AXIOMES
26. Si à des nombres égaux 0n ajoute des nombres «gaux y les sommes sobt égales. ' ' .-
27. Si de nombres égaux on retranche des nombres égaux, les restes sont égaux.
27*. Si à des nombres inégaux on ajouta -4^s nombres égaux^ les sommes sont inégales.
2'}*'*'. Si de nombres inégaux on retrancjie des^pombreségatc!, les restes sont inégaux.
28. Si Voa mnhiplie des nombres égaux p^r le même nombre, les prodaitê-sont égaux.
29. Si l'on divise des nombres égaux par le même nombre , lés quatîen^ sont égaux. /
29*. Si l'on multiplie deux nombres inégaux par le même nombre , les produits sont inégaux. »
29**. Si l'on divise des nombres inégaux par le même sombre, les quotiçns sont inégaux.
30. Si deux nombres sont égaux , les carrés sont égaux. 3i. Si deux nombres sont égaux, leurs cubes sont égaux. 31*. Si deux nombres Sont égaux , leurs quatrièmes puissaAQ^s
sont égales, etc. ,
32. Si deux nombres sorit égaux , leuis racines carrées sont égales.
33. Si deux nombres sont égaux , leurs racines cubiques sont égales.
33^. Si deux nombres sont égaux , leurs racines quatrièmes sont égales , etc.
34* Si un nombre en divise on autre, il divise ausjsii tous ses multiples.
35. Si un nombre divise toutes les parties d'un autre nombre , il divise aussi cet autre nombre.
36. Si un nombre en divise un autre et une de ses parties , il divise aussi l'autre partie.
36''^. Deux nombres qui sont égaux à un troisième) sont égaux entre eux.
PRINCIPBS
Sept dizaines 4111 , eu Sept dizaines deux, Sept dizaines trois , Sept dizaines quatre , Sept dizaines cinq , Sept dizaines six , .
Sept dizaines sept, .
Sept dizaines huit, .
Sept dizaines neuf, Huit dizaines, . . .
Huit dizaines un, • Huit dizaines deux, Huit dizaines trois, Huit dizaines quatre, Huit dizaines cinq, Huit tlizaines six , .
Huit dizaines sept, Huit dizaines huit , Huit dizaines neuf.
Neuf dizaines, . . .
Keuf dizaines un, .
Neuf dizaines deux.
Neuf dizaines trois.
Neuf dizaines quatre Neuf dizaines cinq , Neuf dizaines six, .
Neuf dizaines sept , r^euf dizaines huir, Neuf dizaines neuf.
Dix dizaines, ....
Cent un.
Cent deux.
Cent trois, etc.
Deux cents.
Deux cent un , etc.
Trois cents.
Trois cent un, etc.
Quatre cents.
Quatre cent un, etc* Cinq cents.
Cinq cent un, etc.
Six cents.
bien
soixaAie-onie.
soixante-douze.
soixante-treize.
soixante-quatorze.
soixante-quinze.
soixante- s6ize.
soixante-dix-sept.
soixanie-dix-huit.
soixante-dix-neuf.
quatre-vingts. -
quatre-vingt-un .'
quatre-vingt-deux.
quatre-vingt-trois.
quatre-vingt-quatre.
quatre-vingt-cinq.
quatre-vingt-six.
quatre-vingt-sept.
quatre-vingt-huit.
quatre-vi ngt-neuf.
quatfe-vingt-3ix.
quatre-vingt-onze.
quatre-vingt-douze.
quatre-vingt-treize.
quatre-vingt-quatorze.
quatre-vingt-quinze.
quatre-vingt-seize.
quatre-vingt-dix-sept.
quatre-vingt-dix-huit.
quatre-vingt-dix-neuf.
Cent.
Six cent un , etc.
Sept cents.
Sept cent un , etc.
Huit cents. * ^
Huit cent un , etc.
Neuf cents.
Neuf cent un , etc.
Dix centaines ou thtllè.
Mille un , etc.
Deux mille.
Deux mille lin , etc.
