X -^^ (^<^)> donc, etc
ai 3» Si tôH ajoute une unité , deux unités, trois unités, etc., à la çaraetérhtiipée du logarithme d'un nombre donné , le nombre correspondant à ce noui^cui logarithme sera dix fois, cent fois , mille fois, etc, plus grand que le nombre donné.
^Soit, par exemple, il est évident que
,^ X 10— lo^^'^^^^^ + ^'^^'^^'^ss io^'**<><<« (203),
que
- ,^ ^ 100 i^ jo Mi0449 ^ a.00t)000 -5- ,0 3»l3l0449" ^ etc.
a 14. Si Ton retranche une unité, deux unités, trois unités, etc», de ta caractéristique du logarithme d'un nombre donnée le nombre correspondant à ce nouveau logarithme sera dix fois, cent fois, mille fois , etc. , plus petit que le nombre donné.
Soit| par exemple, U €0t évident que
j! -5 10 λî50449 -. 1,000000 gja j0 M30449 (208),
|3# PRINGIFBS
Donc I etc.
2t5. TVowetle togarithne Jfun notnhfe qui dépasse ta téfhiie de$ tabUs. Jemppose iciaue les tahleà dont on fait usage ne dé^ passent pas le nombre aiboo , quia /^,ii^^S^pour loganthme»
Soit proposé , par exemple , de trouver le logtrilhme du nombre 3994^4 9 m^^ dépasse la limite des tables.
Retranchez deux chiffres sur la droite» pour que le reste ne dépasse pas la limite des tables.
Cherchant le logarithme du reste 3994 1 vous troutérex 3, 60 1408 pour logaiithme de ce reste.
Ajoutez à la caractéristique de ce logarithme, deux unités, c'est 4dire autant d'unités que tous aurez retranché de chiffres sur U droite , le nouveau logarithme 5,6o 1 4^8 sera celiû de 399400 (2 1 3).
Cherchant le logarithme de SggS , vous trouverez 3,6oi5i7 pour logarithme de ce nombre ; ajoutez deux unitéi à la caract^ ristique de ce logarithme, le nouveau logaritfante S^6oi5i'j sera celui de 399600 (2i3).
Gela posé , faites la proportion suivante :
\ Xj vous trouverez x= 16, 16; ajoutant 26,16 au logarithme de 390400, qui est 5,6oi4o8, vous aurez, en négligeant 0,16, 5,001 4i4 po^^ logarithme de 399424*
REMARQUE
Quoique cette méthode de trouver les logarithmes des nombres qui dépassent les limites des tables ne soit pas rigoureuse, elle est cependant suffisante pour les usages ordinaires des logarithmes, parce que l'erreur ne peut guère être que d'une unité de la dernière décimale du logarithme cherché, et que cette erreur est jegardée comme nulle , même dans les calculs des hautes sciences.
216. Un logarithme étant donné, trouver le nombre correspim» dant à ce logarithme lorsque ce logarithme tombe entre deux lo' garithmes consécutifs des tables, et lorsque ce logarithme dépasse la limite des tables.
I® Soit le logarithme 3,6203 18, qui tombe entre deux logarithmes consécutifs des tables ; il faut trouver le nombri! correspondant à ce logarithme.
Ce logarithme tombant entre le logarithme de 4^7^ > <pî ^^
DE L'ARITHMÉTIQUE. 8 c
^,620240, et le logaiithine de 4^7^, qui est 3,6!?.o344, faites la proportion suivante t
vous trouverez x = -— - ;
donc, 4171 4" ' — ^^^ ^^ nombre qui correspond au loga-
riiLme 3,62o3i8.
»• Soit k logarithme 5,6oi434 > q«i dépasse la limite des logarithmes ; il faut trouver le nombre correspondant à ce logarithme.
Retranchez deux unités h la caractéristique de ce logarithme , afin que le logarithme restant, 3, 601 434, ne dépasse pas la limite des tables , qui est4,33q454-
Puisque le nombre correspondant au logarithme 3,6oi434 ^st cent fois plus petit que le nombre correspondant au lop,ariihme 5,601434 (2i4), il est évident que si le logarithme 3,601434 se trouvait dans les tables , il faudrait pour avoir le nombre corres* pondant au logarithme 5,601^34 » "multiplier par cent le nombre correspondant au logarithme 3,6oi434.
Mais le logarithme 3,6oi454 tombe entre le logarithme de 3gg4 , qui est 3,6oi4o8, et celui da 3995, qui est 3,601617 : le nombre correspondant au logarithme 3,6oi434 est donc 3994 , plus une fraction.
