OP
Jf
586T y loP ai-4iw» j —
Ainsi on multipliera d'abord 17 toises par 34; ensuite, pour multiplier 17 toises par 10 sous^on prendra la moitié de 17 t«Hse$ , parée que 10 sons sont la mc^ë de la livr^ : et o«i aàra 8 toises 3 pieds. Pour multiplier par 2 deniers , on chercherai, pour plus d0 facilité , ce que donnerait un sou , &i prenaul le dixième de ce qu'ont donné 10 sens; ce dixième çst o toise 5 pieds 1 pouce 2 lignes 4 points et -^r ou 4 de points ; on le bsM^ rera, comme n«. devant p^s faire partie do produit, mais on en ptendra^ sixième pour avoir le produit de a deniers, et on écrira au-dessous ce sixième , qui est o toise o pied 10 pçi^ces 2 lignes 4points et-y-ou|.
Nous avon^ dopué cet je^iemple, principalement pour poqÇniier ce que nous avons dit (4^), qu'il iimpprtai^ de disti;)gi|^r )e multiplicande du ii^ultiplicateur, lorsqu'il so&t tous les devuE.coi^ret^, En effet, dans l'exemple précédent, ainsi que dans celui-ci, L^ facteurs du produit sont également 17 toises et 34 livres 10 sous ^ deniers; çependaai les deiyt produits sont différens.
^ ABITBMÉriQOE
63730^ 2ao4o
i43Ao^
lies 6i552 livres divisa par 4'^ donnent i4 livres pour quotient , et 3 186 pour reste. Ces 3 186 liv., réduites en sous , oon^ nent, avec les 10 sous du dividende, 63^30 sous, qui, divises
r 4i^f donnent i5 sous pour quotient, et iiqS sous de reste.
s 1 195 sous réduits en deniers valent i434o lïeniers, lesanek, divisés par ^iÇg^ donnent 3 deniers pour quotient, et i83o deniers pour reste , en sorte que le quotient est i4 livres i5 sous 3 deniers --fil de denier.
Pou^ entendre la raison de cette règle , il faut faire attention que les 57 toises 5 pieds 5 pouces valant 4^69 pouces , et le pooct étant la soixante^aouzième partie de la toise, le diviseur est /-Jy^ de la toise; or, pour diviser par une fraction, il faut (loo) ren* verser la fraction diviseur, et multiplier ensuite par cette inaction ainsi renversée ; il faut donc ici multiplier par -^^-^ ; ce qui revient à multiplier d'abord par 7a, et à diviser ensuite par ^41^9 ainsi que le prescrit la règle que nous donnons.
Gomme la division par un nombre complexe se réduit , ainsi qu'on vient de le voir, à la division par un nombre incomplexe, on doit avoir ici les mêmes attentions à l'égard de la nature de$ tinités que nous avons eues (126 et 127).
€e serait ici le lieu de parler du toisé ou de la multipUcadon et de la division çéométriaues : ces opérations ne difôreht en rien , pour le procédé, de celles que nous venons d'exposer ; en sorte qu'il n'y aurait ici d'autre chose à ajouter, que d'expliquer quelle est la nature des unit^ des facteurs et du produit; mais cela appartient à la géométrie. Nous remettrons donc à en parler jusqu'à ce quç . nous, soyons arrivés à la. géométrie.
De la formation des Nombres carrés» et de re^tractùm
de leurs Racines.
129. On a|^He coméf d'un nombre le produU qui résulte de la multiplication de ce nombre par lui-mêfne ; ^si 25 est le çji^swé de 5 , parce que jsiS rés^Ue de la multiplication de 5 par 5.
i3o. lia racmeoaf7iéed!unnomlure proposé est k«piti]niei{^
multiplié par lai-méme, reproduirait ce méaie pombre proposé: ainsi o est la racine carrée de aS , 7 est la raciiie carrée de 49*
i3i. Un ndinbre qiie Ton carre est donc tout à la fois muiti* plicande et multiplicateur; il est donc deux fo^s facteur (42) du
Ï produit ; c'est pour cela qu'on appelle ans» ce produit ou carré a seconde puissance de ce nombre.
Il ne faut d'autre art pour carrer un noHlbre , que le multiplier par lui-même selon les règles ordinaires de la multiplication ; mais pour extraire la racine carrée d'un nombre , c'est-à-dire pour re* yeair du carré à la racine,, il faut une méthode, du moins lorsque le nombre ou carré proposé a plus de deux chiffres.
Lorsque le nombre proposé n'a qu'un ou deux chiffres , sa ra** cine, en nombre entier, est quelqu'un des nombref,
dont les carrés sont :
Ainsi la racine carrée de 72, par exemple, est 8 encombre entier , parce que 72 étant entre 64 6t 81, sa racine est entre les racines de ceux-ci, c'est-à-dire entre 8 est 9; elle et 8 et une fraction ; fraction qu'à la vérité on ne peut pas assigner exactement, mais dont on peut approcher continuellement, ainsi que nouÀ le verrons dans peu.
i32. La racine carrée d'un nombre qui n'est point un carré parfait, s'appelle un iiombre sourd , ou irrationnel , ou incommensu" rable, * ■
' i33. Venons aux nombres qui ont plus de deux chiffrés*
C'est en observant ce qui se passe dans la formation du carré , que nous trouverons la méthode qu'on doit suivre pour revenir à la racine.
Pour carrer tm nombre tel que 54, par exemple :
Après avoir écrit le multiplicande et le multiplicateur , -comme on le vmt ici , nous makipUons , comme à l'ordinaire , le 4 supérieur par le 4 inférieur, ce qui fait évidemment le carré des unités»,
Nous multiplions ensuite le 5 supérieur paâr le 4, inférieur , ce qui fait le produit des disaines par les unités.
lious passons après cela au second chiffre du mnlUplicateur , et nous multiplions )e 4 supérieur par ]fi 5 inférieur , Kfi qui fait
66 ARiTHitafetlQtJE
Ift V>rbcliiit Ses tL^têÉ )pàr l«s ditaine^, ott (44) '^ proéMt ifti dimùie^ pttr !bs Mités,
BiBÛn nous multiplions lé 5 supériettr par le 5 iiiMrivtit, cêipà JHit h^atrê d»k éi%aim»é
Nous àjKfttttttdt ces {iroduiilis, et notis livrons j^t ét^ré l^iiéiit» bre 2916, que nous voyons àMik être toàkpmié ^eéifi^éès d^ ^aénes phs timxfoîB le produit dm dk^iM^etf pat fdr iMîèéà^pius le ènrré «ib» unké^ 4u btmtbre 64. '
134. (îe^qèeiiéiis tenons «k'obserrer ëtânt iitte tébtétt^èii^eliiiim^lMe cte^i^fès cle k mahiplie«^okt , n'est ptb ^ks pMr^cnlkr an nombre de $4 Q^^^ <*^ ^^^^^ n^uttbre COIiipcM^ 4ê éteiÉnai tX d'Unités; «fo ibt'te ^'ofi peut dire gën^éralemém qii^ te^e^rrë de tout nombre eoiÀpésë dé dituittes et d'iânûCé^ renfé^inêtti les tr«b parties que nous venons d'émncer; savoir, le carré des dizaines de ce nombre, deux fois )e produit des dizaines par les unités, et le carré des unités.
i35. Gçla ppsé,, comme le <,^xfé dçs di^ainei^ est des centaines (puisque i o fois i o font 1 00) , il est visible que ce carré des dizaines hq peut faire pârtife dés deux derniers chiffres du carré total.
Pareilleiifie'nt lëyrôdàit du double des dizaine^ thultîptiéés par léS utiit'és . étant i^éces'sairement des dizaines , hé jpeût mre partie du dernier chiffré du carré total.
kï6. b6nc, pour revenir du carré 2^16 à sa racine, ÔA peut raisonner ainsi :
^EXEMPLE ï.
2q'i6 I £14 i*&cine.
îo4
G>mmençoàs par trouver les dizaines de cette racine : «Mf , b formation du. carré nous apprend qu'il y a dans ^16 le carré de ces dizaines, et que ce Carte i^e peut faire partie de ces deux derniers chiffres; il est donc dans 29, et comme la racine carrée de 29 ne peut être plus de 5, concluons-en que le nombre des dizaines de la racine est 5, et portons-le à côté de-^giô, comme on le voit ci-dessus.
Je carre 5, et je retranche le produit 26*49 79; il me reste 4 9 à côté duquel j'abaisse les deux autres chiffres 16 du nombre propos 2^16.
Pour (iV>uv«r itikiifttëâ^t les unîtes de Ita rftéiAte ^ je Ikis'àftlélititHi à ce ifee rehfet^twe i>e i^te^iC ; il i^e cibMi^M'pIds ^àe dè^d:^- \k^^ du car^é, savoirs *e dù«rble des dizaines de la ratitfe Mlil' tipliépar les unités, étie «a^fë^^és ûtii^ Sex^^e âiiàte tàèdtte. De ces «Aldfilcpffnys,^ preibi«t«^ffit pouri^iâs fa^ €K>ttv«t les Utitt^iqCk^è nimi^}i^rcfaoés7 ^t<tmi9<|«%ile è5tfdtfti^'£h%^l^ribfe
IME BEZOUT- 6^
àti dizaines nmltipli'ëpar les unitës , si on la divise par le double des dizaines que nous connaissons, elle doit (74) donner pour quotieitt les nnités : il ne s'agit donc plus que de savoir dans quel
{partie de 4 16 est renfermé ce double des dizaines multiplié par es unités ; or , nous avons remarqué ci-dessus qu^il ne pouvait faire partie du dernier cbifFre ; il est donc dans A.i ; il faut dQUC diviser 4i par le doublé ^o des dizaines trouvées; j'écris donc sôus 41 le double 10 des dizaines , et faisant la division, le quotient ^
?ae je trouve est le nombre des unités due je pçrte à la droite deâ dizaines trouvées ; en sorte que la racine cherchée est 54-
Mais il faut observer q|ie quoique le quotient 4 qtie nous ve^ nons de trouver, spit en effet celui qui convient , cependant il peut arriver quelquefois que le quotient trouvé de cette manière soit plus fort qu'il ne convient ; parce que 4i (c'es{-à*dire la partie qui reste après la séparation du dernier chiffre) renferme nonseulement le double des dizaines multiplié par les unités, mais encore les dizaines provenant du carré des unités; c'est pourquoi, pQur n'avoir aucun doute sut* le chiffre des unités , il faut employer la vérification suivante :
^rès avoir trouvé le chiffre 4 des unités , et l'avoir ^rît à la ïacine , je le porte à côté du double to des dizaines , ce qui fail; io4 9 dont je multiplie successivement tous les chiffres par le même n<»Hibre 4 > ^t je retranche les produits successifs des parties coivjrespondantes de 4^6 ; comme il ne reste rien , j'en cohclos que la racine est en effet 54.