Trois mille un , et ainsi de suite jusqu'à dix centaines de mille, c'est-à-dire jusqu^à un million.
Un million un, et ainsi de suitejusqu'à dix centaines de millions, c'est*à-dire jusqu'à un billion.
Un billion un , et ainsi de suite j usqu'à dix centaines de billions , c'est-à-dire jusqu'à un trillion.
En continuant ainsi , il est évident qu'on parviendrait à repré^ senter tous les nombres possibles , à partir de l'unité , avec les noms proposés.
38. On peut représenter plus simplement tous les nombres possibles avec les aix caractères suivans, qu'on appelle chiffres : 1, 2, 3, 4? ^9 6, 7, 8, 9, o; les neuf premiers caractères représentent les nombres un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf; le dixième s'appelle zéro.
39. Pour représenter tous les nombres possibles avec ces dix caractères, on est convenu 1*^ qu'en allant de droite à gauche, le
{premier chiffre représenterait les unités, le second des dizaines, et e troisième des centaines ; que le quatrième représenterait des mille, le cinquième des dizaines de mille, et le sixième des centaines de mille; que le septième représenterait des millions, le huitième des dizaines de millions, et le neuvième des centaines de millions^ que le dixième représenterait des billions, etc. On est convenu 2** que le caractère appelé zéro tiendrait la place des centaines, des dizaines, et des unités qui manquent dans un nombre.
Il est évident, en effet, qu'avec ces dix ^caractères, et par le moyen de ces deux conventions , on peut représenter tous les nombres possibles, puisque les nombres suivans qui, à partir de l'unité, vont jusqu'à Tinhui en n'augmentant de l'un à l'autre que d'une seule unité, ne sont représentés qu'avec ces dix caractères.
etc.
un.
deux.
trois.
quatre.
cinq.
six.
sept.
huit.
neuf.
dix.'
onze.
Il est évident que si, en allant de droite à gauche, on partage par une virgule un nombre en tranches de trois chiffres , la première tranche représentera des unités, la seconde des mille ,
1« troisième des millions , etc. : la dernière trandie a gaocbe peut lie renfermer que deux et même qn'un seol chiffre.
40. Pour énoncer nn nombre , il faut énoncer chaque tranche, comme, si elle était seule , et prononcer â la fin de chaque tranche le nom de la tranche»
4 1 . Site nombre A est égala dix fois le nombre B, ef lenombre B égal à dix fois le nombre Cf le nonAre A sera égal à cent fois le nombre C.
En effet, puisque B est égal à i o fois C, et que ^est cgal à dix B, il est évident que A est égal à dix fois lo C, c'est-à-dire à i oo C
42 . Si le nombre A est égal à dix fois le nombre B^etle nombre B égal â cent /bis le nombre C^ le nombre A sera égal à mille fois le nombre C.
En effet, puisque B est égal à 100 C,»ei que A est égal à 10 B, il est évident que ^ est égal à dix fois 100 C, c'est-à-dire à 1000 C,
On démontrerait de la même manière que A serait égal à dix mille C, si le nombre A était égala 10 ^ ^ et si le nombre B était égal à 1000 C> et ainsi de suite.
43. Si Von place à la suite if un nombre, un , deux, trois, etc. , zéros, on rend ce nombre dix fois, cent fois, mille fois, etc., plus grand.
Soit le nombre 6542 ; je dis^ 1 ® que 654^0 est dix fois plus grand que 6542.
£n effet, puisqu'en plaçant un zéro à la suite de 6542) les anités deviennent des dizaines, les dizaines des centaines, les centaines des mille, les mille des dizaines de mille, etc., il est évident que ce nombre devient dix fois plus grand ; donc le nombre 66420 est dix fois plus grand que 6542 ; donc en plaçant un zéro à la suite d*un nombre , on le rend dix fois plus grand.
Je dis , 2^ que 664209 est cent fois plus grand que 6642 : en effet, puisque 664200 est di£lrois plus grand que SS^J^j^i que 66420 eut dix fois plus grand que 6642, il est évident que 664200 est cent fois plus grand que 6542(41); clone en plaçant deux zéros à lasuit^ d'un nombre, on le rend cent foi^T^us grand.
