X X : : 450 : 90 fr
donc,
10 100 X QO
on aura donc
} 100 X qo
c*est-à-dire
X =s 6 fr.
228. On a touché Sf\o/r, , tant pour le capital que pour Vin," térét de 45o /r. , somme quon avait placée à raison de six pour cent par an ; on demande depuis combien et années cette somme avait été placée à intérêt,
'9à\t X le temp* cherché ; il e st évident ^yt pendant ce temps rihtérêt de too tr. sera 6 X ar, et que 54©— *45o, c'est-à-dire 90 fr., sera l'intérêt du capital pendant ce inénd^ temps, et l'on aura
ïoo ; 6 X ^ t! 45o : 90.
100 X 90 Doiw , 6 X ^ = jz ;
donc, -— ^__-(.9);
c'est-à-Jii% que
229. Dans toute rhgle d^ intérêt coatposé , les sommes dues à la ^ de choque année forment une progression géométrique dont te pre'inèr terme t^st égal au produit du capited par l'unité aug**^ T^^ée iJe y intérêt d*itn franc, et <iû^t ta raison €St Fut^i4 augmentée de Viniérét d*un frànç^
DE L'ARITHMÉTIQUE. 8jy
Que le capital sôit 1200 ïr. , et Tintërét d'un franc.
Il est évident, i^ {[ue la som^ne due à la fin de la première anne> égalera une fois le capital 1200 fr., plus douze cent fois
*— -, c'est-à-dire le produis de iqfbo par i -f- —, c'est-à-dire ao ' 20
Il est évident, 2* que là soininé due à la fin delà seconde annre égalera une fois la somme due à la fin de la première année ,
plus — *-'^ pris âTûtanA; de fois c|i^il y àrait A'iihités dans celte
somme , *t'est-à-dirk que la somn^ due à la Sn de la seconde année égalera le produit de la Sommeldue à la fin Aie la première , .par
I + — ^, fc'cst-â-dire 1206 X ( t + — | X l i + ' — V ao y 20^ y 20 y
Il est évident , 3'^ que la somme due à la fin de la troisième année
égalera une fois la somme due à la fin de la aeeoilde, plus —*- piîs
autantdefoisqu'ilyavaitd'unitésdanscettcsomme,c'est-à-direque la somme due à la fin de la troisième aimée égalera le produit de la
son^me due à la fin de la seconde imaée part* + -«^^ e*esl*à-
dire 1200 X ( i + — | X | i H 1 X | i ^ Y
On dilF^6Yiti^ait de la ùiéme ntai^fère qtte4a somme d oeà h (in d6 la qus^trième année égalerait le prodtiit de la somme4ue à^ln findo
la troisième, par i + ■—— , etc. '
MaiB\l55"nombrfs'^ ! ■; ■' • '
(■ti)
X (i + — ) X (i + — ) X (i + — ), \ 20/ \ ao / \ 20/
ou plus simplement
est 'un
„ „ 'intérêt
d'un franc ; donc , etc.
Si a e'tait le capital , et si r était l'intérêt d'un franc , il est éyident qu'on aurait la progression suivante:
-irû X (1 + r) : a X (I + r)> : û X (i +r)5 : a X (1 +r)4, etc.
COBOLLAIRE.
Il suit évidemment de là que la somme due à la 6n d'un certain nombre d'années , est égale au capital multiplié par i -^ ^ élevé à la ]^issance dé:$ignée par les années écoulées. Si le nombre de9 années éboulées était n^ la somme due serait ^ale â
23o. On a placé 1 000000 à raison d'un dixième pour Jranc f on demande quelle sera la somme quçn touchera au (nml de cinq ans et six mois,
La somme due à la fin de la cinquième année fera ^;ale aa cinquième terme de la progression géométrique suivante :
•77 loooooo X I I + ^^ I *. loooooo X I I + ""•f f
ou bien -77 loooopo X — I loooooo X — -» etc.
10 ro
c'est— à-dire
loooooo X ( — ) = i6io5io.
La somme due à la fin de la cinquième année étant connue , il reste à trouver la somme due pour les six mois restans»
Il est évident que la somme due au bout de cinq ans et six mois
sera ^ale à 1000000 X (tT") , plusHutérêldei 000000 xf") • pendant six mois 9 c'est*à^ire pour une demi-année.
Mais l'intérêt de 1 000000 X I — I 9 à raison d'un dixième
\io/
X •— ; donc l'intérêt de 1 000000 X (—) pendant une demi* 10 V lo-/
année, Calera la moitié de 1000000 X i-^l X — X — t ^ Vio-/ 10 a
c'est-à-dire 8o525 -|* -— • Donc , la somme due au bout de cinq
ans et six mois égalera i6io5|o -{• 8o525 +-— *> c'est-à-dire
23 1 . On a touché i6io5io^. pour un capital qu*on aidait placé depuis cinq ans',' tîntérêt composé étant (Tun dixième pour Jranc ; on demande quel était ce capital.
Soit a ce capital ; . la somme touchée sera ^ftle au cinquième; terme de la progression géométrique suivante :
c'est-à-dire a X ^— V
\io/ .
Mais la somme touchée est égale à i6io5io ; donc.
a X I — I «-* i6io5io> donc 9 \io/
fâ"
9* c'est-à-dire
PRINCIPES i6io5io
i6io5io
\ioJ lO'
i6io5io X looooo i6io5i
i6io5io X lo*^
=s loooooo (84)*
aâa. On a touché 1 69 1 o35/r. y powr w/i capital quon avaîtplacé depuis cinq ans^et demi ^ l'intérêt composé étamt d'un dùtitme pour franc; on demande quel était le capital.
