Le moiproduit a communément une acception beaucoup

{ilus étendue ; mais nous avertissons expressément que nous ne 'emploierons que pour désigner le résultat de la multiplication. Le multiplicande et le multiplicateur se nomment aussi les facteurs du produit ; ainsi 3 et 4 sont les facteurs de 12 , parce que 3 fois 4 font 12.

43. Suivant l'idée que nous venons de donner de la multiplia cation , on voit que l'on pourrait faire cette opération en écrivant le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans lé multiplicateur, et faisant ensuite l'addition. Par exemple , pour multiplier 7 par 3 , on pourrait écrire

Et la somme 21 résultante de cette addition , serait le produit.

Mais lorsque le multiplicateur est tant soit peu cbusidérablé , l'opération devient fort longue. Ce que nous appelons proprement multiplication est. la méthode de parvenir à ce même résultat par une voie plus courte.

DE BEZOUT*. i3

44* 'tf^t qu'on ne considère les nombres que d'une manière abstraite , c'est-à-dire sans faire attention à la nature de leurs unités , il importe peu lequel des deux nombres proposés pour la multi plication on prenne pour multiplicande ou pour multiplicateur : par exemple , si on a 4 ^ multiplier par 3 , il est indifférent de multiplier 4 p^r 3, ou 3 par 4 ; le produit sera toujours la. En effet 9 3 fois 4 ue sont autre chose que le triple de i fois 4 9 et 4 fois 3 sont le triple de 4 fois i • Il est évident que i fois 4 ^^ 4 ^^is I sont la même chose ; et Ton peut appliquer le même raisonnement à tout atitre nombre.

45* Mais lorsque , par l'énoncé de la question , le multiplicateur et le multipUcande sont des nombres concrets, il importe de distinguer le multiplicande du multiplicateur : cette attention est principalement nécessaire dans la multiplication des nombres complexes ^ d<mt nous parlerons par la suite.

Au reste , cela est toujours aisé à distinguer : la question qui conduit à la multiplication dont il s'agit, fait toujours connaître quelle est la quantité qu'il s'agit de répéter plusieurs fois , c'est-à-dire le multiplicande , et quelle est celle qui marque comibien de fms on doit répéter le multiplicande , c'est-à-dire quel est le multiplicrateur.

46. Comme le multiplicateur est destiné à marquer combien de fois on doit prendre le multiplicande, il est toujours un nombre abstrait : ainsi , quand on demande ce que doivent coûter 5a toises de bois, à raison de 36 liy. la toise, on voit que le multiplicande est 36 liv., qu'il s'agit de répéter 5a fois, soit que ce 5a marque des toises ou toute autre chose.

47- Le produit qm est formé de l'addition répétée du multiplicande , aura donc des unités de même nature que le multiplicande (*).

Après cette petite digression sur la nature des unil^s du produit et de ses facteurs, revenons à la méthode pour trouver ce produit*

48. Les règles de la multiplication des nombres les plus composés se réduisent à multiplier un nombre d'un seul chiffre par un nombre d'un seul chiffre. Il faut donc s'exercer à trouver soi-même le produit des nombres exprimés par un seul chiffre , en ajoutant successivement un même nombre à lui-même. On peut aussi , si on le veut, faire usage de la table suivante , qu'on attribiv à Pythagore,

Il I ri II I

('*') Noué n^en exceptons pas même la roùltipHcatioD g^mëtrique, dont nous ne parlerons qu^en géométrie, comme 'èela fioQs patalt aàseï natureL I^fi aaitét d« finltîpU^tf^ Vy ciont jimait qt«« ^:ymi$ié$ ftl?atwdlçs, , coiiuii« dans toute autre multiplication.

ARITHMÉTIQIJE

Table de Multiplication.

MW^>^

» I MH I

fil

BHMa

La première baade4e ceHe lable se ffurme eu joutant i à luimême successivement.

La seconde en ajoutant 2 de même.

La troisième en ajoutant 3^ et ainsi de suite.