Je dis , 3* que 6642000 est mille Ibis plus grand que 664^2.
En effet, puisque 6642000 est dix fois plus grand que 664200, et que 664200 est cent fois plus grand que 6642, il est évident que 6642000 est mille fois plus grand que 6642 ; donc en plaçant trois zéros à la suite d'un nombre , on le rend mille fois plus grand.
On démontrerait, de la même manière, qu'en plaçant quatre zéros , cinq zéros , à la suite d'un nombre , on le rend dix mille fois,; cent mille fois, etc. , plus'grand. Donc, etc.
COROLLAIRE
Il sidt évidemment de la que Ton rend un nombre suivi de zéro, dix fois , cent fois,^mlle fois , etc. , plus ptflit; sf Ton retrancha tià iéfoi 'Clettx téros, ete*
Des Nombres décimaux.
44* I^cs nombres décimaux sont des quantités de dix en dix fois plus petites que l'unité.
45 La dixième partie de l'unité s'appelle un dixième*,
La dixième pcirtie d'un dixième s'apjpelle un centième , parce que la dixième partie delà dixième partie de l'unité est contenue cent fois dans l'unité.
La dixième partie d'un centième s'appelle milHhme , parce que la dixième partie de la centième partie de l'unité est contenue mille fois dans l'unité , etc.
46. On représente les nombres décimaux par des chiffres placés à la droite des unités, et séparés des unitéH par une virgule : on met un zéro à la place du chiiïre des unités , loi'sque le nombre décimal n'est pas précédé d'un nombre entier. Le premier chiffre après la virgule représente des dixièmes, le deuxième des centièmes , le troisième des millièmes , etc. On met un zéro à la place des dixièmes, des centièmes, des millièmes, etc., qui manquent dans un nombre décimal.
47. Pour énoncer 0,2367 , on dit : deux dixièmes trois centièmes cinq millièmes sept dix millièmes.
On peiÎMussi énoncer 0,2857, en disant : deux mille trois cent cinquante-sept dix-millièmes.
En effet, puisqu'un dixième est égala 10 centièmes, et qu'un centième est^'galà 10 millièmes, il est évident qu'un dixième est égal à 100 millièmes (4i)« De plus , puisqu'un millième est égal à 10 dix-millièmes, et qu'un dixième est égala 100 millièmes, il est évident qu'un dixième est égal à 1000 dix-millièmes (42). On démontrera de la même manière qu'un centième est égal à 100 dix-millièmes. Mais un miillième est égal à 10 dixmillièmes , donc
I dixième est égal. . • . y ^ . à 1000 dix-millièmes.
I centième ^V «à 100 dix-millièmes.
I millième. . à 10 dix-millièmes.
I dix-millième à i dix-millième.
Donc
? dixièmes sont égaux. . • • . à 2000 dix-millièmes, centièmes * .... à 3oo dix-millièmes.
5 millièmes à 5o dix-millièmes.
7 dix-millièmes /- . à 7 dix-millièmes.
Donc , deux dixièmes trois centièmes cinq millièmes sept dixmillièmes sont égaux â deux mille trois cent cinquante-sept dix inillièœies* JDonc ^ etc* f etc»
, «On dëmontrerait de la même manière qu'on peut énoncer 53,2357, en disant cinq cent trente-deux mille trois cent cinquante-sept dix-millièmes.
48. On rend un nombre qui renferme des parties décimales dix fois , cent fois , mille fois, etc. , plus grand en avançant la virgule àtun rang, dé deux rangs , de trois rangs , etc. , vers la droite.
(jette proposition se démontre de la même manière que la proposition 4^.
COROLLAIRE
Il suit de là que si l'on recule la virgule d'un rang , de deux rangs , de trois rangs , etc. , vers la gauche , on rend un nopabre dix fois, cent fois, mille fois plus petit.
Il suit encore de là que si , dans un nombre entier, l'on sépare un, deux, trois, etc., chiffres par une virgule, oii rena ce nombre dix fois , cent fois^ mille fois, etc. , plus petit.