S'il restiât quelque chose, la racine n'en serait pas moins la Traie racine en nombre entier, à moins que ce reste ne Mt plus grand que le double de la racine , augmenté de l'unité ; mais c^est ce qa'on n'a pointa craindre quand on prend le quotient toujours au plus fort.
lÀ vérification que nous venons d'fenseigner est fondée Sur !k fcMnnatîon même du carré; car quand on multiplie 104 par 4 9 il est évident qu'on forme le carré des unités et le double des ^é^ zaines multiplié parles unités, c'est-à-dire, ce qui complète le earré parfait.
tS^. De ce que nous venons de dire, il faut conclûi^qûe, pour extraire la racine carrée d'un nombre qui n'a pa^ |tos de quatre chiffres, ni moins de trois, il faut , après en avoir séparé deux sur là droite , chercher la racine carrée de la tranche qui Ttwte i^uche; cette raciiSre seï'a le nombre des dizaines de la jracîne totale cherchée, et on l'écrira à côté, du nombre proposé, en Fett^ Réparant par un trait,
' On soustraira de cette .même tranche lé carré delà tacine qu'on i4e»t de ^rbtiVér ; et à^rès avoir éèrit le reste aù^deSsoûs dé cette iarantixej on abaissera à côté de ce teste^ les deux cfHiffries qti'oti •a^itit «sëparés. •'- ■\''^*'^' . t^.v. 1 -f
On séparera par un point le chiffre des unités de la trancbe qu'on vient d'abaisser, et on divisera ce qui se trouvera sur la gauche , par le double des dizaines, qu'on écrira au-dessDus. ,
On écrira le quotient à côté du premier ^^iffre de la racine , et on le portera ensuite à côté du aouble des dizaines qui a servi de diviseur.
Enfin on multipliera par ce même quotient tous les chiffres qui se trouveront sur cette dernière ligne , et on retranchera leurs produits , à mesure qu'on les trouvera, des chiffres qui leur correspondent dans la ligne au-dessus.
Achevons d'éclaircir ceci par un ei^emple.
EXEMPLE II
On demande la racine carrée de 756g.
7 5.^ 9 I 87 racine.
Je sépare les deux chiffres 69, et je cherche la racine carrée de nS ; elle est 8 ; j'écris 8 à côté, je caiçre 8 , et je retranche de 76 le carré 64 ; il me reste 1 1 que j'écris au-dessous de 76 , et j'a- ^ laisse à côté de ce même 1 1 les chiffres 69 que j'avais séparés.
Je sépare dans 1 169 le dernier chiffre 9, pour avoir dans 116 la partie que je dois diviser pour trouver les unités.
Je forme mon diviseur, en doublant les 8 dizaines que j'ai trouvées, et j'écris ce diviseur au-dessous de 116; la division 4ne donne pour quotient 7 que j'écris à la racine., à la droite de 8.
Je porte aussi ce quotient à côté du diviseur 16; je muUipUe 167 qui forme la dernière ligne, par ce même quotient 7, et je retranche les produits, à mesure que je les trouve , de 1 169 : il ne reste rien, ce qui prouve que 7669 est un carré parfaite, et le carré de 87.
1 38. Il faut bien remarquer qu'on ne doit diviser par le double des dizaines que la seule partie qui reste à gauche , api:ès qu^'on a sépacéJe dernier chiffre, eu sorte que si elle ne contenait pas le dou^ des dizaines , il ne faudrait pas pour cela employer le dtiiffre séparé; on mettrait o à la racine. Si, au' contraire , on trouvait que le double des dizaines y est plus de 9 foi^,^ on ne mettrait cependant pas plus de 9 , la raison en e!»t la mêoie que pour la division (66).
. 189. Après avoir bien compris ce que nous venons dédire ^iir .]^ racine carrée des nombres qui n'ont pas plus^de 4 chiffres y on saisira facilement ce qull convient de faire , .lorsque le nonibre des chiffres est plus grand. De quelque npmbre de chiffre^ «q^fr la racine doive être composée , on peut toujours la concevoir «ç^oir
pos^ de deux parties y dont Tune soit des dizaines et l'autre des unités; par exemple , 874 peut être considéré comme repre'sentant 87 dizaines et 4 unités. . ^
Cela pose, <{uandon a trouvé les deux premiers chiffres de la racine par la méthode qu'on vient d'exposer, on peut aussi trouver le troisième par la mèihe méthode , en considérant ces deux premiers chiffres comme ne faisant qu'an seul nombre de dizaines, et leur appliquant , pour trouver le troisième, tout ce qui a été dît du premier pour trouver le second;
Paréillefhent , quand on aura trouvé les trois premiers chiffrer, s'il d<Mt y en avoir un quatrième, on considérera les trois pre* miers comme ne faisant qu'on seul nombre des dizaines, auquel on :appliquera ,pour ti^uver le quatrième , le même raisonnement quk)n appliquait aux deux preikiers pour trouver le troisième, et ainsi de suite.
Mais, pour procéder avec ordre , il faut commencer par partager le nombre proposé en tranches de deux chiffres chacune , en allant de droite à gauche; la derrière pourra n'en contenir qu'un.
La raison de cette préparation est fondée sur ce que , considérant la racine comute composée de dizaines et d'unités , il faut , suivant ce qui a été. dit ci-dessus (i35 et suiv,)^ commencer par séparer les deux derniers chiffres sur la droite , pour avoir, dans la partie qui reste à gauche , le carré des dizaines ; mais , comme cette partie est elle-même composée de plus de deux chiffres , un raisonuen^nt semblable conduit à en séparer encore deux sur la droite , et ainsi de suite.
donnons un exemple de cette opération.
EXEMPLE III
.On demande la racine carrée de 76807696.
^^^M'i'MMa^
* 'Après avoir partagé le nombre proposé en tranches de deux chiffres chacune , en allant de droite à gauche, je cherche quelle est la racine carrée de la tranche 76 qui est le plus à gauche : je trouve qu'elle est 8, et j'écris 8 â côté du nombre proposé : je carre 8 et je retranche le carré 64 de 76, j'ai pour reste ta que j'écris au-dessous de 76 ; à côté de ce reste j'abaisse la tranche
9<» ÂRiTHMBTIQUE
80 dont îe sépare le dernier chiffre par un point ; et aurdessous de la partie 128 j'écris 16 « double de la racine trouvée ; puis disant ; en 128 combien dé fois 16 ? je trouve qu'il y est 7 fois ; j'écris 7 à la suite de la racine 8> et à côt^ du double 16 : je multiplie 167 par ce niême noi^re 7 « et je retranche de 1280 le produit de cette tnultiplication ; il me reçte ma côté duquel j abaisse la tranche 76 y ce qui forme 1 1 176 ; je se'pare le dernier chiffre 6 de ce nombre, et sous la partie 1117, qui reste à gauche » j'écris 1 74» double de la racine 87 ; je divise* 1117 par 174* ^t ayant trouvé 6 pour quotient , j'écris 6 à la racine et à côté du double 174 <JG multiplie 1746 p^r cei^aème.nombreô, et je retranche 10476 de II 1769 il reste 700; à |(;ôt^.de cerestej'abaissegôdont je sépare le de^pier chiffre ; au-dessous de 7009 qui reste à gauche j'écrJA 1752, double de la racine trouvée 876; en divisant 7009 pas 1762, je trouve pour quotient 4 que j'écris à la racine et à côté dû double 1752. Je i;nujiiplie 17624 par ce même nombre 4f ^^ je le retranche.de 7009^, il ne reste rien; ainsi la racine carrée de 76807696 est exactement^ 8764.
140. Lorsque le nonbre proposé n'est point un carré parfait j il y a un reste à la fin de l'opération , et la racine carrée ou'on a trouvée est la. racine carrée au plus grand carré contenu dans le nombre proposé i zHoré il n'est pas possible d'extraire la rac^ie carrée exactement; mais on peut en apiux>cher aussi près qa'<m k juge à propos, c'est-à-dire de manière que l'erreur <pii* en résulterait dans le oarré soit au^dess^^us de telle quaniCité qu'on voudra.
Cette approximation se fait commodément par le tUbyen des décimales. Il faut concevoir à la suite du nombre proposé deux fois autant de zéros qu'on voudra avoir de décimales à la racine ; faire l'opération comme à l'ordinaire , et séparer ensuite par Une virgule, sur la droite de la racine, moitié autant de décimales qu'on a mis de zéros à la suite du nombre proposé. En effet (54)9 le produit de la multiplication devant ayoir autant de décimales qu'il y en a dans les deux fac t e urs e n s embl e , -le carré (dont les deux facteurs sont égaux) doit dobc en' avoir le double de ce qu'a l'un des facteurs , c'est-à-dire le double de ce que doit avoir la racine. ;
EXEMPLE iv.
On demande la racine carrée de 87567 à moins d'un millième près. • '
Pour Jfaire des millièmes il faut trois d^imales; il faut dpnc mettre six zéros au car/é de 87567 ; ainsi il faut tirei;,la ^raçj^e carrée de 87567oooypao.
Ea faisant IV^pératîoii tomm» dwfi l6S exeuipl^s pféçéjde^s, o^ troiiTe pour racmô carrée 1 à m^oins d'une uaitéprftf} ^enoa4)i*e 295^17; G«tta racine est ceU^ 4^*8756^000000; Mi§}Sf cou^Qoe il sliwit de celle de 87S67 ou âfi 67567, oooqao , îe pépo^ moitié' naàmt de décim^lee dans La ri|cii}t^y <ll|e j'ai^ mis d^ zjéro$ ^u carré; ce (joi me donne 39$,^! 7 po|»v ruci^^ cjaprée de Q7Ç67, A m^ins d'un mîltièttie près».
PnieiHefient) airondemnndela racine c^ree d^ ;^j| ^ <apîm d'un dix-aaillième près, on tirera la rncine carrée dé oo^opppoo qu'iOJ|. troi|T6ra4tre i4i4^; séparant les quatre ctûffr^ 4^,1^ 4w^ P4F une ridule, on aura i ,4^4^ P^ur la raç^n^ «arrfle de ^ » ^ppror chée à moins d'un dix/-niiUiènie prèft*.
i4i* On a TU (106) que pour nmltiplier«mfi fraeltôupar une fraçiioii , ^l fallait mnhipliev numéraieur par nuvmérMemt y el àé^ nottdnatenrpardénominatear; par conséquent^ psureapfettne frsLctipn, il Aut carrer le noméi^tenr ec le dénDii)inateur; mkï$i le carré de | est | ; celui de | est -if;
142. Bpnc réciproauement , pour tirer ta ratrne carrée d'une fraction, il Ifaut tirer la racine carrée du nùtnératèut' et celle du dénominateur; ainsi là racine cadrée de -^ est |, ^slrce qtie cdle de 9 est ^, et celle de 16 est 4-
x43. JÈifS il pqut arçiver que le nupaérateiir et le dénominateur^
i>|itpus 1^ dçux, ne soient point deà car ré$ parfaits; s*îl n'y a que e nutnérateur qui ne soit point un carré, on en tirera la ra-^inp app^cbéepar la ^léthode qu'an vient ô'exposer'j et ayant tiré la' racine du ^eppuiinateur^ on la donnera pour dénonunâteur à la, racine du numérateur; ainsi', ^i l'on demandé la racine de ~, on tirçra la racine ^ppfochée du numérateur 2 qu'on trouvera i,4> ou i,4i, on i.,4i49 ^^ i,4i4^^^tp., selon qu'on voudira en approcher pluf ou J^oins ; et comme la racine jcarr^e de g est 3, on aura pour lacîncapprpcï^^ilcf ,laquan^t4-^ou H^ ou2f^oui^,etc\
Mais si le déndminateiir n'est pas un cacre', on mnltipliera les deux termes de la fraction par ce même dëDominatear , ce qui ne changera rien à la valeur de lafraction , et rendra ce dénominateur carré ; alors on opérera comme dans le cas précédent. Par exemple, si Ton demande la racine carrée de |, on changera cette fraction en yf : en tirant la racine carrée de i5 jusqu'à trois décimales , par exemple, on aura 3,872; et comme la racine carrée de 25 est 5 , la racine carrée de jj sera i— ^
i44* Pour ne pas avoir plusieurs sortes de fractions à la fois, on réduira le résultat 1^,^' , uniquement en décimales , en divisant 3,872 par 5, ce qui donnera 0,774 pour la racine de f , exprimée purement en décimales (99).
