Telle est'la numécatfoni yctuelle : ejHe est la
iês autre* manières de compter, qi^oique dans plorieuis arti on < ne s'assujettiue pas toujours i compter uniquement par diuinet, ' par diiaines de diiaînes , etc. '
1 7. Pour éraluer les quantités plus petites que l'unité qu'on 1 choisie, on partage celie-ci en d'autres unités plus petites. Le nombre en est indifférent en lui-même , pourvu qu'on puisse tnesuret les quantités qu'on a besoin de mesurer ; mais ce qu'on doit aroir principalement en vue dans ces sortes de divisions, c't»t de rendre tes calculs le plus commodes qu'il sera possible ; c'est par cette raison qu'au lieu de partager d'abord l'unité en un grantl nombre de parties, afin de pouvoir évaluer les plus petites, on ne la dst' lage d'abord qu'en un certain nombre de parties, et qu'on suodivise celles-ci en d'autres, et ces nouvelles encore en d'autres ptu petites. C'est ainsi que dans les monnaies on partage la livre en 30 parties qu'on appelle sous, le sou en 12 parties qu'on appelle deniers. De méme^ dans les mesures de poids, on partage la livre en 2 marcs, le marc en'S onces, l'once en 8 gros , etc. , en sorte
3ue dans lepremier cas on compte par vingtaines et par douzaines, ans le second , par domaines et par huitaines , etc.
1 8. Un nombre qui est composé de parties rapportées ainsi à différentes uni tés, est ce qu'où appelle unnopibrecomp/e:re,etpai- opposition, celui qui ne renferme qu'une seule espèce d'unités , s'appelle nombre incomplexe. 8 }{) uu 8 livres sont un nombre incr" plexe. 8^ 17' 8'> ou 8 livres i7^ous 8 deniei9, sont un nom complexe.
19. Chaque art subdivise à sa manière Tunité principale q s'est choisie. Les subdivisions de la toise sont différentesde celles la livrejcellesde la livre différentes de celles du jour, de l'faeui celles-ci différentes de celles du marc , et ainsi de suite ; nous les feroDS connaître lorsque nous traiterons des nombres complexes.
20. Mais de toutes les divisions et subdivisions qu'on peut faire de l'unité, celle qui se fait pardAimales, c'est-i-dire en partageant l'unité en parties de dix en dix fois plus petites , est incontestablement la plus commode dans les calculs. Elle est fort en usage dans la pratique des Mathématiques ; la formafion et le calcul des décimales sont absolument les mêmes que pour les nombres ordinaires ou entiers : nous allons les faire connaître.
31. Pour évaluer en décimales les parties plus petites que Tunité , on conçoit que cette unité , quelle qu'elle soit , livra , dix parties, comme on imagine la tés simples , ou comme on imagine , Ces nouvelles unités ', par opposilées dixièmes; on les représente par nités simple* , et comme eltes sont les-ci , on les pUce à U dniite da ta amples.
OE BÊZOUT. 5
Mais 9 pour pvërenir ré€raivo<|ue , et ne point donner lieu dis prendre ces dixièmes pour aes unités simples, on eât convenu en même temps de fixer, une fois pour toutes , \k place des unités par une marcfue particulière : celle qui est le plus en usage est une virgule que l'on met à la droite du chiffre qui représente les uni^ tés, oUy ce qui est la même chose, entre les unités et les dixièmes; ainsi pour marquer vingts quatre unités et trois dixièmes , on éc|ira 2493.
22. On peut, de même, regarder actuellement les dixièmes comme des unités qui ont été formées de dix autres , chacune dix fois plus petites que les dixièmes^ et, par la même raison d'ana* logie, les placer à la droite des dixièmes. Ces nouvelles unités , dix fois plus petites que les dixièmes , seront cent fois plus petites que les unités principales, et pour cette raison seront nommées ce/itièiTiej. Ainsi, pour marquer vingt^quatre unités, trois dixièmes et cinq centièmes , on écrira 24)35.