On aara
a, X f— V+ « K /- Vx JL% S.^ lÔgroSS + -L, \ ïo/ y 10/ 10 2 •^ a
c'eat^«-dira
Donc,
( — ) + (^) X ^ X -^ \io/ \io/ 10 2
i6io5i i6io5t I
toooôo
ao
i6io5
100000 X ^0 ' 100000 X ao
32210110 4" léîoSi
aoooooo
-En-gënëral, soit a le capital , s la sorame toacbëe, rVintërét, 71 le taombre des années entières qui sont écoulées , eip la fraction d'nae ano^.
D'après la progression géométrique
T? fl X (I + r) ; « X (I + r)', etc., on aura a X (J + r)- + a X (1 + '•)" X n X /> = j, c'est-à-dire a X [(i + r)» -}- (1 + r)» X n X />] = *.
Donc y a = ' m ■ i - i .
Donc^ elcw
233. On a placé looooooyr. et Von a touché i6io5io/r. à la fin de la cinquième année; on demande quel était Lintérét Ht n^ franc*
Soit r Vintérét d'un franc.
La somme touchée sera ^gale au cinquième terme de la progression géométrique
-77 loooooo X (i + r) ; loooooo X (i + r)», etc.,
c'est-à-dire "I xoooooo X (l + r)'.
Mais la soanme touchée est égale à 1610S1O fr. ;, doaC| /
loooooo X (i + r)* = i6i65io;'
dbnc; \ Xi + rf = ^ (29);
|if/1r6io5io donc , 1 .+ '^ «*» #f ' ^ (35*) ;
Lonc
234. On avait placé a ; Von a touché s au bout du temps n 5 Pintérét était de r pour franc; on demande n.
S\ s était égal à un des termes 9e la progressio;!
-^ « X (i f r) ; a X <i + r)>, etc.,
ga PRINCIPES
il est évident que n serait un nombre eaticr ; mais si s tombait entre deux termes consécutifs , il est évident que n renfermerait un entier et une fraction.
Puisque a X (i + r)» 5= j, on aura
(i 4. r)« fi= (29);
s donc , le logarithme de (i -f" 0" ^^ ^S^ ^^ logarithme de -*— ;
mais le logarithme de (i 4" r)" = n X /^ (i + r); et le logarithme
s de — ==s Ls -r- La; donc, a
n X I* (i + r) = il — Ir«;
Ls -^ La donc, n = ■
Ls-^ La lie nombre * ■ ■ — sera un nombre entier ou um nombre
Ls — La composé d'un entier et d*nne fraction. Si ■ est un
nonibre entier, il est évident que ce nombre désignera le nombre des années écoulées depuis le placement du capital jusqu'au
' » ' • Ls — La
paiement de la somme s. S\ le nombre »■ « égalait un .
entier plus une fraction ^> 10 -4" ?> P^i* exemple, il est évident que a X (i -f" ^)'° Siérait la somme qu'on aurait touchée à la fin de la dixième année; et que le re^fte , s — « X (i + r)**, serait l'intérêt de a (i -H r]*^ pendant la partie de la onzième année qui a précédé le paiement de la somme s» Que cette partie de l'année soit p, i\ est évident que l'intérêt a X (i + r)*** pendant la portion /? de l'année Seraé^^al à a X (i + r)** X r X p^ Mais cet intérêt est égal à # -— a (i -{- ry^; donc »
« X (I + r)'*» X r X p = 1 — fl X (1 + r)»*;
# — « X (i + rV , , donc , p jss :■! ■ .1 1 1 {29). -
BEMARQUE.
Si 1 équation n 3^0 ^..^ dopuait^ par exemple, n = a
«4- ^ — I on 9e trouiperaic grandement si l'on conclatit qu'il
s'est e'coulé deux ans et demi depuis le placement de' la somme a jusqu'au paiement de la somme s. Dans l'équation
« X (I + r) 2 + J = *, c'est-à-dire a >^ (t + r) | =3 ^,
le nombre fractionnaire — indique que a est multiplie' pai' la
cinquième puissance de la racine carrée de 1 4* '* ^g&le ^, et nullement qu'il s'est écoulé dçux ans et demi depuis le placement de rintérét jusqu'au paiement de la somme s.
En effet, joit la progression géométrique
-H- û X tx + r) ; a X (t + r)» : a X (i + r)\ etc.;
il est évident que la somme qu'on touchera au bout de deux ans et demi sera égale à
Supposons que
=0 û X (1 + r)« X (1 + '•) X — , on aura
Mais,
(I + r)» +! = (!+ ry X (I + r) j (i85);
donc, (i+O* X (i+r)| = (! + rrxl I +
r donc , (i 4. r) j = I + — (29) ;
donc, (I + r)| X (I + r) }( I + -^ j X (i+ -^j (i88),
r c'est-à-dire i + r =5 i + r -— ,
r e'est-à-dire o = — -,
oe qui est absurde. Donc , etc.
^5. Om &9mii plaeé %ooooof>fr. a raùon é^un êhc^me pamf
franc; on m îouéhi 169105$ -}* — ^ ^^ denumde dqmis ^ite/
temps en m^ail placé cette sonune.
Diaprés U progression gëomélriqMy
•^ 1000000 X ( I + — I ; loooooo X I 1 H j ,
on aura lOooooo ( — | := lôgioSS H
ioac, 1691035 -|
looqooo Itfais le logarithme de
et le logarithme de
to8);
— ^^1 ï69Jo35 + — I — X loooooo (li
donc, nyi{L 11 — L 10) = 1 1691035 -^ 1 — L loooooo;
doncy Ll 1691035 -| ) — L 1000000
\ 2/ ai 128
