c'est-à-dire que 7, que le carré de , c'est-à
joo X 100 1 /' ^ jqq»
dire que est plus grand que — • — , cest^
à^dire que 7 ; donc — -'', ou 2,64 est la racine approchée de 7^ l'erreur n'étant pas d'un centième en moins.
COROLLAIRE
Il suit évidemment de là que si Ton voulait extraire la racine d'un nombre décimal , il faudrait écrire un zéro à sa droite , si le nombre des chiffres décimaux était impair ; et l'on démontrerait, comme au numéro précédent , que l'erreur ne serait pas d'une unité de la dernière décimale.
De la formation des Nombres cubiques^ et de V extraction de leurs Racines.
98. Si deux nombres sont premiers entre eux , le cube de l'un d'eux est premier avec C autre.
Soient les nombres premiers entre eux 71 , 16; je dis que les nombres 7 T X 71 X 71, et 16, Sont premiers entre eux ,et queles nombres i6x 16 X 16 , et 7 1 , sont aussi premiers entre eux.
Puisque ces nombres sont premiers entre eux, si l'on divise le plus grand par le plus petit, le plus petit par le premier reste, le premier reste par le second reste, et ainsi de suite, on aura enfin un reste qui sera égal à l'unité (60, corollaire n). Que ces divisions soient faites ; 71 divisé par 16 donnera 4 pour quotient et 7 pour reste ; 16 divisé par 7 donnersr2 pour quotient et 2 pour reste ; et enfin 7 divisé par 2 donnera 3 pour quotient et i pour reste.
ARITH. PEYRARD, 3
Puisque le dividende ëgale le diviseur multiplié par le quo^ tient , plus le reste , on aura :
Multiplions tous les termes de ces égalités par 71 X 71 ; multiplions-les ensuite par 71, et â la suite de ces égalités ainsi multipliées y écrivons ces mêmes égalités.
Multiplions ensuite tous les termes de^ premières égalités par 16 X t6; multiplions-les ensuite par 16, et à la suite de ces égalité^ aiDsi multipliées, écrivons ces mêmes égalités.
On démontrerait, comme au n«b6, que 71 X 71 X 71 est premier avec 16, et que 16 X 16 X i^> est premier avec 71.
gq. // est impossible dassigner exactement la racine cubique ée$ nombres qui sont entre i e/ 8 , entre 8 et 27, entre 27 et 64 , etc.
Soit le nombre 10 ; je dis qu'il est impossible d'assigner exactement la racine cubique de ce nombre.
En effet, la racine cubique de ce nombre étant plus grande que a 9 et plus petite que 3, s'il était possible de l'assigner, elle serait égale à deux , pl^^ une fraction.
Réduisons 2 en fraction ; ajoutons cette nouvelle fraction avec la première , et que la fraction qui résulte de cette addition soit réduite à sa plus simple expression. Puisque le numérateur et le dénominateur sont piemiers entre eux, le cube du numérateur, et le dénominateur sont premiers entre eux (98); le cube du dé- DQniinateur et le cube du numérateur seront premiers entre eux par la même raison. Mais si le cube du numérateur et le cube du dénominateur sont premiers entre eux , le cube du dénominateur ne sera pas diviseur du cube du numérateur ; il est donc impossible que le cube de cette fraction soit égal à 10, il est donc impossible d'assigner exactement la racine cubique de 10.
COROLLAIRE
Il suit de là que les racines cubiques des nombres placés entre 1 et8 , entre 8 et 27, entre 27 et 64, etc. , sont des nombres incommensurables, ou irrationnels, puisqu'ils ne peuvent être formés ni par la répétition de Tunité, ni par la répétition d'une partie de l'unité , quelque petite qu'elle puisse être (i4)«
100. Le cube 4e la somme de deux nomb''es renferme le cube eu premier, le triple carré du premier par le second, le triple cûrré du second par le premier, et le cube du second.
Soient les nomKres 7 + 5 , je dis que (7 + 5)' = 7X7X7 + 3X7X7X5 + 3x5x5x7 + 5x5x5.
En effet, puisque (7X5)» = 7X7+2X7X5 + 5x5 <8b), il est évident que (7 X 5)3 =^7 X7 + 2X7X5 + 5x5)
X7X5+2X7X5x5 + 5x5x5=:7X7X7 + 3X7 Î><7X5 + 3X 5x5X7 + 0X5x5. Donc , etc.
1 o I . Le cube <Iun nombre ne peut avoir que le triple 4cs chîffrts de sa racine , ou le triple moins un , ou le triple moins deu±.