Signes abrésfiatifs,
4g. Le signe -|- marque l'addition et se prononce plus.
Au lieu d'écrire 5 plus 4? on écrit 5+4'
Le signe -^ indique la soustraction , et se prononce moins.
Au lieu d'écrire 5 moins 3 , on écrit 6 — 3. •
Le signe X marque la niultiplication , et se prononce multiplié par du multipliant.
Au lieu d écrire 5 multiplié par 3 , ou 5 multipliant 3 , on écrit 6x3.
Lorsque des nombres sont représentés chacun par une seule lettre, au lieu d'écrire a X ^^ on écrit aussi ab, et lorsque la somme de plusieurs nombres doit être muUipliée par un seul nombre ou par la somme de plusieurs nombres , on met le multiplicande et le multiplicateur chacun entre deux crochets.
Ainsi pour marquer la multiplication de 6 4* ^ P^^ 7 ~f~ 9 ' ^^
écrit (6 -h3) (7 + 9).
Le signe — placé entre deux nombres écrits l'un au-dessous de
l'autre, marque la division, et se prononce divisé par o\x disfisant.
Au lieu d'écrire 12 divisé par 4, ou 4 divisant 12 , on écrit -2;^.
Pour marquer qu'un nombre doit être élevé au carré , au cube, on écrit 2 ou 3 au -dessus de ce nombre, à l'extréaûté d'une ligne placée au-dessus de ce même nombre , ou bien Ton met ce nombre entre deux crochets , et on écrit 2 ou 3 au-»detfsus de ce nombre vers la droite. ...
Au lieu d'écrire le carré de 12 , on écrira 12* ou (12)*.
Au lieu d'écrire le cube de 12 , on écrit \%^ ou (ia)>«
DE L'ARITBBIBTIQUE. ti
Le signe |/^ou l/'Tnarque, l'extraction de la racine carrëe ; et se prononce la racine carrée de.
Au lieu d'écrire la racine carrée de 9, on écrit 1/^9 oïl 1^9-
3 Le signe |/^ marque l'extraction de la racine cubique, «t se prononce la racine cubique de.
Au lieu d'écrire la racine cubique de 8 , on écrit k ff.
Le signe ^marque que le nombre placé à gapche est plus grand que le nombre placé à droite , et se prononce est plus grand que.
Au lieu d'écrire ^7 est plus grand que 5 , on écrit 7^5.
Le signe ^ marque que le nombre placé à gaucbe est plus petit que le nombre placé à droite , et se prononce est plus petit que.
Au lieu d'écrire 5 est plus petit que 7, on écrit 5 <^ 7.
Le signe = marque que le nombre placé à gauche est égal au iM>mbre placé à droite , et se prononce est égal à.
An lieu d'écrire 5 -|- 7 est ^al à 8 -f- 4 > ^J^ écrit 5 -f- 7 = 8 -f- 4-
De V Addition des Nombres entiers et décimaux.
5o. PaoBLÉME. Trouver la somme de plusieurs nombres propo^ ses j entiers ou décimaux, ,
Écrivez les nombres proposés les uns son^ les autres , de manière que les unités de la'même espèce soient dans une même colonne terticale ; les nombres étant ainsi disposés , menez audessoos une ligne horisontale.
Prenez la somme des unités de la première colonne à droite ; si cette somme ne surpasse pas neuf , écrivez-la au-dessous , et si> elle sur|>a8se neuf, n'écrivez que l'excédant des dizaines, et retenez les dizaines pour les compter comme de simples unités avec la colonne suivante. Observez la même règle à l'égard des colonnes suivantes , jusqu'à ht dernière colonne, au-dessous de laquelle vous écrirez la somme trouvée.
Si la somme d'une colonne contient une ou plusieurs dizaines sans reste , écrivez zéro au-dessous de cette colonne.
Je dis qu'en opérant ainsi , le nombre trouvé sera égal à la somme des nombres proposés.