*49- Pour trouver, par le moyen de cette table, le produit de deux nombres exprimés par un seul chiffre chacun , on iîherchera Tun de ces deux nombres, le multiplicande, par exempte, dans la bande supérieure , et, en partant de ce nombre, on descendra verticalement jusqu'à ce qu'on soit vis-à-vis du fnultiplieateur, qu'on trouvera dans la première colonne. Le nombre sur lequel on%e sera arrêté sera le ^oduit. Ainsi, pouif trouver, par éxem* pie , le produit de 9 par 6, ou combien font 6 fois 9, je descends d«pttis-^-pris dans la première. bande, jusque vis^àpvis la 6 ^ pris daiis la première colonne;. le nombre sur lequel je m'a rr^^t^isf 54^ par ponsequent 6 fois 9; fpnX 54- - - • .»;. ,

Ëtï vyyilà ikvMantqui^ «n^fout çoui'.passi^'àlfl mukittlieftiltm èé nombres exprimés par plusieurs cïufFrôi." ' ^ "^

HË BEZOUT. i5

De la MultipUcation par un nombre d'un seul dhiffre,

5o. Ecrivez le multiplicateur, qufon suppose ici d'un seul chiffre , 90US le multiplicaade , peu importe sous quel ch'if&e ; mais pour fixer les idées, supposons que ce soit sous le chiffre des unite's.

Multipliez d'abord le nombre des unite's par votre multiplicateur, et si le produit ne contient que des unite's , e'crîvez ce produit au-dessous; s'il conUent des unités et des dizaines , écrivez seulement les unités, et comptant les dizaines pour autant d'unités, retenez celles-ci.

Multipliez de même le nombre des dizaines du multiplicande, et au produit ajoutez les unités que vous avez retenues : écrivez le tout au-dessous , s'il peut être marqué par un seul chiffre ; sinon n'écrivez quelles unités de ce produit , et retenez - en les dizaines qui sont des centaines , pour les ajouter au produit suivant qui sera pareillement des centaines.

Continuez ae multiplier successivement, suivait la même règle, tous les cbi£Ere$ du multiplicande : la suite des chiffres que vous aurez écjrits marqueta le produit.

EXEMPLE

On demande combien 2864 toises valent de pieds. La toise est de six pied». La^'cjuestion se réduit à prendre six pieds 2864 fois , ou , ce c{m revief it au même (44) 9 ^ prendre 2864 jpieds six fois^

J'écris donc. « ^864 multiplicande.

6 multiplicateur.

17184 • • produit.

Et îe dis eu comDtettçioit par les unités : 6 fois 4 font 24 ; j'écris 4 c^ J6 retiens deux unités pour les deux dizaines.

a<* € fois 6 font 36, et i:^ qu«)'ai ret^LUs font 38 ; je poi&e 8 et j« retiens 3*

3^ 6^ fiois 9' font 48 , et 3 que j'ai retenus font 5i ; je pose 1 et je retiens 5^,

^1"* Qfois'a foni 12., et S que J'ai retenus font i7,quej'éeris en t^tom^y pan :6 qa'il n'y a plus rien à multiplier. Le nombie 17184 est le prodfuit deo^andé ; ou le nombre de pieds que valent les 3864 toiset, puisqu^lraaferme 6 fois les 4 unités, 6. fois les 6 dizaioAt, 6 fois les 8 centaines, €t 6 fois les 2. mille, et pas cou*séquent & :£ois le nombre 2864* '

ih laMâdtiplwoiion par un nombre de plusieurs chiffres.

5i . Lorsqpçs ^e n^ulUplicajLeur % plusieurs. chill^es , il fsiutfaire iwccessivenpiwtj,, ay^C;çt?i5î#lï^ ^ p^. chiffres, ce que^io^, Vïi^t de prescrip^ Wîqu'i^ j^'y.f^^;» qu't^^ inajs çn commejaç^i^t >to%jours par la droite* Ainsi on n^jil^pl^i^A d'abord tQus I^.çhiiîrAS

i6 ARltHMÊTIQCE

du ma)tiplic«iid« par l« ckifte d« unité» dm m«lâpUcate.tf , puis DM celui des diuÎDes, et on écrira ce second produit soos le premier ; mais comme il doit être un n<niibre de diLaioes , puisque c'est par des dizaines qu'on muWpUe , on portera le premier chiffre de ce produit sous les dizaines j et les autres chiffre*, toujours en avançant sur la gauche.

i.e troisième produit, qui se fera en {nnltipliant par les centaines, se placera de même sous le second, mais en avanfant encore d'une place. On suivra la mêuie loi pour les autres.