Soient les nambres de cinq chiffres loooo, ^9999; je dis d'abord que le cube lOooo , qui est le pl^s pelii uoiubre de cinq chiffres, a treize chiffres, c'est-à-dire le triple moins aeùx.
/ En effet, puisque le ca rre' de 1 0000 a neuf chiffrts (43), il est évident que le produit du carré de loooo par 1000 aura treize chiffres.
Je dis en second lieu que le cube de 99999, qui est je plus grand nc^nibre l'eprésenté par cinq chiffres^, en a quinze , et ne peut $n avoir davantage.
En effet, lecabede99999nepeut pas en avoir moins dçq^uinz^; car le cube de 90000^ qui est plus petit qqe 99999 en a quinze. Le carré de 99999 ne peut pas eil avoir davanta^^. Car , qu'il en ea ait davantage , s'il est possible , seize , par exemple , puisque \p cube de loooo, qui est plusgrand que 99999» n'a queseize chiffras à son ci^e , et que ce cube est le plus petit nombre représenté par seize diiffres, il est évident que le cube d'un nombre plus petit serait plus grand que le cube d'un nombre plus grand ou d^ pépins quête cube d'un nombre plu» petit serait égal au ci^be d\m aoiuhr% plus grand, ce qui est absurde. Donc les cubt^s des nombres
Îlacésenire 10000 et 99999 ne peuvent avoir que le tr.iple de$ chifres; de fears racines ou le triple moins un, ou le triple mqins deux.
102. Le nombre des chiffres de la racine cubique d^un nombre proposé est égal au tiers des chiffres du nombre proposé lorsque te nombre de ses chiffres est divisible par trois, et au tiers ^ n,ow!bxe de ses chiffres augmenté d'une ou de deux unités, lorsque le nombre des chiffres n est pas divisible par trois.
Soit un nombre de quinze chiffres; je dis 1° que ce nombre a cinq chiffres à sa racine cubique.
En effet , sa racine ne peut pas en avoir davantage ; car si elle en avait six , son cube en aurait au moins seize (lOi); elle ne peut en avoir moins, car le cube du plus petit nombre représenté par cinq chiffres en a treize ;
Je dis 2° qu'un nombre de treize chiffres a cinq chiffres à sa racine cubique , car le cube du plus petit npmbre de cinq chiffres a treize chinres.
Le raisonnement serait le même pour tout autre nombre. Donc, etc.
COROLLAIRE
Puisque le nombre des chiffres de la racine est égal ai; tiers du nombre des chiffres de son cube, pu au tiers du nombre de ses chiffres , augmenté d'une ou de deux unités y jil est évident que si
en allant de droite à gauche , on partage par des virgules le nombre dont on veut avoir la racine cubique en ti^anches de trois cbi&es , le nombre des chlfiVes de la racine cubique sera égal au noçnbre des tranches.
io3. Extraire la racine cubique éCun nombre de quatre, ou de cinq ou de six chiffres.
Séparez y par une virgule , les trois derniers chiffres à droite du nombre proposé ; extrayez U racine cubique du plus grand cube contenu dans la tranche qui est à gauche de la virgule ; écrivez cette racine à la droite du nombre proposé, soustrayez le cube de cette racine de la-4ranche qui est à gauche de la virgule ; à côté du reste, écrivez le» chiffres qui sont à la droite de la virgule; élevez au carré la racine de la tranche qui est à la gauche de la viiigule ; triplez le carré de cette racine, et écrivez^deux zéros vers la droite; divisez par ce dernier nombre le reste du nombre proposé ; écrivez le quotient à la droite de la racine de la tranche qui est à la gauche de la virgule ; élevez au cube le nombre placé à la droite du nombre proposé ; soustrayez le cube de ce nombre du nombre proposé; et si la soustraction ne peut pAs se faire , diminuez le nombre placé à la droite du nombre proposé , d'une, de deux , etc., unités , jusqu'à ce que la soustraction puisse avoir lieu. Le nombre placé à la droite du noml^re proposé sera la racine cubique du noçibre proposé , lorsque la soustraction se fera sans reste , et il sera la racine cubique du plus grand cube contenu dans le nombre proposé, lorsque la soustraction se fera^vec un reste.