Pour avoir cette fraction , faites la proportion suivante :
vous trouverez ^ =* — ;
donc, 3994+ • est le nombre qui correspond au loga--
rithine 5,6oi434; donc, 399400 -{ est le nombre qui
correspond «tu logarithme 5,6oi434 (2i3).
REMARQUE I
La^c^rtiott que nous faisoiif dans cette proposition ne diffère de la piopclrlic^ que noua avons faite au numéro ai5 , qu'^n et»
MiTH. PETRAED. 6
u« , dans le premier cas, le terme inconnu est le nombre «pl*tt aiit ajouter au logarithme pouravoir celui d^un nombre donné; et que , dans le second cas , le terme inconnu est le nombre qu'il faut ajouter à un nombre pour avoir celai qui doit correspondre à un logarithme donné.
KEMABQUE II*
La proportion employée dans cette métho<ie n*est pas rigou-> reusenient exacte, et Terreur ne cesse d'être insensible qu'autant que les nombres recherchés sont très-grands.
Pour rendre l'erreur la plus petite possible , il faut , à la caractéristique d'un logarithme qui tombe entre les logantkin«A ccuisécutifs des tables , ajouter autant d'unités qu'on Us pourva , saila dépasser la liiuile des tables , et diviNcr le nombre trouvé par l'unité suivie d'autant de zéros qu'on aura ajouté d'unités à la caractéristique. Le dernier nombre , sauf une erreur insensible, sera le nombre correspondant au logarithtue donné.
Cela est évident. En effet, si l'on ajoute, par exemple, trois unités à la caractéristique du logarithme donné, il est évident que le nombre correspondant à ce nouveau logarithme sera mille fois plus ^rand que le nombre correspondant au logarithme donné (2i3j. Donc , si l'on divise par mille le nombre qu'on aura trouvé corre>pondant au nouveau logarithme, on aura le nombre qui coi*respond au logarithme donné.
217. Trouver la fraction qui correspond 4 un logarithme né-gatij donné»
Si le logarithme donné, pris avec un signe contraire, se trouvait dans les tables, il est évident que la fi action qui coirespondraitàce logarithme serait égale à Tuuité, divisée par le nombre coirespon*
dant à ce même logarithme; parce que 10 •"■• sas (186).
lO*
> Mais que le logarithme donné, pris avec un signe contraire, tombe entre deux logarithmes des tables i retranchez le loga-* rïthnie donné, pris avec un signe contraire^ d'une, ou de deux , ou de trois , ou de quatre , etc., unités , de manière que le dernier noinbre restant soit le plus grand possible , sians dépasser l<s limites des tables. Cherchez le nombre qui corrtspond au lo{;arithme restant ; divisez ce nombre par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait d'unités dans le nombre dont oh a retranché le logarithme donné , pris avec un sigue contraire; le quotient sera le nombre correspondant au logarithme donné.
Soit^ padT exemple, le lo^-riihme •^ i,5)aj^3a ,'re<)raiichez iv53093i:f.dê£r; le logaiithnve restant 3>4^ji69, «oinb^M-^oIr»
JbË L'ÀRITHMlèTlQtJË. 83
le logariihme de 2932 et celui de 2933. Donc , le tioinbre correspondant au logariihiiie restant égalera 2932 , plus une frac-
tion a; et je dis que 1- 1 est le nombre qui coiw-
respond au logarithme donné.
En effet, puisque le nombre qui a 5, c'est-à-dire 5,oooooo
pour logarithme, est égal à io^»««<'<'0«, et que le nombre qui a
pour logarithme — 1,532732, est égal à lo'»***?'»; il est évî-
dent q^e 10 «•*»«*««• X 10- «.*3a73> ggra 1 00000 fois plus grand
que 10— «.«î«75«, puisque 10 *'••«>••«= 100000 (202). Mais
j o 5,000000 y^ jQ — 1,53173» — s I o 5,000000 — 1,53373» --- I Q 3,467 >68 /,g|\ ''
donc le nombre correspondant au logarithme 3,467268, qui est
é^^ à 5 — 1,53273a, est cent mille fois plus grand que le
nombre correspondant au logarithme — 1,532732. Mais' 2932
+ a est le nombre qui correspond au logarithme 3,467^68;
donc , X ■ est le nombre correspondant au loga^
rithme — 1,632732. Donc, etc.