23. Concevons pareillement les centièmes comme formés de dix parties; ces parties seront mille fors plus petites que l'unité principale, et pour cette raison, seront nommées miÙièmes;et comme dix fois pluspetites que les centièmes, on les placera à la droite de celles-ci. En continuant de subdiviser ainsi de dix en dix , on formera de nouvelles unités qu'on nommera successivement des dix-millièmes , cent 'millièmes , millionièmes, dix-mil-^
ièmes , cent-millionièmes , billionièmes , etc. , et qu'on placera is des rangs de plus en plus reculés sur la droite de la vii^ule.
L24* lies parties de l'unité que nous venons de décrire, sont ce
' le l'on appelle décimales,
25. Quant à la manière de les énoncer, elle est la même que pour les autres nombres. Après avoir énoncé les chiffres qui sont à la gauche de la virgule, on énonce les décimales de la même manière; mais on ajoute à la fin le nom des unités décimales de la dernière espèce ; ainsi , m>ur énoncer ce nombre 34,572 , on dirait trente-quatre unités et cinq cent soixante et douze millier mes; si c'étaient des toises , par exemple , on dirait trente-quatre toises et cinq cent soixante et douze millièmes de toise.
La raison en est facile à apercevoir, si on fait attention que dans le nombre de 34,572 ,4e chiffre 5 peut indifféremment être rendu, ou par cinq dixièmes, ou pat' cinq cents millièmes, puisque le dixième (22) valant dix centièmes, et le centième (23) valant dix millièmes j le Sixième contiendra dix fois dix millièmes, ou cent millièmes; ainsi, les cinq dixièmes valent cinq cents millièmes. Par une raison semblable, le chiffre 7 pourra s énoncer en disant soixante et dix millièmes, puisque (23) chaque centième vaut dix millièmes. jp^*^ ^"^^^
26. A l'égard de l'espèce des unités du dernier èj trouvera toujours facilement en comptant suctjessf ' "
clie à droite, sur cLaque cliiffre depuis la virgule, Us noms suivaus : dixièmes j cemtihmes\ Tniltiemçs , dix-millièmes, eXc,
27. Si Ton n'avait point d'unités entières, mais seulement des parties de l'unité , on mettrait un ze'ro pour tenir la' place des unités ; ainsi pour marquer cent vingt-cinq millièmes , on écrira 0|i25. Si Ton voulait marquer 25 millièmes , on écrirait o^osS, en mettant un zéro entre la virgule et les autres cliiffres ; tant pour marquer q^u'il n'y a point de dixièmes , qup P^or donner aux parties suivantes leur véritable valeur* Par là même raison, pour marquer six dix-millièmes , on écrira 0,0006. .
28. £xam'moi(i$ maintenant les ckangem'ens qu'on peut faii'e naître dans un nombre par le déplacement de la virgule.
Puisque la virgule détermine la place des unités , et que tous les autres chiffres ont des valeurs dépendantes de leurs distances k cette même virgule, si l'on avance la virgule d'une , deux, trois , etc. , places sur la gauche , on rend le nombre 10 , 160, I9O00, etc* , fois plus petit; et au contraire , on le rend 10 , 100, 1,000 , ete* , fois plus grand, si l'on recule la virgule d itne , deux , trois, etc., places sur la droite.
En effet , si l'on a 4327,5264 , et qu'en avançant la virgule d'une
place sur la gauche, on écrive 432,75264, ii est visible que les
mille du premier npmbre sont des centaines dans le nouveau ; les
centaines sont des dizaines^* les dizaines, des unités; les unitésj
. des dixièmes; les dixièmes , des centièmes , et ainsi de suite. D<
chaque partie du premier nombre est devenue dix fois plus |
tite par ce déplacement. Si, au contraire , en reculant la rirgl)
.^, d'une place. sur la-dioite» pn eût écrit 4327 5, 264,. les fnîlle'dl
*' premier nombre se trouveraient changés eri dizaines de mille , les
centaines en mille, les dizaines en centaines, les unités en dizai-*
nés, }es dixièmes en unités, et ainsi de suite. Donc le nouveau
liombre est dix fois plus grand que le premier.