. 145, En6n, si Ton avait des en tiers joints à des fractions, on réduirait ces entiers en fractions (86) , et on opérerait comme il vient d^être dit pour une fraction . Ainsi , pour tirer la racine carrée de 8 y, on changerait 8 y en -^ et celle-ci (i43>en -^ , dont on trouverait que là racine approchée est ^^|^' ou 2,^03.
i46!i On peut aussi réduire en déoiniales la fraction qui «ccom*
Îagne Tentier ; mais H faut pbserver d'y employer un nombre e décimales pair et double de celui qu'on vent avoir à la racine; parce que le produit de la multiplication de deux nombres qui ont des décimales , devant avoir autant de décimales qn*il y en a dan^ les deux facteurs (54) > le carré d'un nombre qui a des décimales doit en avoir deux fois autant que oe nombre. En appli- Îuant cette méthode à 8 f , on le transforme en 8,4^^1 f99)t ont là racine est 3,968 , covaiiie ci»des«ts. \ 147* Si ToDavait à tirer là radbecarriéed'anequantitédécimale, il faudrait avoir soin de rendne le nombre d/^$ dlécinjialQS pair, s'il ne Test pas, ce quise fera en mettant à la suite de ces décimales , I, ou 3, ou 5, etc., zéros : odan'en change pas la valeur (3o). Ainsi, pour tirer la racine carrée de at,^5, à monis d'un milUème près, je Cire la racine carréedea 1 ,935000, qui est 4,683 ; c'est aussi celle de.2i,935« On trouvera de méinç que celle de 0,542 est, à moins d'un ipillième près, o^36, et que^ celle de o,ob54 ^^^9 ^ moins d'un millièniie près, 0,0^ 3.
14^ Quand on a, trouvé, par la méthode qui vient d'être exposée, les trois preiniers chiffres de la racine, oii ^peut en avoir Slusieurs autres avec plus de facilité et de prômptitàde, par là ivisionseule^ en cette manière.
Prenons ppur exemple 7637o35568»3 ; je commence ^ar dier-' cher les trois premiers chiffres de la racine , par la m^hode ctdessus : jç trouve 873 pour cette racine, et 1674 pouir rfeste : je mets à côté de ce^reste les deux chiffres 55 qui suivent la partie 763703 qui adonné Ijçs^trois premiers cliiflfres; (Je mettrais îds trois chiffres suivant , si j'avais (|ùatre chiffres de îa racfne ; ^tii^rè si ^*ên àvafîs cinq,;^(ainsi^de siiiïe.^ Je divise a57455<](uei1ai«lws.
par 174^» le double 4^ 1^ racine ; je trouve pour quotient 90 ; ce sont deux nouveaux chiffres à mettre à la suite de la racine, qui par là devient 87390. Je carre celte racine, et je retranche son carré 7637012 100 de la partie 7637035568 dont 87390 est la racine ; il me reste 23468.
Si je veux avoir de nouveaux chiffres à la racine, comme j'en ai déjà cinq, je puis, par la seule division, en trouver 4; je mettrai pour cet ellet , à la suite du reste 23468 , les deux chiffres restant 23 du nombre proposé et deux zéros ; et divisant 234682300 par 174780, le double de la racine trouvée, j'aurai iS4^ pour les quatre nouveaux chiffres que je dois joindre à la racine ; mais eh partageant le nombre proposé en tranches , de la manière qui a été dite ci-dessus, on voit que sa racine ne doit avoir que six chiffres pour les nombres entiers; donc cette racine est 873901^34^5 à moins d'un millième près.
On peut, le plus souvent, pousser chaque division jusqu'à un clïlffre de plus, c'est-à-dire j^usqu'à autant de chiffres qu'on en a déjà à la racine ; mais il y a quelques cas* , rares à la vérité , où rei;r^ur sur le 4ernier chiffre pourrait aller jusqu'à cinq unités ; au .lieu qu'en se bornant à un chiffre de moins , comme nous venons de le faire , on n'a jamais à craindre même une unité d'erreur sur le dernier chiffre.
Si après avoir trouvé les premiers chiffres de la racine par la méU^ode ordinaire, ce qui reste après l'opération faite se trouvait égal au double de ces premiers chiffres, il faudrait, pour éviter tout embarras , en déterminer encore un par la même méthode ordinaire ; après quoi , on trouverait les autres par la méthode, abrégée que nous venons d'exposer, qui, comme on le voit assez , s'applique également aux décimales.
Si la racine devait avoir des zéros parmi ses chiffres intermédiaires , dans le cas où ces zéros seraient du nombre des chifffrés qu'on détermine par la division, il peut arriver, s'ils doivent être les premiers chiffres du quotient, qu'on ne s'en aperçoive pars, parce que, dans la division, on neniarque. pas' les zéros qui doivent précéder sur la gauche du quotient : le moèf^n de les diUingner, est de faire attention qu':o» deit avoir toujours atftiant de chiffres au quotient qii^on 0a a mis à la suite du reste ; et par conséquent, quand il y en aura moix^S}» il en faudra compléter le nombre par des zéros placés sur la gauche de ce quoti^qt.
Au rèiste, l'abrégé que nous venons d'exposer est une suite de ce principe général, qu'u est aisé dé déduire de ce qu'oîi'a'Vu (i54); savoir, que le carré d'une quantité quelconque, composée de deux parties, renferme le carré de la'premièi*e ^partie, deux fois la premièi^ partie uuillipliée par la seconde, et le. carré de la seconde»
De laformaUon des Nombres ci^es, et de Veœtraction de leurs Racines.
i49- Pour former ce qa'on appelle îe cube d'un Dombre, il faut d'abord multiplier ce uonibie par lui-même, et multiplier ensuite par ce même nombre le produit résultant de cette première multiplication.
Ainsi le cube d'un nombre est, à proprement parler, le produit du carré d'un nombre multiplié par ce même nombre : 27 est le cube de 3 , parce qu'il résulte de la multiplication de 9 ( carT^ 4Je 3) par le même nombre 3-
Le nombre que l'oa cube est donc trois fois facteur dans le cube; c'est pour cette raison que le cube est aussi nommé trot' sième puissance ou troisième degré de ce nombre.
i5o. En général, on dit qu'un nombre est élevé â Sa seconde, [[uatriènie, cinquième, etc., puissance, quand on l'a ar lui-même, i, 2,3, 4; etc., fois consécutives, on . 2 fois , 3 fois , 4 fois , 5 fois , etc. , facteur dans û
racine cubique d'un cube proposé est le nombre qui,
ir son carré , produit ce cube ; ainsi 3 est la raciAé
iâ2. Un n'a donc paa besoin de règles pour former le cu)>e
d'un nombre } mais pour revenir du cube a sa racine it faut une
méthode- Nous déduirons cette méthode de l'examen de ce qtii se
passe dans la formation du cube.
Observons cependant qu'on n'a besoin de métbôde pour extraire la racine cubique en nombre; entiers, que lorsque le nombre proposé a plus de quatre chilTres ; cap 1000 étant le cube de 10, tout, pombre au-dessous de 1 000 , et par conséquent de moins de quatre cb^ffres, aura pour racine moins que 10, c'est-à-dire moins ^î deuï cbiffres.
Ainsi tout apn^bre qui tombera entie deux de ceux-ci : . .1, 8, »7, 64, ^a5, ai6, 343, Sia, j3Q, aura ta ntotiM cubique , en, pondre enùer, entce letdeuK DtNnbm conreapondaat de ctBe loite :
1 3 3' 4 5 6 7 8 9 , dont la première contient les cubes.
i53. T.out nombre n'a pas de racine cubique; mais on pfut approcher continuellement d'un nombre qi)i, étant cubé, appiocbe aussi de plus en plus de reproduire ce premier nombre ; c'iett ce que nous verrous après avoir appris â trouver la' racine d'un cube parfait.
i54. Voyons donc de quelles parties peut être composé le cube d'un nombre qui contiendrait des dizaine» et des unités.'
Ofi BE20UT. 7$
Pttiscp;^? le c^be résulte du carré d'iin nombre multiplié pur ce même nombre, il est essentie^de se rappeler ici (i 34) que le carré d'un nombre composé de dizaines et dC unités, renferme, i^le carré des dizflinesi ; 2^ deux fois le produit des ditainespar les unités ; 3" /ç Ki^ré des unités.
Peur former le cuhe , il faut donc muMplier ces trois parties par les dizaines et par les unités du même nombre.
Ain d'apercevoir plus dtstinctement les produits qui en résulteroBty doimens àcette opération simulée la forme suivante :
Leeanëdesdiiai*/ . \ Le cube des disaines,
nés l I
Deftxfbislepvoduit f éiantmukipUér Deux fois le produit du des dizaines par les\ par les dizai-/ carré des dizaines multi* unitâ J nés, donnera I plié par les unités.
Le carré diSf uni-f i IjC produit dos dmkies
tés ^ ^ par le carré des unités.
Le carré des dizai- / \ Le produit du carré deç
nés I I dizaines multiplié par les
1 étant multiplié f unités.
Seuxlois 9e produit/ par les uni-) Deux fois le produit des des disainei par les! tés, donnera I dizaines par le carré des unîtes f lanitéSé
Le carré des unités i / Le cube des unités.
Donc en rassemblant ces six résultats, et réunissant ceux qui sont semblables^ on voit que le cube d'un nombre composé de dizaines et d^unités, contient quatre parties, savoir : le cube des dizaines, trois fois le carré des dizaines multiplié vçir les unités, trois fois tes dizaines multipliées par le carré des unités , et enfi^ le CJwe des unités,
JFonnqns d'^pr^ cetia le c^bê d'un nombre compoisé de à i z ù n fik et d^unités^ de 4^ p^r exemple :
64^<^ io8o
i Jiw^$ prendrems donc le cube de 4 q^ eftt 64; mais coninae ce 4 eft d^ diwi^es , sqn cubie sera des mille ; par«é que le cube de 10 flst ^000; ^insi le çiibe d^ qfiauve dizAiaesisena 64000.