Toutes ces multiplications ^tant faites , ou ajoutera les produits • particuliers qu'elles ont donnés et la somme sera le produit total.

On propose de multiplier 654S7

455658546 produit.

le multiplie d'abord 65487 parle nombre 8 des unités du multiplicateur, et j'écris successivement sous la barre des chiffres an Eroduit, 523896 que je trouve en suivant la rè^le donnée pour t premier cas (5o).

^ Je multiplie de même le nombre 65487 par le second chiffre 5 do multiplicateur, et j'écris le produit 327435 spus le premier produit, maisen plaçant le premier chMr^5 sou» les dizaines de ce premier produit.

Multipliant pareillement 65487 par le Utùsième «biffre g, j'écris le produit 589383 bous le précédent, mais en pinçant le chiffre 3 au rang des centaines, parce que le nombre {wr lequel je multiplie est un nombre de centaines.

Enfin je multiplie 65487 par le dernier chiffre 6 d» midtipli-

cateur, et j'écris le produit 392922 soua le précèdent 4:n uvauçant

encore d'une place , afin que son dernier chiffre occupe la place

des mille , parce que le chiffre par lequel je multiplie marque

des miÛe. Enfin , j'ajoute tous ces produits , et j'ai 455656546

pour le produit de 65487 multipliés par 6958, c*est-4-dîre pour

8 fois. £neffet,onapris6S487 8 fois

, 5o fois par la seconde^ 900 fois par

>ar la quatrième.

m le multiplicateur, on tous les âeui, ros i on Abl^eeraiç.ropëration en nu^- I n'y éttùent piSint'; ma^ on les mé^ KOduit. ■■ ■ • :■■'"■' ■ ■■

, EXBMPUE. ''

On propose de multiplier 65oa

par.

Je maltiplie seulement 65 par 35 , et je trouve 22^5 , à cdte' duquel j'écris les trois zéros qui se trouvent en tout à la suite du multiplicande et du multiplicateur.

En effet, le multiplicande 6S00 reprtfsente 65 centaines ; ainsi ,

Înand on multiplie 65, on doit sous-^entendre que le produit est , es centaines. Pareillenàent, le multiplicateur 35o marque 35 dizaines. Ainsi , quand on multiplie par 35 , on doit sous-entendre que le produit sera des dizaines ; il sera donc des dizaines de centaines, c'es^*à-dire des mille; il doit donc avoir 3 zéros. On appliquera un raisonnement semblable à tous les autres cas. . 53. Lorsqu'il se trouve des zéros entre les chiffres du multiplicateur^, comme la multiplication par ces zéros ne donnerait que des zéros , on se dispensera d'écrire ceux-ci dans le produit ; et passant tout de suite à la multiplication par le premier chiffre significatif qui xient après ces zéros, on en avancera le produit sur la gauche d'autant de places 9 plus une , qu'il y a de zéros qui se suivent dans le multiplicateur , c'est-à-dire de deux places s'il y a un zéro , de trois s'il y* en a deux.

EXEMPLE. '

Si Von a. • - 4^^^^

à muIMplier par 3oo6

Après avoir multiplié par 6, et écrit le produis 25^3 12 , on multipUera tout de suite par 3, mais on écrira le produit 1 261 56, de manière qu'il marque des mille; il faudra donc le reculer de trois places, c^est-à-aire d'une place de plus qu'il n'y a dâ zéros interposés aux chifFres du multiplicateur «

De la Multiplication des parties décimales^

54. Pour multiplier les parties décimales, on observera la même règle que pour les nombres entiers, sans faire aucune attention a la virgule; mais, après avoir trpuve le produit, on en séparera sur la droite , par. une virgule , aiitant de chiffres qu'il

ABITïtMÉTIQUE. * 2

■s AKlTHMKTIQtJE

y a de décinules , tant dani le mrilipUuiide que dans le ma!