29. Un raisonnement semblabli^it Voir qu'en avançant sur la gauche de deux ou de trois places, on rendrait le nombre cent ou mille fois plus petit , et au contraire , cent ou mille fois plus grand , en reculant la virgule de deux ou de trois placés sur la droite.
So, La dernière observation que nous ferons sur les décimales , est qu'on n'en change point la valeur en mettant à la suite du dernier cbiffie. décimal tel nombre de zéro^qu'on voudra. Ainsi 43, a5 est la même chose que 43,95b , ou que 43,25oo , ou que 43,25000 , etc.
Car cha.que centième valant dix millièmes ou cent dix-millièf
Jp^^ngt-cinq centièmes vaudront deux cent cinquante
t' '^^^^^fl^^iV^ux mille cinq cents dix 'millièmes, etc. En un mot,
ir ^^^^^BlM^^^ quelorsqu^au lieu de dire 25 pistoles , on dit
r S^^^^^HHqu'au lieu de dire 25 quintaux , on dit 25oo liv.
DE KEZOUT. 7
Des opérations de T Arithmétique.
3i. Ajouiar, 60U»tmre^ multiplier, et ëiTiser, sont les qttaire opérations fondamentales de l'Arithmétique. Totttesles quesiioBES qa'oR peut proposer sur les nombres, se reduisenti p«aii(Lufir quelques-unes de ces opérations , ou toutes ces opérations. 11 est donc ianp9fi«it de se les rendre familières, et d>n bien saisir l'esprit.
3a. Le but de l'Arithnsuéti^ue est^ icomme nous l'ayeiis déjà dà, de donner des moyens de cakulcr facilement les nom^bsiea. Ces moyens consistent à réduire le calciU des nombres les plus ctMftposés à celui de nombres plus simples , ou exprimés par le plus petit nombre de chi£fres possible. C'est ce quil s'agit d'exposer actuellement.
De V Addition des nombres entiers et des Parties
décimales,
33. Exprimer la valeur totale de plusieurs nombres par un sei^i ^t Ce qu'on appelle yà/re une addition.
Qu^nd )es J^ofnbres qu'on s^ p^opo^ d'syouter n'ont qu'ua ^eul ch}ffre^çfi n^a pas besoin .de règle, pi^is, lorsqu'ils ont plusieurs ç))iSi^9 .où trouve leur valeur totale i q^i'o» ^ip|t)çUe somme^ ep ot^^|-y(^it la r^k suivante. . '' ..
Ecrivez , les uns sous les autres , tous les nombres prpposés , de
~ ièris qne liÇS chiffres des unités de chacun soi,ent dsins une Ljç çoifmne verticale; qufil eu soit de mê»e des dizaines, de ^ ;me.4^ centaines, çtç, Soulignez le tout, ;?*/Ajo^e^ d^nbord tons, les ij^pnbbres qui sont 4a«^ 1* coloï^nie des imités ; svù swwç.ne passe pas weuf, éprivez^ta a^-^4essous; si ^ 4)e sm^M^^ peujt| çlle renfermera, des dizaines i n'écrivez aur dessous qi|^ ^'e«:édant du npmbr^ des 4i?^ip^^ ; compte;& qe;s dîwnes.pour a^^ftntd'nnités, et kjoi^ezTles avec ie^^nopabres de JU cc^wn^ Rivante : observ|ft^ l't^ard de la so^tmvs d^s i^om* Wes fUsçi^wie Siçconde colonne, la même règle qi;i'à l'^'S#^4 ^<^ j* première ,-^,çoQtini;ez *in^ 4e colonne çn, colpnp;ç V^^À ]^ dernier^, aùrd^^^sous de Ifiq^i^e ^q^vi^ éçx\xjt% laio[in|n^ ytnt^ que y€^ |aiin)^v^W^ ]$çlairci*?ons cette règle parde^eieiuplesM:
Qu*îl soî^ question cl'ajouter S^gaS avec 202^,j*ecrîs cè^ deux nomjbres i^^mmie pjp Iç voit \ç\> , . . . , 54q25'
56948 somme.