En effet , puisque le premier cfaifire du nombre trouvé contient la somme de la première colonne , ou l'excédant des dizaines de cette colonne; que le second chiffre du nombre trouvé contient la somme de la seconde colonne et le reste de la première s'il y en a un , ou l'excédant des dizaines de ces deux nombres, et ainsi de suite , et qu'enfin le chiffre placé sous la dernière co-
Ion ne , ou ce chiffre arec celui ou ceux qui 9oni à sa gauche contient la somme de la dernière colonne avec le reste de la colonne précédente, s'il y en a un ; il est évident que le nombre trouvé sera égal à la somme de tous les nombres proposés.
De» la Soustraction des Nombres entiers et déciiîtaïux:.
5i. Problème. Trouver la différence de deux nombres propo^ ses, entiers ou décimaux.
Ecrivez le plus petit nombre sous le plus grand, de manière que les unitéi» de la même espèce soient les unes sous le^* autres; si les nombres proposés rent'erment des parties décimales , et s'ils n'ont pas autant de décimales l'un que l'autre, ajoutez à celui qui en a moins autant de zéros qu'if est nécessaii*e pour que les nombres proposés aient autant de décimales l'uu que laiitre; les deux nombres étant ainsi disposés, menez au-dessous une ligne horizontale.
Cela posé , si les chiffres supérieurs sont tous plus grands que les chiffres inférieurs , retranchez , en allant de droite à gauche , chaque chiffre inférieur du chiffre supérieur, et écrivez le reste au-dessous.
Si un chiffre supérieur est plus petit que le chiffre inférieur, retranchez le chiffre inférieur du chiffre supérieur augmenté d'une dizaine ; et retranchez alors le chiffre inférieur à gauche du chiffre supérieur, diminué d'une unité.
Si un chiffre supérieur est plus petit que le chiffre inférieur, et si le chiffre supérieur à gauche , ou si plusieurs chiffres supérieurs à gauche sont des zéros , retranchez le chiffre inférieur du chiffre supérieur augmenté d'une dizaine; retranchez de neuf chaque chiffre inférieur surmonté d'un zéro , et eu opérant sur la colonne à gauche, dont le chiffre supérieur est significatif, retranchez le chiffre inférieur du chiffre supérieur diminué d'une unité.
Le nombre teouvé sera égal à la différence des noiubres proposés.
Soient r* les nombres 696 et 862. En opérant suivant la règle , on trouvera 234* Je dis que 234 est la différence des deux nombres proposés.
En effet , puisque 5oo surpasse 3oo de 200 , que 90 surpasse 60 de 3o , et que 6 surpasse 2 de 4 9 il est évident que 596 surpasse 362 de 234 , parce que 5oo -f- 90 ^ 6 :^ dgf6 \ donc 234 ^st U différence des nombres proposé**
DE L'ÀRrrHMÉTIQUE.
Soient 2** les nombres 768 et agS, En ope'iant suivant la règle , on trouvera 475 ; je dis que 4?^ est U différence des nombres proposés.
En effet, puisque 600 surpas^te 200 de 400, que 160 surpasse 90 de 70 , et que 8 surpasse 3 de 5 , il est évident que 768 surpas^ 293 de ^')0j parce que 600 + i6o -f. 8 = 768. Donc, etc.
Soient 3"* les nombres 8oo5 et 3269. En ojjcrant suivant la règle, on trouvera 4736. Je dis que 4736 est la différence des nombres fToposés.
8oo5 -,
En effet, puisque 7000 surpasse 3ooo de 4000 , que 900 surpasse 200 de 700, que 90 surpasse 60 de 3o, et que 10 4- 5 sur^ passe 9 de 6 ^ il est évident que 800S surpasse 3269 de 47^6 , parce que 7000 -|- 900 -I-904- io-f-5 = 8oo5. Donc, etc.
COROLLAIRE
Il est évident que la différence de deux nombres proposés, avec le plus petit de ces deux nombres, est égale au plus grand.
De la Multiplication des Nombres entiers.