Ob propose de muTtlpHiic 54*33

par , 8,3

J« mali^pUerai 54*3 par 83. le prodak aam 45*t09; •* P ^iM —^ il y a deux décinalM dan» le uraliiplicaadc, et uic dîms le iH«h»- ^icateor, je séparerai trois ctùffrai snr la draîu de ce prodsic, ({in par U deviendra 45*>ii<i9t uH qnlL doit être.

La raison de cette tètJi est {acik k nisir, en ^Meivan* qn* ai le mnltiplicatenr était 83 , le produit n'aurait en décimées qn« de» centièmei, puisqu'oD aarût répété 83 leù le mahi^icande 54**'< dont lei décimatea mat de* centième* ; naît comme le nuiltipUt:*teoreitS, 3, c'e>t-Jt-dire (ai) dii foii|daspetitqoe 83, le prôdcit doit donc avoir de« unité* dix fois plaa petites qmt les cMKièvse*; le dernier chiffre de ces décimales doit donc (a3) être doa mitlièTttet; il doit donc y SToir trois chiftres décîmaax dans ce p^V" duit, c'est-à-dire jutant «|o'il y en a, tant dans le nmltipKeantie que dans le multiplicateur.

Ob peut appliquer wraisonnemeM Mnblable k loM autre eas.

Si on arail. . .

à multiplier par. .

o,o36 . On mohtplierait 1 a par 3 , ee q«i donnerait 36. Gomme la r^le présent de séparer ici trots ^if&ei , on pourrait cire embarrassé k y saushira, pnisqne ce produit 36 n'en a que denxt mni» si on reprend le rauonnenent que nons a*oM appliqua k IVacmple précédent, o« Terra facileineat qu'a faut, comme on le Toit ici, iBterpo»er o. ^ro entre 36 et la Tirgnle. En effet , si l'oo .Tait ™nmi.n"ïfï!'.ï!?' v' ^^ ^^ «'«dent qu'on eorait o,36 ; mait

"""™'*""" " " P»' 0.3, c'est-à-dire par nn nombre

« doit avoir un produK dix (bb plus millièmes, etcestcequialieo (28)

■dinaireinent les décimales que dans sn sabstituanl i uo calcul rigoureux . mais prompte, il n'est pas inutile

DE BEZOUT. iQ

d^ex poser ici un moyen d'abréger Topération, lorsqu^on n'a besoin d'avoir le produit qùié jusqu'à un degré d'exactitude proposé.

Supposons, par eicemple, qu'ayant à multiplier 45,625957 par 28,635, je n'aie besoin d avoir le produit qu'à moins d'un millième près. J'écris ces deu]|^ nombres comme on le voit ci-dessus, c'est-àdire qu'après avoir rfsuvei^sél ordre des chiffres de l'un des deux, je l'écris sous l'autre, en faisant répondre le chifFre 8 de ses unités sous la décimale , immédiatement inférieure de deux degrés à celui auquel je veux borner mOU produit. Je fais ensuite la multiplication en négligeant, dans le multiplicande , tous les chi£fres qui se trouyen^ à la drpîtit dis celui pur lequel je multiplie ; et à mesi|r<e k}^ j«~ diang^ de ehiffr« dans le multiplk^teur^ je port^ toujo4Us Iç premier cEiffre du nouveau produit sous le premier chiffre du premier. L'addition de tous ce^ produits étant faite, je suppriine les deux derniers chiffres , en observant cependant d'augnaenter 1^ dernier de ceux qui restent d^une unité, si les deux que je sup'^

Ï>rime passent 5o \ après quoi je place la virgule au rang fixé pair 'espèce de décimale que je me proposais d'avoir.

. EXEatPLE.