Et après avoir SOuUghé le tout, je commence par les unitésrcn disant : 5 et 3 font 8 , que j'écris sous cette même colonne.
Je passe ^ jpellè des dizaines , dans laquelle je 4is ^ 2 çt jf (p^t 4* que j écris au-dessous.
8 ARITHUETIQUE
A la colonne des centaines, je dis : 9 et o font 9^ qne j'écris sous cette même colonne.
Dans la colonne des mille, je dis : 4 «t s font 6, que j'écris sous cette colonne.
Enfin, dans la colonne des dizaines de mille, je db : 5 et rien font 5, que j'écris de même au-dessous.
Le nombre 56948 , trouvé par cette opération , est la somme des deux nombres proposés , puisqu^l en renferme lerumtés f les dixaines, les centaine, les mille et les disatncs de miUe, que nous avons rassenri^lés successivement.
EXEMPUL n.
On demande la somme des quatre nombres su^vans: 69o3, 7854, 953, 7327 ; je les écris comme on le voit ici. 6qo3
2^037 somme.
Et en commençant, comme ci-de$sus, par la droite, je dis : 3 et 4 font 7, et 3 font 10, et 7 font 17; j écris les 7 uùités sous la première colonne, et je retiens la dizaine pour la joindre, comme unifë, aux nombres de la colonne suivân'^, qui sont aussi des dizaines.
Passant à cette seconde colonne , je dis : i qtie je retiens. et*li font I , et 5 font 6^ et 5 font 11, et s font i3 ; j'écris 3 soi^ IL colonne actuelle , et je retiens pour la dizaine une unité qd iM j'ajoute à la colonne suivante^ en disant : f et 9 fopt fo, et^ '^ font 18, et 9 fDnt 27 , et 3 font 3o; je pose o sous cette colonoe, et je retiens , pour les trois dizaines, trois unités que j*ajotite à 1& colonne suivante , en disant pareillenoent : 3 et 61 font 9 , et a valent 16, et 7 font 23; j'écris 3 sous cette colonne, etcâmme il n'y a plus d'autre colonne, j'avancAd'une place les deux dizaines qui appartiendraient à la colonne suivante , s'il y en avait une. Le nombre a3o37 est la somme des quatre nombres proposés.
34* S'il y a des parties décimales, comme elles se comptent, ainsi que les autres nombres, par dizaines , à mesure qu'on avat^ce i de droite à gauche , la règle pour les ajouter est absolument la même, en observant de mettre toujours les unités de même ordre dans une même colonne. •
Ainsi 9 si 01^ propose d'ajouter les trois nombres 72,987 . • . 1 2,8. . ,
124)03, j'écrirai ^ 72^,057 .
209,787 ' ï!û siavani la règlç ci-dessus, j'aurai 209,78^ pour ta somme.
DEBEZQUT. 9
De UtSoustratlion des nombres entiers et des ParUes
décimales.
35. La soustraction est l'opération par laquelle on retranche un nombre d'un autre nombre. Le résultat de cette opération s'appeDe reste y ou excès , ou différence.
Pour faire cette opération , on écrira le nombre qu'on veut retrancher au-dessous de Vautre , de la même manière que dans l'addition ; et ayant souligné le tout , on retranchera , eu allant de droite à gauche , chaque nombre inférieur de son correspondant supérieur, c'est-à-dire les unités des unités, les dizaines des dizaines , etc. : on écrira chaque reste au-dessous dans le même ordre, et zéro lorsqu'il ne restera rien.
Lorsque le chiffre inférieur se trouvera plus ^rand que le chiffre supérieur correspondant , on ajoutera à celui-ci dix unités , qu'on mura , en empruntant , par la pensée , une unité sur son Toîsin à gauche , lequel doit , ^ar cette raison , être regardé comme 'moindte d'une unité dans l'opération suivante.