3 fois i6, outroU fois le carré des 4 dizaines, étant mmltipKés par les 3 unités , donneront i44 vntaines^ parce (pe le carré de 10 est loo; ainsi ce produit sera i44<><^*
3 fois 4 9 ou 3 fois les dizaines , étant multipliés par le carré 9 dçs unités, donneront des dizaines , et ce produit sera 1080.
Enfin le cube des unités se terminera à la place éem unités , et sera 27.
En réunissant ces (quatre parties , on aura 79S07 pour le jettbe de 43 , cube qu'on aurait sans doute trouva plus façilemeat en Innltipliant 43 par 4^ , et le produit 1849 ^i^c^f^ V^^ 4^ ; mais il ne s'agit pas tant ici de trouver la valeur du cube que de connaître, par l'examen des parties qui le composent , la manière de revenir à sa racine. i
i55. fêla posé, voici le procédé de rektraetian de la racine cubique. '
EXEMPLE I
Soit donc proposé d'extraire la racine cubique de ^9507 .
Cube. Racine.
Pour avoir là partie de ce iu>mbre qui renferme le cube des
dizaines de la racine , j'eii àépare les trois derniers chiffi^es, dans
lesquels nous venons de voir que ce cube tie peut être compris
puisqu'il vaut des mille. . '
Je cherche la racine cubique de, 79; elle est 4» que j'écris à
côté. ':■:',
Je cube 4 » et j'ôtè le produit 54 de 79; il me reste i5, quç j'écris au-dessous de 79.
A côté de i5 j^abaisse 507, ce qui me donne i55o7, dans lequel il doit y avoir trois fois le carré des 4 dizaines trouyèes ^ niuiti^ plié par les unités que nous cherchons, plus 3 fois ces mêmes dizaines multipliées par le carré des unités, plus eniitt le Cdbe des unités. - .
Je sépare les deux derniers chiffres 075 la partie i55qui reste à gauche renferme trois fois le carré des dizaines multiplié par les unités ; c'est pourquoi, afin d'avoir les unités (74)> je vais diviser cette partie i55 par le triple du carré des 4 dizaines, c'est-àdire par 48.
Je trouve que 48 est trois fois dans i55;j'écrisdonc3àlaracine.
Pour éprouver cette racine ^ et connaître le reste , s'il y en a , BOUS pourrionïi composer les trois parties du cnbequi doivent se trouver dans i55o']^ et voir si elles formeiit i55o7, tki^ eombtett elles endiffin'ent; mais il est auso» frommode de fuïtt eéttéf véfifiisa-
tion^ €D cubaat tout de suite 4^, c'est-à-dire en raultipliant 43 par 43 j ce qui produit 18499 en multipliant ce produit par 43, ce qui donne enfin 79507 « Ainsi 43 est eitactement la racine cubique. ^ .
Si le nombre proposé a plus de 6 chiâ'res « on raispnnera comme dans l'exemple ci-après.
EXEMPLE ÎI.
Soit proposé d'^traire la racine cubique de 596947688.
On considérera sa racine comme composée de dizaines et d'unités, et par cette raison on commencera par séparer les trois derniers chiffres.
La partie 696947, qui renferme le cube des dizaines, ayant pluik de trois chiffres , sa racine en aura plus d'un , et par conséquent eile aura des dizaines et des unités. IL faut donc , pour trouver le cube de ces premières dizaines , séparer les trois chiffres 94'7-
Cela posé , je cherclie la racine cubique de 596 j elle est S; j écris ce 8 à côté.
Je cube 8 , et je retranche le produit 5ia de 696; il reste 84, que j'écris au-dessous de 596.
A côté de 84 j'abaisse 947, ce qui me donne 84947? dont je sépare les deux derniers chiffres.
Au-dessous de la partie 849, j'écris 192 qui est le triple carré de la racine 8, et je divise 849 par 192 ; je trouve pour quotient 4 que j'écris à la racine.
Pour vérifiier cette racine , et avoir en même temps le reste , je cube 84, et je retranche le produit 592704 du nombre 596947 ; j'ai pour reste 4^4^*
A côté de ce reste j'abaisse la tranche 688, et considérant la racine 84 comme un seul nombre qui marque les dizaines de la racine cherchée , je sépare les deux derniers chiffres88de la tranche abaissée^ et je divise la partie 4^436 par le triple carré de 84^ c?èst-^-Tiïrépar/2ii68;.je trouve pour quotient 2 que j'écris k la suite de j04.,,, . , , . r
* l*fïu^ t^rtfierîlâ racine 8^2, et avoir le reste,, s'il y en » ,.je cub/e ^2Hiét|ei,Vètrfinciiç Iç prp^mt 59694768$, 4** »OJ»bre prop^^
^8 ARITHMÉTIQtJE
696947688 ; et comme il ne reste rien j j'en condiis que 84^ eit la racine exacte de 596947688.
lifaut encore observer i® que , dans le coui:^ de ces op^tationsi on ne doit jamais mettre plus de 9 à la racine.
*i9 Si le chifiFre qn'on porte à la racine était trop fort , on s'en apercevrait à ce que la soustraction ne pourrait ie fkire, et alors on diminuerait la racine successivement de i, 2,3, etc., unités jusqu'à ce que la soustraction devint possible.
qu
suffisa
d'un usage très-avantageux pour pousser cette approximation beaucoup plus loin , et aussi loin qu'on le désire , sans que cependant on puisse jamais atteindre à fme racine exacte.
cubiqu<
bre trois fois autant de zéros qu'
racine ; faire l'extraction comme dans les exemples précédens , et,
après l'opération faite , séparer par une virgule sur la droite^ la
racine autant de chiffres qu'on voudrait avoir de décimales»
EXEMPLE m.
# On demande d'approcher de la racine cubique de 6765 jusqu'à moins d'un centième près. Pour avoir des centièmes à la raciiM, c'est-à-dire deux décimales , il faut que le cube ou le nombre proposé en ait six (54) ; il faut donc mettre six zéros à la suite de 8755.
Ainsi la question se réduit à tirer la racine cubique de 8755000000.
7550. oô 8741816
. Suivant ce qui k été dit ci - dessus, je partage ce nombre p^ arftnches «de 3 diitfres chacune , en idlant de droite à gaucj^e.
DE BEZOUÏ. 79
éépàt'e leâ ckux detniets chiffres 55 : au-dessous de ht partie restante ^, j'écris 12 , triple carré de la racine , et diristut *] par i a, j6 trouve 6 pour quotient que j'écris à la racine.
Je cube la racine 20 , ce qui me donne 8000 , que je Retranche de 8755 ; fai pour reste 755 , à côté duquel j'abaisse la trancfaë boo^ dont je répare deux chiffres sur la droite ; au-dessous de la
Sàrtié testante 5 55o j'écris 1200 , tripre catré de Im racine 20 ; et ivls'ânt 755o par 1200 , je troùrepour quotient 6 que j'écris à là taciné.
Je cube la racine 206 , et je rétranché le produit de 8755000 ; j'ai pour hsste t3i84f à côté duqud j'abaisse la dernière tranche bôo, dont je sépare les deux derniers chiffres. Au-dessous de la partie restante 1 3 1840, j'écris 127808 , triple carré de la racine uôutée a(D>6. le divise ï 3 1840 par 127808; je trouve pour quotient I , que j'écris à la suite de 206. Je cube 2061 , et ayant retranché de 0755,000000 , le produit 8754552981 , j'ai pour reste ^^*]àig,
ttaracinecubiqueapprochéede8755ooooooestdonc2o6i ; donc celle de 8755,000000 est 20,61 , puisque le cube a trois fois autant de décimales que sa racine (o4)*
Si l'on voulait pousser l'approximation plus loin , on mettrait à la suite du reste trois zéros , et on continuerait comme on a fait k chaque fois qu'on a descendu une tranche.
1S7. Puisque, pour multiplier une fraction pat tme fraction , il faut multiplier numérateur par numérateur, et dénominateur |>ar dénominateur, il faudra donc, pour cuber une fraction, cuber son numérateur et son dénominateur. Donc réciproquement , pour extraire la racine cubique d'une fraction, il faudra extraire la racine cubique du numérateur, et la racine cubique du dénominateur. Ain» la racine cubique de |j est |, parce que la racine cubique de 27 est 3 , et celle de 64 est 4-
i5o« Mais si le dénominateur seul est un cube, on tirera la racine approchée du numérateur, et on donnera à cette racine pout dé-
à moins d'un centième près ; et tirant la racine de 343, qui est 7, j^ai -^^ pour la racine approchée de ||| ; ou bien , en fédui^nt en décimales (90) , j'ai 0,74 pour cette racine approchée à moins d^un centième près.
159. Si le dénonainateur n'est pas un cube, on multipliera les deux termes delà fraction par le carré de ce dénominateur, et alors Ife nouveau dénominateur étant un cube, on se conduira comme 11
vient d^êtredit. Par exemple, sil'on demahde la racine cubiquédë
^ je multiplie le numérateur et le dénominateur par 49,. carré dû
inateur 7 ; jai 5^, qui (88) esî de même valeur que y. La
cul)ique de ^ est ^^^ ou^ en'réduièant puremehteii
dénominateur jracine
8o ARITHMÉTIQUE
décimales, o,75« La racine cubique de ' est donc 0,7$ à moins d*UD centième près.
S'il y avait des entiers joints aux fractions, 01^ convertirait le tQVLt en fraction , et la question serait réduite à tirer la racine cubique d'une fraction (157 et suw,).
On pourrait aussi, soit qu'il y ait des entiers, soit qu^il n'y en ait point , réduire la fraction en décimales; mais il faut avoir soin de pousser cette réduction jusqu'à trois fois autant de décimales qu'on veut en avoir à la racine. Ainsi, si l'on demandait la racine cubique de 7 —, approchée jusqu'à moins d'un millième, on chan-
J;erait la fraction -^ en 0,27272^272, en sorte que, pour avoir a racine cubique de 7 ^tj on tirerait celle de 7,272727272 qu'on trouvera être 1,987.
i6o. Pour tirer la racine cubique d'un nombre qui aura des décimales, il faudra le préparer par un nombre suffisant de zéros mis à sa suite , de mamère que le nombre de ces décimales soit , ou 3 , ou 6 , ou g, etc. ; alors on en tirera la racine comme s*il n'y avait pas de virgule , et après l'opération faite on séparera sur la droite de la racine , par une virgule, un nombre de chiffres qui soit le tiers du nombre des décimales de la quantité proposée , en sorte que si la racine n'avait pas suffisam* ment de chiitres pour que cette règle eût son exécution , on y suppléerait par des zéros placés sur la gauche decette racine. Ainsi, pourjLirer la racine cubique de 6,54 à moins d'un millième près, je mettrai sept zéros, et je tirerai la racine cubique de 654ooooooo, qui sera 1870 ; j'en séparerai trois chiffres, puisqu^il y a neuf décimales au cube, et J'aurai 1,870, ou simplement 1,87 pour la racine cubique de 6,54- On trouvera de même que celle de 0,0006, approchée à moins d'un centième près , e^ 0,08.
