X£MM
Il s'agit de diviser 144^4 P^^ S*
Je prends ici les deux premiers chiffres du dividende , parce que le premier ne contient pas le diviseur.
Je trouve que 14 contient 8 une fois; j'écris i au quotient; je multiplie 8 par i , et je retranche le produit 8 de 14, ce qui. me donné pour reste 6 , à côté duquel j'abaisse le troisième chifri fre 4 dudividendet
Je continue en disant : en 64 combien de fois 8 ? 8 fois ; j'écris 8 au quotient , et faisant la multiplication, j'ai pour produit 64
Due je retranche du dividende partiel 64 ; il me reste o à côte uquei j'abaisse' 6, quatrième cliiifre du dividende; et comme 6 oe contient pas 8 , j'écris o au quotient , et j*abaisse tout de suite à coté de 6 le dernier chiffre du dividende qui est ici 4) pour dire : en 64 combien de fois B? Il y est 8 fois : après avoir écrit 8 aa quotient , je fais la multiplication, et je retranche le produit 64 : et comme il ne reste rien , j'en conclus que i44^4 contiennent 8 1808 fois.
De la Dwision par un nombre de plusieurs chiffres.
62. Lorsque le diviseur aura plusieurs chifft*es, on se conduira de la manière suivante :
Prenez sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il est nécessaire^pour contenir le diviseur.
Cela pose , au lieu de chercher ^ comme ci - devant , combien la partie du dividende que vous avez prise contient votre diviseur entier, cherchez seulement combien de fois le premier chiffre de votre diviseur est compris dans le premier chiffre de votre dividende, ou dans les deux premiers, si le premier ne suffit pas ; marquez ce qi^tient sous le diviseur comme ci-devant.
Multipliez successivement, selon la règle donnée (60), tous les chiffres de votre diviseur par ce quotient , et portes à mesure les chiffres du produit sous les chiffres correspondans de votre dividende partiel. Faites la soustraction , et à côté du reste abaissée le chiffre suivant du dividende, pour continuer ropération ^ la même manière^
Nous allons éclaircir ceci par quelques exemples , et prévenir en même temps les cas qui peuvent causer quelque embarras.
EXEMPLE I
On propose de diviser 78347 p^r 53.
ï4ai li
Je prends seulement les deux premiers chiffres du dividende ,'
parce qu'iU conCtennent le diviseur , et au lieu de dire : en jS combien de fois 53, je cherche seuleuieni combien les 7 dii^ioes de 75 contiennent les 5 dizaioes de 53, c'est-à-dîre combien 7 contient 5 ; ie trouve i fois, aue j'écris au quotient.
Je multiplie 53 par i , et )e porte le produit 53 sous 7$ : la soustraction faite , il reste 22 , à côté duquel j'abaisse le chiffre 3 du dividende , et je poursuis , en disant pour plus de facilité : en ai combien de fois 5 (au lieu de dire en 223 combien de fois 53) ? je trouve 4 (ois , que j'écris au quotient»
Je multiplie successivement par41es deux chiffres dudiviaevur, et je porte le produit 212 sous mon dividende partiel 22a; la soustraction faite t.i'^i pouf rçste 1 1 ; j'abaisse à c6t^ fte ce irette le chiffre 4 du dividende, et je dis simplement comme ci-dessus : en 1 1 combien de (oki 5 ? 2 (lûs ; je récria au quotient , et je multiplie 53 par 2 , ce qui me donne 106, que j'écris août le dividende partiel 1 14 ; faisant la soustraction , j'ai pour reste 8, à côté duquel j'abaisse le dernier chiffre 7 ; je divise de miÂnie 87, et continuant comme ci-dessus , je trouve 1 pour quo.tient , et 34 pour reste « que j'écris k côté du quotient de la manière qui a été indiquée plus haut (60).
63. On devrait) à la rigueur, chercher combien de fois chaque dividende partiel contieot le diviseur entier ;vmais comme cette recherche seiait sonnent longue et pénible, oa ae contente, comm^ on vient de le Noir, de chercher conabien la partie la plus fofte de ce dividende contient la partie la plus forte du diviseuc. I.*e vquQittent cpi'on trouve par cette ioie n'est pas toujours le iré* rùable y '.pil^'ce qu'ea prenant ce parti , an ne fait r^lkment q^*u»e estimation i^pproohéey mais, ouu^e que cette estioaiatien met presque toujours sur le but , et que dans le cas où elle m'j in^ pâa^ elle en écarte peu, la muifiplicatioii qui vieat eaanite sert, ik redresser ce qu'il peut y avoir de déf^iuettx dans oe juge^ ment. £n effet, si le dividende partiel contenait réellement le diviseur 3 fois , par exemple , éi que par l'essai qu'on fait on eût trouvé qu'il le contient 4 fois.» il est facile de.vx>ir qu'^ faiiaiit la multiplication par 4 9 PU auijaitun produit plus grand que le dividende ^ puisqu'on prendrakle diviseur plus de fois qu'il n'est réellement dans ce dividende , 4t que par conséquent la soustraction deviendrait impossible; alors o|^ diminuera le quotient successivement d'une, deux, etc., unités jusqu'à ce qu'on trouve un produitqu^on puisse retrancher : au contraire,si l'on n'avait mis que 2 au quotient , le reste de la soustraction se trouverait plus grand que le diviseur ; ce qui prouverait que le diviseur y est encore contenu , et que par conséquent lé quotient est trop faible.