Au lieu de ditiiitiuer d'une unité le chiffre sur lequel on a emprunté , on peut, si Ton veut, le laisser tel qu'il est , et augmenter an. contraire d'une unité celui que l'on en doit retrancher ; le reste sera toujours le même.
EXEMPLE I
On propose de retrancher 543:2 de 8954* J'écris ces deux nombres comme il suit: . 8954
3522 reste.
lE^. en commençant par le chiffre des unités, je dis : a ôté de 4»
il re^tj? 3 , que j'écris au-dessous; puis passant aux dizaines^ je
a dui : 3 âté de 5 , reste 2 , que j'écris sous les dizaines. Â la troisième
' * coToniie , je dis : 4 oté de q^ reste 5 , que j'écris sous cette colonne.
. A ÏInfin à la quatrième , je dis : 5 ôté de 8 reste 3 , que j'écris sotis 5 ,
' et j'ai 3522 pour le. reste de 5432 retranché de 8954»
' ^' .. .^. s BXEMPIX II.
Qn veut ôter J^ de 27646 ; on écrira : 27646 '
19659 reste.
' Comice, on ne peut àler 7 de 6 , on ajoutera à 6 dix unités qu'on eiYipruiiijf ra en |irenant une unité sur son voisin 4» ^ on dira : 7 àié^e ;6 , il reste 9 , qu'on écrira sous 7.
Passant aux dizaines,, on ne dira plus , o ôté de 4> n^siis 8 ôté de 3 seule^nent , parce que l'emprunt qu'on a fait a diminué 4 d'une i^nite : comme. on ne peut ôter 8 de 3, on ajoutera de même ï^4tx,^p^tés qfx^on e^n^r^ntera^ en prenant une unité sur Iç
ÏO
chiffre 6 de la gauche, et on dii^ : 8 ôté de^S , il reste 5, qu\»n c'crira sous 8. Passant à la troisième colonne , on dira de même y 9 ôié de 5 , ou plutôt 9 6té de i5 (en emprun^nt comn^e ci-dessus) 9 il reste 6 , qu'on écrii'a sous 9.
A la quatrième colonne ^ on dira parla même raison , ^ Ôté de 6, ou plutôt de 16, il reste 9 qu*on écrira $ous 7; et comme il n'y a rien à retf ancheir dans la cinquième colonne , on écrira sous cette colonne non pas 2 , parce qu'on vient d'emprunter une unité sur ce 2 , mais seulement i , et on aura 19659 pour le reste*
36. Si le chiffre sur lequel on doit faire 1 emprunt était un zéro , l'emprunt se ferait , non pas sur ce^ zér,o« mais sur le premier cbiffre significatif qui viendrait apvès; or, quoique ce soit alors emprunter 100, ou iiH)(0;, ou loooOf selon quil y s^ un, t^eux ou trois Eéros consécutifs , ou n'en opérera pas moins comme ci-4iessus, e'est-à-rdire qu'on ajoutera seulement ta au chiffre potir lequel on emprunte ; et comme ces 10 ^ont ceusés pri^ sur les ipo ou 1000 , etc. , qu'on a empruntés^ pour employer les 90 ou les 990 y etc. , qui r^t-ent, on comp^r^les zéxQS §uivans pour au* tant de 9 ; c'est 4^^ que l'es^empU çi^près va éçlaircir^
EXEMPLE m,
Si de ' 20064
on veut retrancher. ... 17489 » I
25^5 reste.
Ou dira d'abord : 9'ôtéi}r4, ou plutôt de 1 4 (en empruntant sur
le chiffre suivant) , il reste 5. Puis , pour ôter 8 de 5 , commejçfti ^e se peut, et qu'il n'est pas possible non plus d'emprunter sq
jçftla si^r
on dira : 8 ôté de i5 , il reste 7.