161. Quand on a trouvé les quatre premiers chiffres de la racine cubique par. la méthode qu'on vient d'expliquer, on peut trouver les autres plus promptemént par la division , et cela de la manière suivante :
Qu'on demande la racine cubique de 5264627882723456 : j'en chercheles quatre premiers chiffres par la méthode ordinaire ; ils sont 1 709, et le reste de l'opération est 568 1 4 1 3 ; à côté de ce reste je mets les deux chiffres 72 qui suivent la partie 5264627882 qui a donné les quatre premiers chiffres. (Je mettrais les trois chiffres qui suivent cette même partie, si la racine trouvée avait cinq chiffres, et les quatre si elle en avait six.) Je divise 568i4i372 par 9072363, triple carré de la racine 1739; j'ai pour quotient 62, et ce sont deux nouveaux chiffres à mettre à la suite de 1789, en sorte que 1 78962 est , en nombres entiers , la racine cubique du nonibre proposé.
Si l'on voulait pousser plus loin , on cuber^Tit cette racine , et ayant retranché le produit du pombre proposé ^ on mettrait à k
DE BÈZOUT. ^8i
suite in reste quatre zéros j et on diviserait le tobt par le triple du carre de 173962, ce qui donnerait quatre décimales poi^r la racine. Ou fera ici la inéine observation qu'on a faite (148) sur le cas où la division ne donne pas autant de chiffres qu'elle doit en donner;. et, dans ces divisions, on s'aidera de la règle abrégée qui a été donnée (69 etsui\^.).
Des Raisons , Proportions et Prof;ressions , et de quel^
ques Règles qui en dépendent.
16a. Les mots raison et rapport ont la même signification en ntaâhématîques î et l'un et 1 autre expriment le résulut de la comparaison de deux quantités.
io3. Si, dan» la comparaison de deux quantités, on a pour but de connaître fie combien l'une surpaasq l'autre, ou en est surpassée , le résultat de cette comparaison , qui est la dtJSereiice de ces deux quantiiés i se nomme leur rtqqwri arithmétique. .
Ainsi, si je compare i5 avec 8 pour connaître leur différei^ce ^, ce nombre 7, qui est le résultat de la coinparabon , est le rapport arithmétique de f 5 à 8.
Pour marquer que l'on compare deux quantités sous ce point de vue, on sépare l'une deVautre par un point; en sorte que k5,8 marque x|ue l'on considère le rapport arithmétique de i5 à 8:
164* Si) dans la comparaison de deux quantités, on se propose dé connaître coiiobien l'une contient l'autre, ou est contetme eii elle , le résultat de cetjie comparaison se nomme leur rapport géométrique. Par exemple, si je compare 12 ^ .3 pour savoir combien de fois 12 contient 3, le nombre 4> qui exprime ce iiombre de fois , est le rapport géotiWtrique de 12 à 3^ . ,
!l^our marquer que l'on compare deux quantités sous ce point de vue, on sépare l'une de l'autre par deux points: cette ex-r pression i2:3 u^^rque que l'on considère le rapport géotuétijque de r 2 à 3. ,
i65. Pesdeux quantités que Ton compare, celle qu'on énonce ou qu'on écrit la première se nomme antécédent, et la secondç se nomme cow^éqmnt. Aipsi > dans le rapport i2:3, 12, est l'antécédent , et 3 est le co\iséquent : l'un et 1 autre s'appellent les /er*mes du rapport*
166. Pour avoir le rapport arithmétique de deux quantités , il n'y a doue autre chose à faire qu'à retrancher la plus petite de la plus grande.
167. £t pour avoir le rapport géométrique de deux quantités , il faut diviser l'une par l'autre.
168. Nous évaluerons ce rapport dorénavant , en divitiant l'an- ^cèdent par le cçnséquent : ainsi , le rapport de 12 ^ $ est 4 1 et le rapport de 3 à 12 est-j^- ou |.
109. Un rapport s^rithfitetique ne change point qi^and on ajoute
a^ ARITHHÉTIQUE
à ohAcmi de ses delix termes ^ ba qu'on en retranche one imèfluft quantité^ ]parce ^ue la diff^nce (en quoi consisté ie ra|i^rt) reste toajoùhs la mêmew
ii}o. Un rapport gèdmétriqoe ne change point quand on mvi^ tipUe ou quand on divisé ses deux termes par un même nombre; car le rapport géométrique, consistant (i68) dans le quotient df la division 4e l'aojocédent par le conséquent, est iine quantité fractionnaire qui (p8) né peut changer par la multipticatioii' ou la division de ses deux termes par un niêitie n'ombre. Ainsi le rap-
Ert 3: 1 2 est le môme que oelui de 6^24 que Ton a en multipliant à termes du premier par 2; il est le même que celui de t:4 que l'on a en divisant par 3.
171. Cette propriété sert à simplifier les ra{>ports. Par exeiia|>le, sij'avaisàexaminerle rapport de6f à io|, je dînais^ en rédoisank tout en ff actidns, ce rapmct est le même que celui dé ^ à -^ , ou » en réduisant a\i même dénominateur, le même que celui 4e 4j> â i^ éu enfin, en supprimant le dénominateur 12 (ce qui reylent au m^e que de multiplia Ites den:!c termes du rapport paor 12) > ce rapport est le même que celui de Si à 128*.
172. liO^ue quatre quantité» «Kmt telles que le rapport des SeUk pr0ntîèr05 est te même que le rapport des deux dernières^ on dit qa^e ces qtiàtre quantités forment nne proportion ; et cette {proportion e^t arithmétique ou géométrique , selon que le rapport qu'on y cohMdère est aritfatnétique ou géométrique.
h0$ quatre quantités 7 , 9-, i±j 14 9 forment une proportion arithmétique^ patce que la différence des deux première^ est fat tttéâïe qtje celle des deux dernières. Pourren^rquer qu'elles goût en propol'tion a'rithmétiqàe , on les écrit ainsi : 7 * 9 x 13 . i4v è^est-à-dift qu'on* sfé^are par un point les deux tempes de chaque rapport, et les deux rapports pab deux points. Le point am. sépare tes dei»c tei^mes de chaque rapport signifie est à, et m^ deux points qui séparent les deux rapports signifient comme; *cift tùtit ^ue, pour énoncer la proportion aîn^i écrive, on dit^ ^^est àiScommeh'T.eàtkii^.
Les quatre quàiitîti^ 3 , i^ , 4 9 20 9 forAiént Uïie proportion ^é6nÂétrï(|Ue, parce qn^ 3 eSt contenu dans i5, com!me 4 I'^^ dans 20. Pour marquer qu'elles sont en proportioh géotnétriqm^ 6n lés écrit ainsi, 3 : tS : : 4 • ^o, c'est-ià-dire qu'on sëpaiîéra les deux termes de chaque rapport .par deUx pd^nts, et le» t'kpijpdifs par quatre points. Les deux points signifient esta, et lés quaftle 'poihts sigtiifient coWMè; de Sorte qu'dil dit, 3 e^2 â i5, cofhVne 4 est à 20.
Il làut seuléàieht observer à(ût , dans la proportion aiithmëtiqiHe, tk fart précédeir.le riiot co)nrhe du mot arlthniétiquàmem.
173. Le premier et le dernier térthes de la propbrtioh Btnofth
inent lés e^Wbre^; te ii* ^ le 3* sfe nommeift tes m(i^<^n^
Cèmme il y a deux rapports , et par eohséqnent deux ànt&édeifô «t deuk conséquetis , ou dit , pour le preuiièr rapport , ja;^^ tnier ixtitécédent, premier conséquent; et pour lé âeboud , second €tHPécédenty second consécfuent,
i'j4« Qoand les deux termes moyens d'une ptbpoitijottVSôiift ifgaux, la proportion se nomme proportion continue. î* . ^*t ^' i^c fônlv^t unis proportion arithmétique continue; oU IMcrlt àîil^i 4>3 . 7 . II ; les deux points et la barre qui prétèdent^pfvt^ur avère- •*— -" tnr que dans l'énonce on doit répéter le terme moyen ^qui est ici *j^ ^ l proportion ô ; 20 ; I ao ; 60 est ime propomion {^éo«iétrique continue , que par abréviation on écrit ainsi -fr S I %o ; 80 ; l'iisa^ des quatre points et de la barre «9t le même qwe dans la prc^orëôn arithmétique continue*
175. Il suit de ce que nous Venons de dire éu^ les pMjAirtiotIft ' aritnmétiques et géométriques :
I* Que 9i dans une proportion arithmétique <yn aj^likte â chacun des antécédens, ou si Von en retranche la différence ou rjiispn qui t^nie dans cette proportion, selon que Tantécédi^t â6rà|)lQ^ petit ou pltis grand que èon conséquent, chaque antécédent dbViëtàdf-ii ^gai à son conséquent ^ car c'est donner au ]^tus petit térttid dë'çhâi que rapport ce qui lui manque pour égaler son Voisin , où iëtt'aii^ «lier du plus grand ccdc^nt il surpassesen voisin. AittÂdatii^la ]|(roportion 3 . 7 '. 8 . 12, ajoutez la différence 4 au 'pteMki^' et dk troinème terme, vous aurez 7 . 7 ; 12 . la^ et Uestjaiaé dcscÉntir 4]iie cela eat général. .S
2^ Si dans une proportion géométHque vous mnkipHeaeliacuh des deux conséquens par le rapport , vous UtS re^drej^f^arj^Ui^J^nt 4gauk chacun à sou antécédent; c^r ipuiti^plier Iç^cCMP^^pçi^fjpm: jle rapport, c'est le prendre autant ^.e/fiois qu'il est,qQ^|^i^ î^vf^ l'antécédent : ainsi, dans la proportion. ti2 .,3 \ ^Q:.,5»)q^u\^li^ \ .3 et 6 chacun par 4> et vous aur^ 12 ; 12 I \ 2pJ, ji^o » ij^r^ilr \ lement, dans la proportion i5 '. 9 ; I 4^ I ^p9 u^uUipUf^,9 jet.;^ chacun par -^ qui est le rapport, vous aurez 1$ ; i5 I ; 4^ I -^f
Propriétés des Proportions arîihmëtiqùesT ^' ''/'
176. La propriété fondamentale des brot>QrlionstartiliOM(tii|4ieSy
est que la somme des extrêmes est égale. à la somme, des nto^nenAf )
5ar exemple, dans cette proportion 3 . 7 ; 8 . 12, la^omme 3 et la |
es extrêmes, et celle 7 et 8 des moyens, sox^ egaleme^ \5,' "Voici comment on peut s'assurer que cette propriété estg^é^éralev' Si les deux premiers termes étaient égaux entre eux, et ^jbs deux derniers aussi égaux entre eux, comme dans cette praportipn :
il est ^deut que la somme des extrêmes serait égi^e À celle â^ moycxia*
Or toute proportion ariUiinéiique peut être ratneDee à cet état (i ^5), en ajoutant à chaque antécédent, ou en ôtantla différence qui règne danslaproportion. Cette addition, qui a uj^tnentera également la somme des extrêmes et celle des moyens, ne peut rien changer à Tégalité de ces deux sommes ; ainsi, si elles deviennent égales par cette addition, c'est qu'elles étaient égales sans cette même addition. Le raisonnement est le même pour le cas de la soustraction.
i^^. Puisque, dans la proportion continue, les deux termes jnoyens sont égaux, il suit de ce qu'on vient de démontrer , que, dans cette même proportion , la somme des extrêmes est double du terme moyen , ou que le terme moyen est Ja moitié de la somme des extrêmes. Ainsi, pour avoir un moyen arithmétique entre 7 et i5, par exemple, j'ajoute 7 à i5 ; et prenant Ja moitié de la somme a2p j'ai 1 1 pour le terme moyen, en sorte que -^ •} . 11 . i5.