En effet, puisque la racine cubique du nombre proposé doit avoir deux chiffres, àes dizaines et des unités (102); que le cube de la racine cubique dti*nombreproposé,qui doit renfermer des dizaines et des unités, est égal au cube des dizaines , au triple carré des dizaines multiplié par les unités , au triple carré des unités par les dizaines, et au cube des unités (100), et que le nombre placé à la 1 droite de la virgule pe peut pas faire partie du cube des dizaines, le j cube des dizaines devant être suivi de trois zéros (4 3), il est évident que le chiffre qui est la racine du plus grand cube contenu dans la tranche à gauche de la virgule, représente les dizaines de la racine cubique du nombre proposé; et puisque le nombre proposé, diminué du cube des dizaines, est égal au triple carré des dizaines multiplié parles unités, au triple carré des unités multiplié par les dizaines , et au cube des unités , il est évident que si Ton divise I le reste par le triple carré des dizaines, c'est-à-dire par le triple carré du premier chiffre à gauche de la racine, suivi de deux zéros, le quotient sera les unités de la racine cubique du nombre proposé , ou de la racine cubique du plus grand cube contenu dans ce nombre , suivant que le cube du nombre trouvé sera égal au nombre proposé , ou plus petit que ce nombre.
EXEMPLE, ^oit proposé d^extraire la raciae cubique de 42875»
fj
Séparez par une virgule les trois derniers chiffres à droite ; extrayez la racine du plus grand cube contenu dans 42 ; à la droite du nombre proposé écrivez 3 , qui est la racine du plus grand cube contenu dans 42 ; de 42 soustrayez 27 qui est le cube de 3 ; à côté du reste i5, écrivez 875; divisez le reste 15875 par le triple carré de 3o , c'est*-à-dire par 2700 ; écrivez le quotient 5 à la droite de la racine cubique du plus grand cube contenu dans 42 ; du nombre proposé soustrayez le cube de 35 ; la soustraction se faisant sans reste , il est évident que 35 est la racine cubique de 42875, puisque le cube de 35 est égal à ce nombre.
Si la soustraction était faite avec un reste, 35 serait la racine
cubique du plus grand cube contenu dans le nombre proposé. Si
* le cube de 35 s'était trouvé plus grand que le nombre proposé,
on aurait diminué 35 d'une, de deux , etc., unités, jusqu'à ce que
le cube du reste eût pu être soustrait de 42875.
io4« Extraire la racine cubique d'un nombre de sept, ou de huit , ou de neuf chiffres.
Séparez par une virgule les trois derniers chiffres à droite du nombre proposé ; extrayez la racine cubique du plus grand cube contenu dans la tranche à gauche , comme au numéro précédent ; écrivez cette racine à la droite du nombre proposé ; soustrayez le cube de cette racine de la tranche à gauche de la virgule; à côté du reste, écrivez les chiffres qui sont à la droite delà virgule; éleve^ au carré la racine cubique de la première tranche, triplez ce carré , et écrivez deux zéros à la suite; divisez par ce dernier nombre le reste du nombre proposé; écrivez le quotient à la droite de la racine cubique de la tranche qui est à la droite delà virgule ; élevez au cube le nombre placé à la droite du nombre proposé ; soustrayez le cube de ce nombre du nombre proposé ; et si là soustraction ne peut pas se faire, diminuez le nombre placé à la droite du nombre proposé, d'une , de deux, etc. , unités, jusqu'à ce que la soustraction puisse avoir lieu. Le nombre placé à la droite du nombre proposé sera la racine cubique du nombre proposé, Iprsque la soustraction se fera sans reste , et la racine cubique du plus grand cube contenu dans le nombre proposé, lorsque la soustraction se fera avec un reste.
JEn effets puisque la racine cubique du nombre proposé doit
avoir trois chiffres , des dizaines et des unités, les dizaines étaut re-
Ïtrésentées par les deux premiers chiffres à gauche (102), puisque e cube d'un nombre qui renferme des dizaines et des unités est égal au cube des dizaines, au triple carré des dizaines muhiplié par les unités, au triple carré des unités muiiiplié par lesxlizaines, et au cube des unités (100), et que le nombre placé à la droitede la virgule ne peut pas faire partie du cube des dizaines, le cube des dizaines devant être suivi de trois zéros (43), il est évident que les chiffres qui repré^entent la racine cubique de la tranche à gauche sont les deux .premiers chiffres de la racine cubique du nombre proposé; et puisque le noinbre proposé, diminué du cube des dizaines ,. c'est-à-dire du cube du nombre représenté par les deux premiers chiffres placés à la gauche du nombre proposé, est égal au triple carré des dizaines par les unités, au triple carré des unités par les dizaines , et au cube des dizaines, il est évident que si l'on divise le resie par'lè triple carré des dizaines, c'est-à-dtie par le triple carré des deux premiers chiffres à gauche de la racine, suivis de deux zéros, le quotient sera les unités de la racine cubique du nombre proposé, ou de la racine cubique du plus grand cube contenu dans ce nombre , suivant que le cube du nombre trouvé Sera égal au nombre proposé, ou plus petit que ce noinbre.
