i5oo ;: 180 : 687 17 n
EXEMPLE VI
Le parc d'une armée consiste en i56 pièces de canon. On veut partager cette armée en trois divisions , ie manière que la force
:aiie s agi que Evoir les trois divisions.
Ck>mme la force de la preinière division est représentée par 5
ms le premier rapport , et par 7 dans le second^ il faut, avant.
jut, la ramener à être représentée par le même nombre, ce que
fon fera facilement, en multipliant les deux termes du premier
ipport par 7, et les deux termes du second par 5, ce qui ne change
pint ces rapports. Alors les forces des première , seconde et troi-
îme divisions, doivent être respectivement com^ne les nombres
i, 28 et i5. Il s'agit donc de partager i56 en trois parties pro-
^rtionaelles aux nombres 35, 28 et i5, ce qui s'exécute comme
^QS le premier exemple, et donne 70 , 56 et 3o.
Remarque au sujet de la Règle précédente.
198. Il n'est pas inutile d'examiner un cas qui peut embarras* f les commen<jans. Si l'on proposait cette question : partager
ABrTIIMFTfQCJE. ' 7
çB ARITHMÉTIQUE .
6^0 en trois parties, dont la première soit à la seconde 1 1 5 ^ 4? et dont la première soit à Ik troi^iènie *. I 7 ! 3.
On ne: peut pas appliquer ki la règle précédente^ wààixtÊm ffréparation qui consiste à rendre la uftème , dans elniqot wmpffcmt donné, là partie proportloni^elle de l'une des troii patt^WiKfaiées, par exemple, ceUê de la premièrte ; cela s'exéC«Me4iiékÉ«m» éà multiplîaiit les ckttx termtK de chaque rapportpar te pffttaiiers«Nne de Tanue rapport t «iaMi ies deux rappiMrts 5 *. 4 ^ *; ! 3 » «ennt ramenés à -avoir un uième premier terme, en multipliant Ite denlx termes du érei^ier pflfr 7, et lesdemx tcvim» du secooA par S 4 ce qui n'en cHanf^ pas la v^alenfr («70), et ddtttine tes rapports S5 : 26 et 95 : ifi ; en sorte q«e la question se réduit à flnrtnger 6^0 en tcots pafftnes qui soient entre elles comme àes nortiortse SiS, 28 et i5,ce qui se fera aisément par la règle précédente»
Si l'nn detnandait de paita^er un nombre en q^Mtf% pMtiei , dont la première jBât à la seconde 1 1 5 t 4 1 ^^ preuMène Àia trot^ sième : : 9 : 5, et la f lumière à ia quatrièiite ; : 7 : S« «4 rédtiiuatt ces rapports à avoir un «pème prenmr terme ^ en multipliant les deux termes de chacun par te produit des premiers ternits des deux antres ; -ainsi , dans cet exemple , f>n ebangeraH ces tfois rapports en ces trms antres, SiS ', a52, 3i5 ' i^^, ^i5 [ i35; «n sorte que la question se réduit à partager le noOKène proposé en quatre parties qui soient entre elles, conam^ lés ti^iÉbies 3i5, 262, 175 et i35.
De quelques autres Règles dépendantes des Proportions.
199. Quoique les règles suivantes soient d'un usage moins fréquent qne les précédentes, nous ne pouvons cependant tet émettare absolument ; out«« au'eUes ne sont pas sans utilité par ettesnvèmfes, elles sont d'ailleurs propres à faire sentir IVcendtle des usttges des proportions.
200. La prenaière dont nous parlerons eiit la règté éCtmefèuè^
preudi'e les parties proportion nettes telles qu données par l*éwencé de la qneijtion , elle en prend une a irMirs ii "* rèiivent , et y d^ordonne les autres Conformément à ta question , tt qui rend le eakut un peu plus facile.
EXEMPLfi I.
Partager 640 Tîv. entre trots personnes, dont la seconde ait le quadruple de la première, et la troisième deux fois et \ atitant que les deux autres Cusemole. J
Je prends arbitrairement , pour représenter la première partiei le nombre 3 , dont Je puis prendre commodément te j.
La première partie étant 3 , la seconde SQia 12 ^ et la troisièm sera 35.
1MB BSflO»T^ 99
La qu^lioii ^réduite à partag(er 640 en irpip/pi^tie^ > qu^ soient entre elles comme les trpis nombces, 3, 12 et 3^, ce qui se fera comme il a été dit (i97)«
La règle d'une .fausse position sert au^i à résoudr^e des q|ie$* tions qui sont en quelque façon l'inverse de celles de la règlç it société, puisqu'il s'agit de revenir de la sompie de quelques parties d'un nombre à ce nombre même , cpmme dans l'^^JO^plç qui suit. ' ! , .