Propriétés des Proportions géométriques.
1 78. La propriété fondamentale de la proportion géométrique est que le produit des extrêmes est égal au produit des mojrens :
Ïar exemple, dans cette proportion 3 1 i5 ! '. 7 I 35, le produit e 35 par 3, et celui de i5 par 7, sont également io5.
Yoici comment on peut se convaincre que cette propriété a lieu dans toute proportion géométrique.
Si les antécédens étaient égaux à leurs conséquens, comme dans cette proportion, 3 I 3 *. I 7 I 7, il est évident que le pror duit des extrêmes serait égal au produit des moyens.
Maison peut toujoursramener une proportion à cet état (175), eu multipliant les deux conséquens par la raison. Cette multiplication fera, à la vérité, que le produit des extrêmes sera un certain nombife de fois plus grand qu'il n'aurait été , ou sera un certain nombre de fois plus petit, si le rapport est une fraction ; mais elle produira le même effet sur celui des moyens : donc, puisque après cette multiplication le produit des extrêmes serait ^al au produit des moyens , ces deux produits doivent être égaux sans cette même multiplication.
■ On peut donc prendre le produit des extrêmes pour celui des moyens, et réciproquement.
• Donc , dans la proportion continue, le produit des extrêmes est égal aucarré du terme mojren; car les deux moyens étant égaux, leur produit est le carré de l'un d'eux. Donc pour avoir un moyen géométrique entre deux nombres proposés , il faut multiplier ces deux nouibres l'un par l'autre, et tirer la racine carrée de ce produit. Ainsi, pour avoir un moyen géométrique entre 4^^99 j^ multiplie 4 par 9> et la racine carrée 6 du produit 36 est le moyeu proportionnel cherché.
179. De la propriété fondamentale àe la proportion géométrique, il suit que si, connaissant les trdfs premiers termes d'une proportion , on voulait déterminer le quatrième, il faudrait multiplier le second par le troisième, et diviser le produit par lepre^ mier; car il est évident (^4) qu'on aurait le quatrième terme en divisant le produit des deux extrêmes par le premier terme : or, ce produit est le même que celui des moyens ; donc on aura aussi le quatrième terme en divisant le produit des moyens par le premier terme.
Ainsi , si l'on demande quel serait lé quatrième terme d'une ç^roportion dont les trois premiers seraient 3 I 8 ; ; 12, je multiplie 8 par 12 , ce qui me donne g6,' que je divise par S ; le quotient 32 est le quatrième terme demandé; en sorte que 3, 8, 12, 32 , forment une proportion : en effet, le premier rapport est |, et le second est ^^ , qui (8g) , en dinisant les deux termes par 4 9 est aussi |.
Par un semblable raisonnement, on voit qu'on peut trouver tout autre terme de la proportion, lorsqu'on en connaît trois. Si le terme qu'on veut trouver est un des extrêmes, il faudra mul* tiplier les moyens, et diviser par V extrême connu : si, au con^ traire, on veut trouver un des moyens , il faudra multiplier les deux extrêmes , et diviser par le terme moyen connu.
180. Cette propriété de l'égalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens, ne peut appartenir qu'a quatre quantités en proportion géométrique. En effet, si l'on avait quatre quantités qui ne fussent point en proportion géométrique , en multipliant les conséquens par le rapport des deux premières , il n'y aurait que le premier antécédent qui deviendrait égal à son conséquent. Par exemple, si l'on avait 3 , 12 , 5, 10 , en multipliant les conséqtiens 12 et 10 par la raison \ des deux premiers termes 3 et 12 , on aurait 3,395,-^, dans lesquels il est évident que le produit des extrêmes ne peut être ^al à celui des moyens ; donc ces produits ne pourraient pas être égaux pon plus , quand même on n'aurait pas multiplié les conséquens par la raison |. Il est visible' que ce raisonnement peut s'appliquer à tous les cas.
Donc , si quatre quantités sont telles que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, ces quantités sont en proportion. De là nous conclurons cette seconde propriété des proportions.
181. Si quatre quantités sont en proportion, elles y seront encore si Von met les extrêmes à la place des moyens, et les moyens à la place des extrêmes,
182. La même chose aui*a lieu, c'est-à-dire que la proportion subsistera si l'on échange les places des extrêmes , on celles des moyens.
En effet, dans tous les c^ , il est aiîjc de voir que te produit deç cxtcélffies&ei^ tpu^ours é^al à eeltiî des moyens.
Aia4, la proportion 3 : 8 : : la : 33, peut fonrmr t<mt9* ks pçoportioas suivantes par la seule permutation d« ses tennis.
et U ^Q est àe même de toute autre proportipn.
1^3. Puisqu'on peut mettre le uoUièime tçrn?^ à U pU^e dfk second f et réciproquemeiit, on doit en KomWvg gu'onp^t, s<im$ tVùubh^une proportion ^ mi^ltiplier ou diiwçr les deuy: oniéçéd^nfi par un même nombre, et quiL en est de même à V égard des ççnr séfmns • çai^f en fais^At c^tte permutation, le^ Am^ antécédens de U pro^poitijou doAjjt^e formeixu^t le prQVÛer ir^^pport; «t lep dnuvi c^^^uei^s , le <^^ç<Bipd. Ain^ , ^uUipli^ tes 4eui^ wi^f^éMm de k f^remièrq propartiçi^ , revient aloi^$ à ^uliipUi^r k^s deu¥ feitn(e3 d'u^ rapport chacun par un i^en^e «AM^re, c^ qui (17^ ne change ppiut ce rapport* Par e^^en^ie , ^ j'ai U proponùpn 3 : 7 : C la : 28, je pul», en divisant les dew(. antepédia^ p^ 3, 4irei» X : 7 : : 4 1 ^8 , parce que de la proportion 3 : 7 ; ; 12 ; 5^8, on peut C^S^) conclure 3 I ^[2 ; *. 7 ; 28 , et eu divisant les cjeux tern^^^ du premier rapport par 3 , i : 4 '. '. 7 I ^8 , ^ui [i^^) pei^ être change en i ; 7 : ; 4 I 28.
.^84' Tout clumgemenf fait dans une proportion, es m^^i^ qut^la sQtnfid^ de V antécédent et du conséqumt , ou levr diffé^ nsBCOf ^it comparée à r antécédent ou au conséquent de la utémf mwèrq dan^ chaque rapport , former/;^, toujours une jf^r^portiotu
Pf r exemple , si l'on a la proportion.
on en pourra conclura les proportions suivantes
32 plus 8 32 moimt 8 32 plus 8 32 moins 9
Car j si c'est au conséquent que Ton compare , il est facile de YOir que ^'antécédent augmenté ou diminué du con^équi&ptf «I94PH* tiendra ce conséquent une fois de plus ou une fois de moins qu'^ai^ paravant i et comme cette cpp»paraiison se fait d^ia mjèmjB puanîère pour le second rappprt, <|ui; par U ja^ore dç h prppprtÂM^ fiH
12 plus 3 ou 12 mous» 3 on 12 pkts 3 ou 12 moins 3
m BEZQUT. 89
^«1 ««Lpremief y il s'ensuit nécessairemcftl qae les imu^ nouream^ rapports seront aussi égaux entre eux.
Si c'est à r^ittécédent que l'on compare , le même raisonnement «ara encore lieuy en conceTant que , dans la poportion sur laquelle on lait ce ehangement, on ait mis l'antécéQent de chaque rapport à la place de soi^ conséquent , et le cQnsà|i^nt à là place de Tante* cèdent , ce qui est permis (181).
i£^. Poîsqu'en qoèttant ^ troiaièmeterme d'une proportion à la place du second , et réciproquement , il y a eneor^ propoiftion ( 1 8a} v on doitXQnelure que les deuxante'c^sdensse contiennefit l'un P autre autant de foi» que lesconséq^penssecontienneot ai^i l'un l'antréi
Donc, la somme dès deux aniécédens de tmtteprcporiwn contient la sonane des deux conséquens » ouest contenue en elle, auUmtqu*Un dès aatécédens contient son conséquent ou est contenu en> bd.
If^r exemple y dans la proportion
la : j :: 32 : 8
i!fplu5,^2 : 3 plus 8 ;; 3ij : 8,cpqirtest(Jvide]çi^,
Mais , pour s'en c<mvaincre ffén^alem^lt , il n^y a qu'à faire attention que si lepremier antécédent contient le second quatre fois, par exemple, la somme des déu^'anft^édens contiendra le second cinq fois, et par la même raison , la somme des conséquens contiendra le Second conséquent cinq fois ; donc la somme des antécédt^ns contiei|ldra celle des conséquens, comme le quîninplé d'uti des ilur tç'cédens contient le quintuple de soii conséquent, cnest-à-d!irè ( ^ 70) conime un des antécédent contifsnt son conséquent.
On prouTerait ^e même que la différence des antécé^ensest à la diÇàrénce ^ès'conSéq\iens, èommé un antécédent esft k son con^é*
' 186. II est érident que la proposition qu'on vient de démontrer revient à cellë-ci : si bn a aèux rapports' égaux , par èxèmpl^', celui de. .....:.......'*.... T . . 4 : ri
et celui de 7 ! ai
ra
*fci '*■
Il ; 33
pn aura encore le même rapport , en ajoutant antécédent à antécédent, et conséquent à conséquent. ^
" Donc , si ton à plusieurs rapports égaux, la somme de tous les antêcédens est à là somme de tous lès conséquens , comme tun des àntécédens est à son conséquent. Par cxetnpîe , si qn a les rapports égaux 4 ; 12 t : 7 \ièi t; 2 ; 6, on peut dire que4p/w^7>/w^2sont à la'pfw* 2ip&*6,cortime4està 12, ou comme 7 est à ii/etc. CW après af oir ajouté entre euxles antêcédens des deàx premiers rappbi^S^ et leurs éonséq«ns âussl'èntre eux, le nouveau rapport qm^ selon ce qu'on vient^ voir , sera le même que chacun des deux premiers , sera aussi le même que le troisième : par tonié{uentoti
poarra rajouter de même avec celai-ci , et il eB résaUera encore le même rapport , et ainsi de suite.
187. On appelle rapport composé celui qui résulte de deux ou d'un plus grand nombre de rapports dont on multiplie les antcfcédens entre eux , et les conséqoens entre eux. Par exemple, si l'on a les deux rapports 12 \ 4 et 25 *. 5, le produit des antécédens 12 et 25 sera 3oo ; celui des consëquens 4 ^t 5 sera 20 ; le rapport de 3oo à 20 est ce qu'on appelle rapport coçiposé des rapports de 12 à 4 9 et de 25 à 5.