COROLLAIRE
Il est évident que par des procédés semblables on trouverait la racine cubique d'un nombre de dix oude onze ou de douze chiffres, d'un nombre de treize , ou de quatorze ou de quinze chiffres , etc.
EXEMPLE
Soit proposé d'extraire la racine cubique de 12812904*
Séparez par une virgule les trois derniers chiffres 904 à droite; extrayez la racine cubique du plusgrandcubecontenudans 12812, et, à la droite du nombre proposé, écrivez 23 qui est la racine cubique du plus grand cubecontenu dans ce nombre. De 1^2812 soustrayez 12167, qui est le cube de 23; à côté du reste 645, écrivezgo4; divisez le reste 646904 par le triple carré de 23o , c'esipà-dire par 168700 ; écrivez ie quotient 4 à la droite de 23, qui est là racine cubique du plus grand cube contenu dans 1281 2; soustrayez le cube de 234 du nombre proposé 128 12904; la soustraction se faisant
DE L'ARITHMETIQUE- Sg
sans reste, il est e'vident que 234' est la racine cubique de 128 12904, puisque le cube de 234 est égal à ce nombre.
Si la soustraction était faite avec un reste , 234 serait la racine cubique du plus grand cube coatenu dans 1 2812904*
Si le cube de 234 s'était trouvé plus grand que le nombre pro-» posé, on aurait diminué 234 d'une, de deux, etc., unités, jusqu'à ce que le cube du teste eut pu être soustrait du nombre proposé.
io5. Extraire ta mcine cubique dun nombre de dix, ou de onze , ou de douze chiffres, etc.
Extrayez la racine cubique du nombre représenté par les chiffres qui précèdent les trois derniers ; écrivez cette racine à la droite du nombre proposé; soustrayez le cube de cette racine du nombre représenté par les chiffres qui précèdent les trois derniers; à côté du reste, écrivez les trois derniers chiffres du nombre proposé; élevez au carré le nombre trouvé, triplez soj^^ré; écrivez deux zéros à la suite de son triple;~divisez par ce d^JPr nombre le reste du nombre proposé ; écrivez le quotient à la droite du nombre trouvé, etc.
On démontrerait, comme aux numéros io3 et io4 , que le nombre placé à la droite du nombre proposé , est la racine cubique de ce nombre, ou la racine cubique du plus grand cube contenu dans ce même nombre.
1 06. Si le reste du nombre dont on veut avoir la racine cubi* que égalait le trifde carré du nombre tfvuvé , plus le triftle du nombre trouK^é , plus Puni té, ou si le reste était plus grand, la racine trouvée serait trop petite.
Soit ii^S^ôun nombre dont on veut avoir la racine cubique; que le nombre trouvé soit 26, et que le reste soit égal à 3 X 25 X 25 + 3 X a5 + 1 ; je dis que la racine cubique trouvée est trop petite.
Eii effet, puisque (26)3 = (25 + i)3 = 26 X 25 X aS + 3 X 25 X 25+3 X 25+ 1(1 00), il est évident que le cube de 26 sera égal à 17576, et que la racine trouvée était trop petite d'une unité.
107. La racine cubique d'un nombre représenté par l'unité suivie ddun nombre de zéro divisible par Z, est égale à l'unité suivie du tiers des zéros*
Soit, par exemple , le nombre 1000,000,000; je dis que 1000 est la racine cubique de ce nombre.
En effet, puisque 1000 X 1000 = 1000,000, il est évident que 1000 X 1000 X 1000 = 1000,000,000 (43) ; donc 1000 est la racine cubique de 1000,000,000; donc, etc.
108. Extraire la racine cubique approchée étun nombre qui n'est pas un cube parfait , de manihre que l erreur en moins ne soit pas dfun dixième, d'un centième, d'un millième, etc.
4o PRINCIPES
Écrivez à la suite du nombre proposé , 3 , 6, 9 , etc., ze'ros, suivant que vous voudrez que Terreur en moins ne s6it pas d'un dixième , d'un centième , d*un millième , etc. ; extrayez la racine cubique comme à l'ordinaire , et séparez de la racine trouvée au" tant ae décimales que vous aurez ajouté de fois trois zéros; je dis que l'erreur ne sera pas dfune unité du dernier chiffre décimal.