Je veux multiplier. 45>62595j

par 28,665

mais je n'ai besoin d'avpir le produit qu'à un millième d'unité près.

J'écris ainsi ces deux nombres. . 45>625957

91251914 365oo26o

îsér ^

produis i3o6,499

Si l'on avait fait la multiplication à l'ordinaii^e., on àurajit eii t3oé, 499^7 S^!9S'.» î^i s'accordent avec le précédent jùsic^u'ît l^ iroWèine décimale , ainsi qu'on le demande.

S'jil n'y avaM P^ «9^ez de chiffres décimaux dans le muUipUji^ çaxidéy po'^r ^aire correspondre le chiffre des unités di^ mmtip^;v cateur au^iffre auquel la règle prescrit de le faire correspondre ^ PU y àiqpiplé^rait en mettant des zéro^. ,

fxsmi^.

On 4<Mt iKultifAier. ....:. . S4>^36 par 53â,27

20 ARrraMÉTIQUE

et on Tfiit afoir le prodim â un centième d*anité près, j*ëcrii»

54,a36ooo 72235

produit 28868,20 y en ajoutant une unité

au dernier chiffre, parce que les deux que Ton supprime passent 5o.

Pour troisième exemple, supposons qu'on ait à multiplier

par 0,5664178

et Ton ne f eut avoir que 7 décimsles au produit , on écrira :

prodoit. ," 0,1288821

Sur quelques usages de la Multiplication.

56. Nous ne nous proposons pas de faire connaitie tous les usages qu'on peut faire de la multiplication; nous en indiquerons seulement quelques-uns qui mettront sur la voie pour les autres.

La multiplication sert à trouver, eu général, la valeur totale de pinceurs unités, lorsqu'on connaît la valeur de chacune. Par exemple : i* Combien doivent coûter 5842 toises, à raison de 541iv. la toise? nfaat multiplier 54 liv. par 5842 , ou (44) 5842 Hv. par 54; on aura 3i5468 liv. pour le prix total demandé. 2® Com- Dieu 5954 pieds cubes (^) d'eau pèsent-ils , en supposant que le pied cube pèse 72 ib? Il faut multiplier 72 f^ par 69549 on

(^) Ije pied cube est ane mesure d'un pied de long sur un pied de large •t sur on pied de haut, avec laquelle on ëvalae la oapaciU des corps, ainsi qa'on le verra en géométrie.

5954 ib P^r 72 : on aura 428688 ^ pour le poicU des SqSJ^ pieds cubes. ' " '

57. On emploie la multiplication pour convertir des unités d'une certaine espèce en unités d'une espèce plus petite. Par exemple, pour reauire les livres en sous, et ceux-ci en deniers; les toises en pieds , ceux - ci en pouces , ces derniers en lignes ; les jours en heures , celles-ci en minutes, ces dernières en secondes; on a souvent besoin de ces sortes de conversions. Nous en donnerons quelques exemples.

Si on demande de convertir 8 1. 17 s. 7 d. en deniers; comme la livre vaut 20 s., on multipliera les 8 1. par 20 (52) ; ce qui donnera 160 s., auxquels joignant les 17 s., on aura 177 s. qu on multipliera par 12 , parce que chaque sou vaut 12 deniers , et on aura 2124 deniers, lesquels joints aux 7 deniers donnent 2 i3i deniers pour la valeur de 8 1. 17 s. 7 d. convertis en deniers.

Si Ton demande combien une anne'e commune, ou 365 jours, 5 heures, 48 minutes , ou 365J 5** 48", valent de minutes; comme le jour est de 24 heures, on multipliera 24^ par 365, et au produit 8760^ on ajoutera 5** ; on multipliera le total 8765 par 60 (52), parce que l'heure contient 60 minutes, et on aura 525900 minutes, auxquelles ajoutant 48 minutes, on aura 525948 pour le nombre des minutes contenues dans une année commune.