108. Ce rapport est le même que si l'on avait évalue séparément chacun des rapports composans, et qu'on eut multiplié entre eux les nombres qui expriment ces rapports. En effet , le rapport de 1 2 à 4 est 3 , celui de 25 à 5 est 5 : or, 3 fois 5 font i5 , qui est le rapport de 3oo à 20 ; et on peut voir que cela est général , en faisant attention que le rapport est mesuré (168) par une fraction qui a l'antécédent pour numérateur, et le conséquent pour dénominateur : ainjii le rapport composé doit être une fraction qui ait pour numérateur le produit des deux antécédens, et pour dénominateur le produit des de^conséquens; c'est donc (106) le produit des deux fractions qui expriment les rapports composans.
J89. Si les rapports que l'on multiplie sont égaux, le rapport composé e^t dit rapport doublé^ si l'on n'a multiplié que deux rapports; rapport triplé^ si Ton en a multiplié trois; quadruplé , si i on en a multiplie quatre, et ainsi de suite. Par exemple, si Ton multiplie le rapport de 2 à 3 par celui de 4 ^ 6 qui lui est ég^il , on aura le rapport composé 8 ; 18, qui se dit rapport doublé du rapport de 2 à 3 , ou de 4 ^ 6.
1 90. Si Von a deux proportions , et qu'on les multiplie par ordre , c'est-à-dire le premier terme de Vune par le premier terme de Vautre , le second par le second, et ainsi de suite ^ les quatre produits qui en résulteront , seront en proportion.
Car en multipliant ainsi deux proportions, c'est multiplier deux rapports égaux par deux rapports égaux (172); donc les detUL rappoits composés qui en résultent doivent être égaux ; donc le^ quatre produits doivent être en proportion (172). , igi . Concluons de là que les carrés, les cubes, et en général les puissances semblables de quatre quantités enproportion , sont aussi enproportion, puisque pour former oes puissances, il ne faut que innltiptier la proportion par elle-même plusieurs fois de suite.
192. tes racines carrées, cubiques, et en général les racines sem~
blabies de quatre quantités enproportion , sont aussi enproportion ; car le rapport àt^ racines carrée:» des deux premiers termes n'est autre chose que la racine carrée du rapport de ces deux termes (142 et 167) ; il en est de même du rapport des racines carrées des deux derniers termes ; donc., puisque les deux rapports prin^iitifs sànt, supposés egai^x ^ leurs rj<^e» f^téi^ S9nt égales ;.^9iic.Je rapppr.i;
des raciiias carrées des deux premiers termes sera égal tu rapport des racines carrées des deux aerniers. Où prouvera de même pour les racines cubiques y quatrièmes , etc.
Usage des Propositions précédentes.
193,. JjCS propositions que nous venons de de'montrer, et qu'on appelle les règles de proportions , ont des applications continuelles dans toutes les parties des Mathématiques. Nous nous bornerons ici à celles qui appartiennent à rAritbniétique , et nous commencerons par celle qu'on peut faire de ce qui a été établi (179), et qui est la base de presque toutes les autres.
De la Règle de Trois directe et simple.
194. On distingue plusieurs sortes de règles de trois; elles ont toutes pour objet de faire connaître un terme d'unei proportion dont on en connaît trois.
Celle qu'on appelle règle de trois directeet simple, est nommée simple, parce que l'énoncé des questions auxquelles on l'applique ne renferme jamais plus de quatre quantités , dont trois sont connues , et la quatrième est à trouver.
On l'appelle directe, parce que des quatre quantités qu'on y considère, il y en a toujours deux qui non-seulement sont relatives aux deux autres , mais qui en dépendent de manière que , de même qu'une des quantités contaient l'autre , ou est contenue en elle , de même aussi la quantité relative à la première contient la quantité relative à la seconde, ou est contenue en elle; c'està-dire d^une manière plus abrégée, qu'une quantité et sa relative peuvent toujours être, toutes deux, ou antécédens ou conséquens dans la proportion ; ce qui n'a pas lieu dans la règle de trois inverse , comme nous le ^rrons dans peu.
La méthode pour trouver le quatrième terme d'une proportion, et par conséquent pour faire la règle de trois directe et simple, est suffisamment exposée (179); mais il est à propos de faire connaître, par quelques exemples, l'usage qu'on peut faire de cette règle.
EXEMPLE 1
40 ouvriers ont fait , en un certain temps, 268 toises d'ouvrage ; on demande combien 60 ouvriers pourraient en faire dans le même temps ?
Il est clair que le nombre des toises doit augmenter à propor* tion du nombre des ouvriers;, eu sorte que celui-ci devenant aouble , triple , quadruple , etc., le premier doit devenir aussi d<Hiible, triple, quadruple, etc. Ainsi Tan vou que 1^ nombre idk tQiâe^
^herçk^ Ai^U cont^oir k» 2,68 toUes» autant qtie le nonteèfe, l^jûf an premier, coDtienI; le nombre 4o relatif au second : il fairt donc chercher le quatrième. teri)ie d'une proportion qui commeiH cerait par ces trois-ci :
Qlif (en /livi^a^f ç^s deux prenû^s t^vxx^ p<li: so) ^ ce qui est WffWS ( WP)> ï^]r ce§ trois ^utre? ,
par conséquent 402*^ pour Touvrage que
Un uf^vÂr^ a f|dt, avec un même vei^t» 27$ lieues en 5 jpiirs; QU d^m^n^ en cpml^en de temps il en femt aooot 9'tpute^ les au^ très circonstances demeurant les mêmes ?
11^9% jé^i^enx qi^'U faut p^us 4e teqnpi a proportip^ dn ^omb^re de lieues « et que par conséquent le nombre de jourf cbi^rché 4pi$ contenir 3 jours, autant que 2000 lieues contie^|:^e;nt 2^7$ jLi^i^^ ^ il faut donc chercher le c[uatrième tçrme cl'ufi^ prppçr^Qf^ ^f^ commencerait par ces trois -ci :
]\ïultipU^nt 2oop par 3 , çt ^iv^^fint Ip pro^W^ Éjqpft pv ^jjS > 0^ î^ur^ 21 jou^^ •^.
EXEMPLE m.
5:?5'''4**5p 4'ouvrage ont e'te' payées iÇÇ^ 9^ ^^i on dcpoiande combien on doit payer pour 77*^ i^ 8p?
te pr}x die 77* 1^8? doit contenir le prix iQS* 0^ if dç$ 62'' 4^ 5p autant que 77*^^ i^ 8? contiennent 02'^ 4^ 5p. Il ifaut ^pjxc chercher le quatrième tç^me d'une propoAion qui comifiencer^it par ces trois-ci :
c'fist4-4^r^ qu'il faj^t multipliex i6i9^ 9^^ 4'^ paf ^f i^ Sf , et diviser le produit par 62'^ 4^ ^p , ce qui peut se faire pai* ç9 qui a été dit (122 et 128).
Mais il sera encore plus simple de réduire les deux premiers teripies à itur plus petite espèce , c'est-à-dire en pouces ; et la questMUH sera réduite à chercher le quatrième terme d'une proportion qui commencerait par ces trois autres :
Alors multipliant 168^ 9^ 4*" P*^ 5564, en aura 937S4** '^^ 8^, et divisant par 3707, le quotient 24.6^ 17* 3^ |||^aera cç qu'on- doit payer pour les 7 ^"^ i ^ 8p»
S'il y iivait des fractions , après avoir réduit les deux term^^ d^ I94p^^ espàçjÇ à leur plus* petite unité, comme dans cet exemple , op^ 4l)ApU6erait le r^ppQy;^ dg ces d^vx termes de la mani^i^ qui
l^ç la Règle de TvçÀ^ inverse et ^impk.
199. La r^gle de trois iiwerse et simple diffère d^ )a rèele de troift dit eete , dont nous venons de parler, en ce (|ue des quatre quantités qui entrent dans l'énoncé de la question pour laquelle on fait cette opération , les deux principales doivent se contenir Fune rAUlre , û^m un ordre tput Q(^|K^é à celui des deux autf es quantités qui leur sont relaiiiref ; en soiite que, lorsque par Texa^' men de la question on a donné à ces quantités la disposition convenable pour former une proportion , l'uAe des quantités principales et Si^ relative forment les extrêmes , et 1 autre Quantité principale , avec sa relative, forment les moyens.
Au reste, cela n'introduit aiicune 4ifférence dans la manière de faire l'opération ; c'est toujours le quatrième terme d'une proportion qu'il s^agit de trouver ; eu du moins on peut toji^jours amener la chose à ce point.
Quelques ai^ithn^éticiens ont prescrit , pour le cas présent , ux^ règle assujettie ^ l'énoncé de la qi^estioo : nous ne suivrons point Ijcur exemple ; c'est la nature de la question, et non pas son énoncé (qui souvent est vicieux), qui doit diriger dUns la résolution.
EXEMPLE I
3o hommes ont fait un certain ouvrage en 25 jpur^; çombiei^ faudrait-il d'hommes pour faire le même ouvrage en 10 jours? On voit qu'il faut, dans ce second cas , d'autant plus d'hommes
Se h mmPtre cje jour^ çst mo^idre j ainsi h noniDre 4'l;vo^me8 erché doit contenir le nombre de 3o hommes , aut^int que le nombre z5 de jovu^ relatif à ceux - ci , contient \e j^n^tre xo de jours, relatif à ceux-là. Il ne s'agit doncquç de trouver le qu^r t^Bièmpiç tftiriu^ d'uue propprtion qui commencerait pair p^ trç^ç^i :
laJ : 20^ ;:3o?;
c'est-à-dire de multiplier 3o par 2.5 , et de diviser le prod^it ^50 par ïOj, ce ijuj dcmne 76 ou 76".
fXEMPLE II.
Vn équipage n'a plus f ue pour ? 5 jours de vivres ; mais les ciroopAt^ces dolvenjl; l,ui jfajii;e ^ei;iir encore la mer peu4^nt 29 JQJlMrs; onden^aude à cpmbiep on doit réduire la ;otâU(é des^a^r tions par jou?e
Représentons , par Tunité , la totalité d/es vivres que l on con-
"^^Qs*^
somme par jour : on yoit que ce à quoi on doit se restreindre doit être d'autant moindre de cette imité, que le nombre 20 des jours pendant lesquels cette économie doit durer , est plus grand que le nombre de i5 jours ; que par conséquent, de même que 20 jours contiennent 1 5 jours , de même la totalité des vivres que l'on aurait consommée pendant chacun de ces i5 jours, doit contenir celle des vivres que Ton consommera pendant chacun des 20 jours : il faut donc chercher le quatrième terme d'une propor* tion qui commencerait par les trois suivans :
€e quatrième terme sera ~ ou | ; il faut donc se réduire aux | de ce qu'on aurait consommé par jour.
De la Règle de Trois composée.