Soit proposé, par exemple, d'extraire la racine cubique de 1 1 , de manière que l'erreur en moins lie soit pas d'un dixième.
Écrivez trois zéros à la suite de 1 1 , extrayez la racine cubique de 1 1000, on trouvera 22 pour la racine cubique du plus grand cube contenu dans 1 1000 ; séparez une décimale de 22 , je dis que 2,2
ou — 6st la racine cubique de 11, l'erreur n'étant pas d'un
dixième en moins.
En effet, puisqi^^ cube de 22 est plus petit que 1 1000, et que
le cube de 23 est^^B grand que 1 1000, il est évident que le cube
de — , c est-a-dire , sera plus petit que
■ , c'est-»à-dire que 11, et que le cube de — , c'est-à-dire
looo 10
— .__ . sera plus grand que , c cst-a>dire que i !•
Bouc — ou 2,2 est la raciue cubique approchée de ii, l'erreur
n'étant pas d'un dixième en moins ; donc, etc.
COROLLAIRE
Il suit de là que si le nombre dont on veut avoir la racine cubique était un nombre décimal , et que si le nombre des chiffres décimaux n'était pas divisible par trois, il faudrait écrire à la suite de ce nombre un ou deux zéros, afin que le nombre des décimales fût divisible par trois.
S'il était proposé , par exemple, d'extraire la racine de 3,5, il faudrait écrire deux zéros à ta suite de ce nombre, extraire la racine cubique de 35oo , et séparer une décimale.
On démontrerait , comme au numéro précédent , que l'erreur ne serait pas d'un dixième en moins de la' dernière décimale.
Des Puissances 4% 5% 6', etc.
1 09. // est impossible d'assigner exactement la racine m d'un nombre a , lorsque le nombre a se trouve placé entre 1°" et a™, entre 2"* et 3"* , entre S*» et 4*", etc, •
DE L'ARITHMÉTIQUE. 4i
Cette proposition se démontre par des raisonnemens semblables à ceux que lious avons faits poiir démontrer qu'il est impossible d'assigner exactement les racines carrées des nombres qui se trouvent entre i et 4» entre 4 et g, etc. (86 et 87), et pour démontrer qu'il est impossible d'assigner exactement la racine cubique des nombres qui se trouvent entre i et 8 , entre 8 et 27 (98 et 99).
110. Pour connaître le nombre des chiffres de la racine m (fun nombre proposé a, partagez le nombre a, en allant de droite à gauche y en tranches de m chiffres, le nombre des chiffres de la racine m du nombre a sera égjal au nombre des tranches , la première tranche à gauche poui^ant avoir un nombre de chiffres plus petit que celui des autres tranches.
Cette proposition se démontre par des raisonnemens semblables à ceux que nous avons faits pour démontrer que le nombre des chiffres de la racine carrée est égal au nj^^bre des tranches du nombre proposé, le nombre proposé étant partagé en tranches de deux chiffres (89,90) , ou bien pour démontrer que le nombre des chiffres de la racine cubique est égal au nombre des tranches du nombre proposé , le nombre proposé étant partagé en tranches de trois chiffres (loi, 102).
1 1 1 . Extraire la racine quatrième d^un nonUxre proposé^ a»
Partagez, en allant de droite à gauche, le noÀibre a en tranches de quatre chiffres , que le nombre des tranches soit quatre, la racine de a aura quatre chiffres.
Pour avoir les chiffres des mille de la racine , élevez 2000 à la
Juatrième puissance ; si (20oo)4 est plus grand que a , le chiffre es mille sera i ; si (2ooo)4 est plus petit que a , éleve^3ooo à la quatrième puissance ; si (3ooo)4 est plus grand que a, le chiffre des mille sera 2 ; si (3ooo)4 est plus petit que a , élevez 4000 à la
Juatrième puissance, etc., jusqu à ce que vous trouviez un nombre ont la quatrième puissance soit plus grande que a» Que ce notabre soit 7000; le chiffre des mille sera 6.
Pour avoir le cbiffre des centaines , élevez 6100 , 6200 , 63oo , etc., à la quatrième puissance , jusqu'à ce que vous trouviez un nombre dont la quatrième puissance soit plus grande que a ; que ce nombre soit 6400, le chiffre des centaines sera 3. Si (6ioo)4 était plus grand que a, il est évident que le chiffre des centaines serait zéro. On trouverait de la même manière les chiffres des dizaines et des unités.
C'est par des raisonnemens semblables qu'on viendrait à bout d'extraire les racines 5', 6*, 7*, etc. , d'un nombre proposé.