62. Problème. Trouver le produit d'un nombre entier par un nombre entier, %
Écrives le multiplicateur sous le multiplicande, de manière que les unités soient sous les unités ,, les dizaines sous les disaines, les centaines sous les centaines, etc.; menez une ligne horizontale sous le multiplicateur; en allant de droite à gauche, multipliez les unités du multiplicande par les unités du multiplicateur; si le produit ne surpasse pas 9, écrivez-le sous le premier chiffre du multiplicande, et si ce produit surpasse 9, n'écrivez que l'excédant des dizaines, ou zéro, si le produit contient une ou plusieurs dizaines sans re.ste , et retenez les dizaines comme si elle» étaient des unités simples; multipliez les dizaines du multiplicande par les uniies du multiplicateur, et si ce produit, avec le reste du produit ptécédent, s'il y eu a un, ne surpasse pas 9, écrivez- le sous le second chiffre du muUipticande, et s'il surpasse 9, n'écrivez que l'excétlant des dizaines, ou zéro, et retenez les dizaines comme si eiles étaient des unités simples, et ainsi de suite jusqu'au dernier chiffi.e du multiplicande, que vous multiplierez parles unitési du viu|tiplicateur, et vous écrirez
i6 PRINCIPES
Multipliez le diviseur par le second chiffre du quotient y et soustrayez le produit du second membre de division.
Placez une virgule à la suite du chiffre du dividende qui est à la droite de la seconde virgule ; écrirez ce chiffre à la suite du re^te, etc.
Si un membre de division ne contenait pas le divbeur, on ëcrirait^zéro au quotient, et à la suite, de ce membre de division , on écrirait te chiffre du dividende, qui est à la droite de la virgule, après avoir placé dans le dividende une virgule à la droi^k ce chiffre; et si ce nouveau membre de division ne conte^pT pas encore le diviseur, ou écrirait zéro au quotient ; et à la suite de ce nouveau membre de division, on écrirait le chiffre du dividende qui est à la droite de la virgule, etc.
Je dis qu'en suivant cette règle le dividende contiendra le dt« viseur avec un reste , ou sans reste , autant de fois qu'il y aura d'unités dans le quotient.
En effet , puisque Ton aura soustrait du dividende autant de fois le diviseur qu'il y aura d'unités dans le nombre représenté par le premier chiffre du quotient ; que l'on aura soustrait du reste du dividende autant de fois le diviseur qu'il y aura d'unités dans le nombre représenté par le second chiffre du quotient, etc. , il est évident que le dividende conti^lra le diviseur : avec un reste, ou sans reste, autant de fois^u'il y aura d'unités dans le quotient.
Exemple. Soit 157689 à diviser par 239.
Je dis que le dividende 157589 contient le diviseur 289, 669 fois avec 88 pour reste. •
En effet , puisque du dividende on a soustrait d'abord Goo fois 289, c'est-à-aiie i434oo; que,dureste du dividende i4i39, on a soustrait 5o fois 2^9, c'est-à-dire 11950, et que du reste du dividende 2289 011 a soustrait 9 fois 289, c'est-à-dire 21 5i, et qu'on a trouvé 88 pour re^te, il est évident que 157589 = 289 X 600 + 289 X 5o -f- 289 X 9^ + 88 , c'est-à-dire que 157589 = 289 X 669 -f- 88. Doue , etc.
COROtLAIRE<
Il suit de là que le produit du diviseur par le quotient, plus le reste de U division , est égal au dividende*
DE L'ARITHMETIQUE. fi
Des Fractions,
55. Où représente une fraction par de\x% nombres que l*ott écrit l'un au-dessous de l'autre , et que Ton se'pare par un trait • le nombre inférieur se nomme dénominateur, et marque en com<^ bien de parties égales l'unité est partagée , et le nombre supérieur se nomme numérateur, et marque combien l'on prend de parties de l'unité.
56. Pour énoncer une fraction , on énonce d'abord le nombre supérieur , ensuite le nombre inférieur, et l'on ajoute au nom de -celui-ci la terminaison en ième.
Pour énoncer { , on dit cinq septièmes: on excepte de cette règle les fractions qui ont 2 , 3 , 4 > pour dénominateurs : on dit un demi, deux tiers, trois quarts.