I g6. Dans les deux règles de Trois que nous venons d'exposer, la quantité cherchée et la quantité de même espèce qui entre dans 1 énoncé de la question, ont entre elles un rapport simple et déterminé par celui des deux autres quantités qui entrent pareillement dans 1 énoncé de la question.
Dans la règle de Trois composée, le rapport de la quantité cherchée à la quantité de même espèce-qui entre dans l'énoncé de la question, n'est pas donné par le rapport simple des deux autres •quantités seulement, mais par plusieurs rapports simples qu'il s agit de composer (187) d'après l'examen de la question.
Quand une fois ces rapports ont été composés, la règle est réduite à une règle de trois simple ; les exemples suivans vont éclaircir ce que nous disons.
EXEMPLE I
3o hommes ont fait 182 toises d'ouvrage en 18 jours; combien 54 hommes en feront-ils en 28 jours?
On voit que l'ouvrage dépend ici, non-seulement du nombre des hommes, mais encore du nombre des jours.
Pour avoir égard à l'un et à l'autre , il faut considérer que 3o hommes, travaillant pendant 18 jours, ne font qu'autant que 18 fois 3o hommes, c'est-à-dire que 54© hommes qui travailleraient pendant un jour.
Pareillement, 54 hommes ,, travaillant pendant 28 jours, ne font qu'autant que feraient 28 fois 54 hommes, ou i5i 2 hommes travaillant pendant nn jour.
La question est donc changée en celle-ci : 5^0 hommes ont fait ï32 toises d'ouvrage ; combien i5i2 hommes en féraretït-ib dans le même temps? c'est-à-dire qu'il faut chercher le* quatrième terme d'une proportion qui commencerait par ces truis-ci :
' 540^ ; iSia»» •;: jS?^ : 1
DEflEZOUT. 93
IVIultipliant i5i2 par i32, et divisant le procUiit par S^o^ on trouvera pour réponse à la question 369'^ 3^ •;? 2* |.
EXEMPLE II
Un homme, marchant 7 heures par jour , a mis 3o jours à faire 23o lieues; s'il marchait 10 heures par jour, combien emploierait-il de jours pour faire 600 lieues, allant toujours avec la même vitesse ?
S'il marchait pendant le même nombre d'heures par jour dans chaque cas, on voit qu'il emploierait d'autant plus de jours qu'il a plus de chemin à faire ^ mais comme il marche pendant un plus grand nombre d'heures p£^r jour dans le second cas , il lui faudra moins de temps pour cette raison ; ainsi l'opération tient en partie à la règle de trois directe , et à la règle de trois inversas.
On ïk réduira à une règle de trois simple, en considérant que, marcher pendant 3o jours, en employant 7 heures chaque jour, c'est marcher pendant 3 o fois 7 heures, ou 210 heures; ainsi on peut changer la question en cette autre : il a fallu 210 heures pour îaire 23o lieues, combien en faudrait-iL pour faire 600 lieues? Quand on aura trouvé le nombre d'heures qui satisfait à cette question, en le divisant par 10 , on aura le nombre de jours demandé, puisque l'homme dont il s'agit emploie loheures par jour.
Ainsi il faut chercher le quatrième terme de la proportion dont }es trois premiers sont :
On trouvera que ce quatnème terme est 547 heuresetyf, lesquelles, divisées par 10, nombre des heures que cet homme emploie chaque jour, donnent 54 jours et yf^ ou 54 jours |f .
EXEMPLE in.
Le pied de Londres étant au pied de roi '. ; i5 ; 16, on demande combien 720 pieds de Londres foiit de pieds de roi?
11 est clair que , pour mesurer une longueur déterminée , il faudra moins de pieds de roi que de pieds de Londres , dans' le même rapport que cette mesure est au contraire plus grande que la seconde , en sorte que la question 3e réduit à calculer le quatrième terme' d'une proportion qui commencerait par ces trois-ci :
multipliant donc 720 par r&,:et divisant par 16, on aura 675 pour le uoinbc^ de pieits de roi qui équivalent à 720 pieds de Londres.
V EXEMPLE IV
, Uii convoi pçut parcourir un certain espace en 18 jours , en marchaat 5 h(3ure^ par jour ; 4uais on voudrait le faire arriver en i2 jours ^ abstraction faite des séjours; on demande combien d'heures il doit marcher par jour. ,'
9< ARITHMÉtlQUE
n «irt ëta«ttt qu'il doit, cbaqtie jour, mitchet Wnâ*ttt n» nombre d'heui«s d'autaut plus considéraMe que 5 "wS X fc nombre , 2 des jours qu'il doit employer est pL pedt^l'nïaire ?^t^i: uT.t'" K '^^'' n? *i"'" *"™'t employés, si 1 W n WpS £Ti«£. li "«-i:"!'' ^«^'" de la question Lt voir qu'A »'£k
(??!wf .f^PF ^Ô par^, et divisant par la, an a 7*»^ i note cl«Ï£>V^^^ P^^ndant >3qtf,U,sTe convoi d<i'ii,LîS:
. l?e i!ûf iSeg/e </e Société.
JSà^» JSk r««?**°* .I>o'";c« effet est fontfëè s<it ce qo6
; EXEMPLE l.
Supposons, par exemple, qu'il s'agiMedei»rtMér ta» «m trois
Llties QUI aient p.ntrt» fe»] Afi \^ *^A*^^ -. '^ . ^ -«v^u cru»
ja«i« qui aient entre .l,ee iW ^ém"e7;;ppo^7u7irnrmL'^ 4* 3^ aj 1 énonce delà question fournit ces deux proportioMc . 4 ; 3 : : M pi(emièr« partie est à la seconde. 4 : 3 : ; la prennière fas^ est à k troiaièiÉb
Ou (182) ces deux autres :
4 est A la première partie : ; 3 est à la seconde. 4 est a la premlêi^e partie : : a est â la troisième.
De sorte qu on a ces trois rapports égaux : 4 est à U première paHie . . 3 est à la seconde ; : à est â la troisième
Or , on a vu C186) que la somme des antécédens de pliislèùrs ranports égaux, est alasoihme des çonséquens, comme un atetécéàeS est à son conséquent s on peut donc ^ire ici que là sohime a dœ trois parties proportionnelles à celles que l'on cherche, est à la somme 120 de celles-ci , dotame l'hne quelconque des trois oarti^ ^oportioundles est à la partie ide ijfo qai lurrA>o»i4;
là somtoe despavtiespropor«oirtiblles<ionnées; pottî- «Jcobd tërta? le hbnibte proposé à diviser, et pourtroislèmï^rme IW dS •parties propdrïionndles donnëtir; <âMi d^ms la 'question cfi^^
«vonspiise pour exemple, onawakétettoisjcê^ de tr«iràf«iret
DEBËZOIJT. ^
gr ; i^ù :: 4 :
<bnt éii iMuT«]*a (1^9) que les qùatrîèiiiès tcMei soût !f3 | j ifo , s6 1^^ qm t>nt eiitfié Mx le^ l»âfp{>t>rtS dèmàtidéJ; y et i)ùi bbtùpt^eni en effet le nomfcte 126.
Matis U est leiislë de f eiti^^uèl^ qu'A Vi^ést ùak àteôlù^ent bléfcé^saire ée fake aataat de rêghs de trois qù^l y à de p^tfe^ k ttààwr t ob ^t H é^^tiset dé là démi^i>è, en ttttsnchèM, dU iMoBne pTf»ii|dsë td sdthihe deà àiutiiôs j)ania , '^àhi 6)\ ké a
Trois personl^y ttttt 1 ^i>làgiet; |è %éMlbé âè la prise d'un vaisseau. L^^iH^m^èr.e .ai^ût.un jQnds.de.séoFOo Ut*\ la seconde de 60000 liy»^^ }a t/oisième de. i^Qooo.liv. .: da deiMànde ce qui revient à cha(;ijii^e sur la prise., estimée 800000 Hv* tofàs frais faitâ. " -On TO it qu 'il ^'argit de partager 800000 liv. en parties qui aient entre elles lef mêmes rapports que.2Qopp, ôoopo, ,12^0000, ' ou ri*4olj"à'ike î^, é, 12, puisque chacun doit avoir broportiônnelier ment a sa mise: il faut donc ajouter les trois par Ue^.proportiont nièAés 2, 69 la, et faire les trois proportions siiivaiites/ou %^u^ ment deux.
20 : 899(3^9 •:; 2 Kt- . I k ^emiéré )>artie. 20 * 999900 ;C ê }it. \ la seconde partie.
20 \ j5p99oô- ',' ,12 liv. ; la troisième partie.
Gea trois fiéxtiët «erowt Boôoo liv» ^ ^>ùoio liv« y «fSdOoô liv; '
'I^ «^ësÛM |»éttt¥è!h éti^ <pTu^ odl^liqUée , et tMéiiiûktk^è\!ik ica^dtiéé Kiilt ttféufiès ^nfc^^ès , toiàtAe daiïs rex)sin|<Ië ^i suitl
Trois i^eïâétttiùtt éiîiiià%. en société, la première 9 3ooo liv.'^ qui onti^tfijp^Qdantsiij^ois daaft4a société ; la féconde /4000 liv.y ^ui V OQ|eté pendant cinq mois ; et là troisième , 8000 liv. , qm
que^^tpis 3^oo liv.^, ou 18090 liv., pendant un laqi^
lia îhise d^ 40^0 liv. a du produire , i|pendant cinq mois^ autant
que S fois 4<>oo ^v.| , ou 20000 liv. , tendant uii mois, , , Ënfrn la niiise âe'8ooo liv. k dû produire, pendant i^u( moiS|
31^ diacun iurTe ^ain I2o5o liv. ?
ïlh procédant comme d?in« jjVTPjrij^te gJ-^fiMMi fltt Uwwà
96 AWTHMÉTIQUE
1971 liv. 16 8. 4 àen. ^, 2190 liv. 18 s. 2 den. fj-, 7887 Uv^. 5 s. 5 den. 7^-.
EXEMPLE IV
On doit distribuer à l'ite de Rke', à Belle-Ile et an Port-Louis, un approvisionnement d'outils , savoir : 4^00 bécbes» 25oo picsboyaux , 4^5o piocbes , 820 pics-à-téte ^ 820 picf*-à*-toc , oaoo écoupes, 2210 serpes, 800 faacbes. Cette distribution dcMt être faite, pour cbaque espèce d'outils, proportionneUement et conformément à un modèle d'approvisionnement, par lequel on voit Sue , sur 85oo outils de même espèce, l'ile de Kbé en a en 6eoo, elle-Ile i4oo, et le Port-Louis 11 00. On demande combien il en faut de cbaque espèce pour cbacun de ces endroits?
Modèle d'approsfisionnement.
li'iLE DE Rhé 6000
Bell£-4lb 1400
Port-Louis 4 . . . itoo
Puisque chaque espèce d'outils doit être distribuée proportionnellement aux nombres 6000, i4ooet 1 100, on trouvera combien cbaque endroit doit en avoir d'une espèce quelconque ) par exemple, de bêches, en calculant le quatrième terme de chacune de ces trois proportions ,
85oo : 4500 ou 85 : 45 : : 6doo