Cette conversion des parties du temps est utile dans quelques opérations àxx pilot€i§€,

58. L'abréviation dont nous avons parlé (51) peut être em« ployée pour réduire promptement en livres un certain nombre de tonneaux» Comme le tonneau de poids pèse 2000 livres, si l'on a, par exemple, 854 tonneaux, il n'y a qu'à doubler 854, ^^ mettre les trois zéros à la suhe du produit : on aura 170800a pour le nombre de livres que pèsent 854 tonneaux. *'

Avant de terminer ce qui regarde la multiplication , faisons observer aux commençans , que ces expressions doubler, tripler, quadrupler, etc., signifient la même chose que multiplier par 2 , par 3, par 4 9 etc. . ^

De la Dwision des Nombres entiers, et des Parties

décimales.

59. Diviser un nombre par un autre , c'est, en général , cher* cher combien dé fois ft premier de ces deux nombres contient le second.

Le nombre qu'on doit diviser s'appelle dividende; celui par lequel on doit diviser, diviseur; et celui qui marque combien de fois le dividende contient le diviseur, s'appelle guotient.

On n'a pas toujours pour but dans la division de savoir combien de fois un noinbre en contient un autre ; mais on fait l'opération

23 aruhaie^que

dans tous les cas.comii^ si elle teadait à ce but; c'est poiupra^ bn petit , dans tous les cas , la considérer comme TopënitioA^jltif laquelle on trouve combien de fois le dividende contient le divîSQ^r. il suit de là que si l'on multiplie le diviseur par le quotient, on doit reproduire le dividende, puisque c'est prendre ce diviseur autant de fois qu'il est dans le ciividende : cela est ge'néral/soit

?[ue le quotient soit un nombre entier, soit qu'il soit un nombre ractioiuiaire. *

Quaftt à l'espèce des unités du quotient, ce n*est ni par Fesjièce des unités du diviseur ni par l'espèce de celles du divideodet ni pàV l*une et l'autre qu'A faut en juger ; car te dividende et le diviseur restant les mêmes, le quotient, qui sera toujours aussi le meuve numériquement , peut être fort différent pour la nature de ses unités , selon la question qui donne lieu à cette division.

Par exemple, s'il est question de savoir combien 8 t. contienhetit ^\,j le quotient sera un nombre abstrait qui marquera 2 fois; mais s'il est question de Savoir combien pour 8 1. on tera^ faire d'ouvrage à raison de 4 l* la toise, Je quotient sera 2 toises, qui est up nombre concret , et dont l'espèce n'a aucun rapport avec le dividende ni avec le diviseur.

Mais 6n voit , en même temps , que la question seule qui conduit à faire la division dont il s'agit, décide la nature des unit& du quotient.

De la Division d'un nombre composé de plusieurs chiffres par un nombre qui nen a qu'un.

'6o. L'opération que nous allons décrire suppose au'on sache trouver combien de fois^ un nombre de un ou deux cniffres contient un njombre d'un seul chiffre. C'est une connaissance déjà acquise , quand on sait de mémoire les produits des nombres qui n'onf qu'u|) chiffre. On peut aussi, pour y p^^rvenir, faire usage d^ la t^Ble que nous avons donnée ci-dessus (43) « Par exemple , si je veux sayoir combien de fois 74 contient 9, je cherche le diviseur 9 dans la band^ supérieure , et je descends verticalement jusqu à ce que je rencontre le nombre le plus approchant de 74; c'est ici 32 ; alors le nombre 8 qut^se trouve vis-à-vis 72 , dam la première colonne, est le noinbre de fois, ou le quotient que je cherche.

Gela supposé,' voici comment se fait la division d'un noipbre qui a plusieurs cbiSres , par un nombre qpi n'en a qu'uif.

Écrivez le diviseur à côté du dividende, séparez l'un de l'autre par un trait, et soulignes le diviseur, sous lequel vous écrirez les chiffres du quotient, à mesure que vous les trouverez.

Prenez 1^ premier chiffre sur la gauche du di3ridendc, ou les deux premiers chiffres , si le premier ne contient pars le diviseur.

Cbercl^ez combien de fois ce premier ou ces deux prt^niiers

chiffiiies contiennent le 4iyi9enr; ^crivei ce nnntbre de fou sous