29 reste 2 et je retiens 2 ;

7 fois 4 28 et 2 30 de 30. . . .reste 0.

J'écris 0 à la droite du reste ; 280 ne contient pas le diviseur, je mets 0 aiT quotient, j'écris le 8 à la suite du reste ; 28 contient 4

6 fois.

6 fois 8 .... 48 de 48 ... . reste 0 et je retiens 4 ;

6 fois 3 18 et 4 22 de 30 reste 8 et je retiens 3 ;

6 fois 4 24 et 3 27 de 28 reste 1.

95. Règle. Pour diviser u/h nombre quelconque par un autre ttoiubre, o)i écrit le dividende et h', diviseur sur u^ie 7/iênie ligne, on les sépare par un trait vertical et Von souligne le diviseur. On prend ensuite sur la gauche du dividende autant de chiffres

54 ABITHIJ[iTIQI7ft

qu'il en faut pour /(/uner un nombre contencmt le diviseur au

V10171S une Jais et moins de dix J'ois ; on divise ce dividende par le diviseur et Von trompe le premier chiffre du quotient ; on multiplie le diviseur par ce chiffre^ et Von retranche le produit du dividende partiel, A côté du reste on écrit le chiffre suivant du dividende. On divise par le diviseur le nombre aiîisi /orme, appelé deuxième dividende partiel, et Von trouve le deuxième chiffre du quotient ; on multiplie le diviseur par ce chiffre et Von retranche le produit du dividende partiel. On continue ainsi jusqu'à ce qu^on ait écrit tous les chiffres du dividende. Le nombre formée par les chiffres trouvés est le quotient,

Lorsqu^un dividende partiel ne contient pas le diviseur, on met 0 au quotient, on écrit le chiffre suivant du dividende et Vo7i contiîiue V opération, ►

96# Remarque. Lorsque le diviseur n'a qu'un chiffre, la division se fait très rapidement. On écrit le quotient au-dessous du dividende sans écrire les restes successifs.

Soit à diviser 678 501 par 7.

On dit : le septième de Q7 est 9 pour 63, il reste 4 qui valent 40 ; le septième de 48 est 6 pour 42, il reste 6

qui valent 60 ; 678 501 reste 5

le septième de 65 est 9 pour 63, il reste 2 96 928

qui valent 20 ; le septième de 20 est 2 pour 14, il reste 6 ; le septième de 61 est 8 pour 56, il reste 5.

Le quotient est 96 928, et le reste de la division est 5.