EX£Mf»I«E U. , . ; ,
On demande de trouver un nombre ^ont le j, le '| etles f'^ fissent 808. Je prends un nombre dont je -puisse avoir commodément le \y le j et les y (ce qui est facile en multipliant les trois dLâiôminateurs). €e nombre sera roS ; j'en pretids le^ qui ^8iZ5y le j qui est 21 , et les ^ qui sont 4^; j^ajoute ces trois nomb^s, iat j'ai 10 1 , qui esât composé des parties de io5 de la Aiéme ma-^ nière que 808 l'est de celles du nombre en question : dohe le nom*fare en questrân doit avoir même rapport à 808 que -i o5 à 1 01 ; il doit done être le quatrième terme d'une p^oporti^ qdl commenceuât par ces irois-ci :
loi : io5 :: 808 ; '
Ce quatrième terme est 84o , dont 808 renferme en effet le j, le i et les |.
201. La seconde règle dont nous parlerons est ceU^s de ^d^«j: fausses positions. . t
Elle sert dans les questions où il s'agit de partager, BOn pas le nombre même proposé , mais seulement une partie de ce no||ibré, en parties proportionnellesà des nombres donnés ; l'exemple afitr vaut fera connaître la règle et son jisage. > .,. •/ . .
Il s'agit de partager 6954 li^* entre trois personnes, de manière qae la seconde ait autant que la première , et 54 liv. de plus , et «tie lairoîsième ait autant que les deux autres en^emMe^ et yS^liv. de -plus.
Sans les S4et les 78 liv., il est clair qu'il ne s'agirait que dé
Eattager le nombre proposé en parties proportionnelles aux nomres I , r et 2 ; mais puisqu'il faut prélever sur la somme 54 liv» pour la seconde personne, ^t 54 liv. plus 98 pour la troisième , al est.^idejAt qu'il n'y a qu'une partie du noHUOreipEoposp qufon doit partager en parties proportionnellesà j , i ets I commeseftle
Sartie, qui est facile à trouver dans l'exemple actuel , peut être i£Bcile à apercevoir dans d'autres circonstances , on suit la méthode que voici.
Supposons , pour la première part , tel nombre que nous \p\ir
drona^ par «xemple > i ky. : laseconde p^t sera i liv. plus 54 Uy-i
lôo ARITttMÊTIQCE
c'est^HliM 55 liV. ; et 1« ttoidèmè sera i Kv. , plus 55 Tiv . , pitts 78 fiy. ; c'estHÎ^-^cÛre i34 Hv. : la totalité de ces parts est 190 uv.
S'il ii*edt étç <{uestioa a ue cle partager en parties proportioonelles à t , i et 2 , la première part étant toujours supposée i liv., }a seconde serait i tiv., la troisième serait 2, et la totalité serait 4ViV., dont la différetice avec 190, è'esi-à-dire 186 liv;, est ce
3a^1 font prélever sur la sothme proposée 6q54 liv., ce qui la réuit à 6760 liv. : il reste donc à partager 67TO Uv. en parties proportionnelles à I , I et 2 , selon les règles ci - dessus ; et ayant trouvé que la premièriç partie ei^t 1692 liv., on en conclura que les deux autres parts dematidées» sont 1746 liv. et 35i6 liv. ; en effet, la totalité de ces trois part» est 6954 liv.
202. Op trouvera encore, cl^s les «Mc^itlimëticiens , plusieurs autres r^les qui pe sontauti^ chose que l'application des règles de trois à différentes questions, telles ique les questions d*tnièrét, de change, ai escompte, etc. ,
Nous n'entrjerons pas dans ces détails auî ne peuvent avoir de difficulté pour ceux qui , ayatit bien saisi tes principes établis cidessus, auront en même temps l'état de la question présenta l'esprit. Nous nous bornercms à un seul exemple.
Une personne a fait à un marchand un oillet de 2854 Uv. payable dans un an ; elle vient acquitter Wn billet au bout de 7 mois , et le marchand consent de diminuet, pour les 5 mois restans, les intérêts qui ont été compris dans le billet, à raison de 6 pour 1 00 pour 1 2 mois ; on demande pour quelle somm« le marchand doit rendre le billet.
Puisât 12 mois produisent-^ polir 100 d'intérêt, 7 mois ont ââ-proouire un intérêt qu'on trouvera en cberèhant le quatrième terme d'une proportion , dont les trois premiers sont :
Ce quatrième terme sera -ff- ou 3 |. Or, quand l'intérêt a été pris à 6 pour 100 , on a compté pour 106 liv. ce qui ne valait cpie 1 00 ; donc quand rintérêt est à 3 -, on compte pouir i o3 | <^ qiii ne vaut que 100; il faut donc actuellement que Cç qui devait être payé 106 ne soit plus payé que io3 |. Ainsi la somme cherchée doit être le quatrième terme d*ime proportion dont les trois premiers sont :