Comme on n'a employé que dix unités sur mille qu^on â empruntées , on emploiera les 990 restantes pour en retrancher les nombres qui répondent au-ctessdus df^J^é^s, ce qui revie^^ au même que de compter chaque zéro comme s'il valait 9. Ainsi l'on dira : 4 ôté de 9 , reste 5; pub 7 ôté de 9 , reste 2 , enfin i ôté de I , il ne reste rien.
on
éviter
qu'à rendre le nombre des chiffres décimaux lé même dans chacun des deux nombres proposés , en mettant un nombre suffisant de zéros à la suite de cîelui qui a le moins de décimales : cette préparation ne changé rien à la valeur de ce nombre (3o).
EXEMPLE ÏV.
De. ...»., . 54o3,25
OD veut ôter 385,6532
Je mets deux zéros à la suite des décimales du nombre supërieur; après quoi j'opère sur les deux nombres aipsi préparés, préciséaneut selon renoncé de la règle dounée pour les nombres emùerSé 5403^2500
I 5017,5968 reste.
Et jê trouvé pour reste 5017,5968.
De la preuve de l'Addition et de la Soustraction,
38. Ce qu'on appelle preuve d'une opération arithmétique est une autre opération que l'on fafft pour s'assurer de l'exactitude du résultat de la première. .
La preuve de Vaddition se fait en ajoutant de nouveau par parties y mais en commençant par la gauche , les sommes qu on a d^â ajoutées. On retranche la totalité de la première colonne , de la partie qui lui répond dans la somme inférieure :.on écrit au-dessous le reste, qu'on réduit, par la pensée, en dizaines , pour le joindre au chiffre suivant de cette même sommé , et du total on retranche encore la totalité delà colonne supérieure ; on continue «ainsi jusqu'à la dernière colonne , dont la totalité étaht retrancliée ne aoit laisser aucun reste.
Ainsi ^ ayant trouvé ci-dessus que les quatre nombres
ootpoursomme a3o37
Pour vérifier ce résultat', j'ajoute les mêmes nombres en commençant par la gauche , et je dis : 6 et 7 font i3 , et 7 font 20 , lesquels ôtés de 23 , il reste 3 ou 3 dizaines , qui , avec le chiffre suivant zéro, font 3o. Je passe à la seconde colonne, et je dis : 9 et 8 font 17, et 9 font 26 , et 3 font 29 , que j'ôte de 3o ; il reste I ou une dizaine qui , jointe au cbiifre suivant 3 , fait 1 3. J'ajoiite tous les nombres de la troisième en disant :. 5 et 5 font lo, et 2 font 12, qui^ ôtés de i3, il reste i otiune dizaine, laquelle, ajoutée au chiffre 7 , fait 17 ; j'ajoute pareillement tous tes nombres de la dernière colonne , en dîiiant : 3 et 4 font 7 , et 3 font 10 , et 7 font 17, qui, étés dé 17, ne laissent rien; d'oi je conclus que la première opération est exacte*
On est fondé à conclure que la première opération a ëtë bien faite lorsque après cette preuve il ne reste rien , parce qu'ayant ôté successivement tous les mille , toutes les centaines , toutes les dizaines et toutes les unités dont on avait composé la somme , ii faut qu'à la fin il ne reste rien. '
39. La preuve de la soustraction se fait en ajoutant le reste trouvé par l'opération , avec le nombre retranché: si la première opération a été bien faite , on doit reproduire le nombre dont on a retranché : ainsi je vois que dans le troisième exemple que nous avons donné ci-dessus l'opération a été bien faite , parce qu'en ajoutant 17489 (nombre retranché) avec le reste 2675 , je reproduis 20064 9 nombre dont on a retranché.
De la MuUipUcation.
4o. Multiplier un nombre par un autre , c'est prendre le premier de ces deux nombres autant de fois qu'il y a d'unités 4ans l'autre*. Mulliplier i par 3 , c'est prendre trois fois le nombre 4-
^i,ht nombre qu on doit multiplier s'appelle le multiplicande j celui par lequel on doit multiplier s^appeile le muitiplicateur,,et le résultat ae l'opération s'appelle j7n>^iï.