Au reste , on acquiert eu peu de temps l'usage de prévoit; de combien on doit diminuer ou augmenter le quotient que donné la prçmi^r^ éj^reuv^.
DE ^fiaOUT. ' '?Li ^ »7 Oo f>^9po»,# de 4ivi*«r 189^92 par 3^5.
"Wl %"■
« Il rf
Je prends les quatre premier» clnlTres du dividende , parce que les 3 premiers ne contiennent pi^^ le diyi«eii|'.
Je dis ensuite : en i8 sealepaenjt combien d^ fois 3 ? Il y est re'ellement 6 fois ; mais , en fi^itpl|ant 3*]S par 6 , j'aurais plus que mon dividende i8g4 ; e*est pourquoi j'écris seulement 5 au quotient. Je multiplie 3^5 par 5 ; et' aprè$ avoir écrit le produit sous 1894 ) je fais la soustraction , et j'at pour reste 19.
J'a)>«îsse à côté de 19 k chiffre 9 du dividende; et cointn6 1 19 que j'ai alors ne contient pas 3^5, je pose o au quotient^ c^j'abaissç â côté de 119 le chiffre a di| dividende ^ ce qui me donne 109:2 pour lequel je dis : en 19 seulement combien def6i9 3?6fôi9, ]\Iai9 pAr U même raisçnque ci^essus , je tl'écrrs*auq^otient qu)Q i ; et après avoii: cftéré coin wc jci-dflvant , j'ai pour) vdste' t'i ^ < '
64. Voici «ne réflention qui peut servir à éviter, daps Hm {{rand nombre de cas , les tedtati'VeS inutiles. On est prîncipalç)tienl exposé à CCS essais douteux , loraqtre le second 'chiffre dudiViseuf est sensiblement plus grand que le premier. Bans ce cas , ùix lieu de cbetfeber combien le preifiier chiffre du diviseur çst cônten^i dans la partie corres|)ondante du dividende ^ il faut chercher com-*> bien ce preinier chiffre , augmente d'une unitj^ , se trouve contenu dans la partie correspondante du dividende : cette ëpreuvje
sera toujours beskiconp plus dpprô^hantç <{ue la première.
On propose de diviser i83^ par'2$8.
< lll I >
Au. lieu de dire en i8 combien de fois 2 , je dîràî en 18 combien de fois 3 , parce que le diviseur 268 approche beaucoup plus de 3oo que de 200 ; je trouve 6 , qui est le véritable ïjuotienf , au lieu que j*auràis trouvé^ , et j'aurais pkr coitsécjuent été oblige de faire trois essiiis iniHiles.
Moyens d'abréger la méthode précédente.
65. C'est pour rendre la méthode plus facile è saisir, que nous avons prescrit d'écrire , sous chaque aividende partiel , le produit qu'on trouve en "
comme le but
tions , nous croyons devoir faire remarquer qu'on peut se dispenser d'écrire ces produits , et faire la soustraction à mesure qu on a multiplié chaque chiffre du diviseur. L'exemple suivant suffira pour faire entendre comment se fait cette soustraction*
L CCI 11 C) SUU9 ctiaijuc uiYiucuuc pal ilCI) te piA#UUII.
n multipliant le diviseur par le quotient.; mais de l'Arithmétique doit être d'abréger les opéra-
EXEMPLE
On veut diviser 756984 par 932.
' 756984 ii38
Après avoir pris les quatre premiers chiffres du dividende qui sont nécessaires pour «on tenir le diviseur, je trouve que 75 contient 9 8 fois, c'est pourquoi j'écris 8 au quotient-, et au lieu de porter sous 7569 le produit de 982 par 8 , je multiplie d'abord 2 par 8 , ce qui me donne 16 ; mais comme je ne puis ôter 16 de 9 , j'einprttnte surle chiffre suivant 6 une dizaine , qui, jointe à 9, me donne 19, duquel étant 16, il me reste 3 que j'écris au-dessous.
Pour tenir compte de cette dizaine empruntée,, au lieu de diminuer d'une unité le chiffre 6 sur lequel j'ai emprunté , je retiens cette un^té que je vais ajouter au produit suivant ; ainsi , continuant la multiplication, je dis : 8/ois3 font 24* ^^ i que j'ai retenu foat 25 ; comme je, ne puis ôter 25 de 6 , j'emprunte sur le chiffre suivant 5 du dividende deux dizaines , qui jointes à 6 , me donnent 26 desquels j'ôte 25 , il me reste i que j'écris sous 6 ; par U j'ai tenu compte de la première dizaine dont j'aurais dû diminuera, parce que j'ai retranché une dizaine de plus. Je tiendrai, de même, compte des deux dizainesque je viens d'emprunter. Je continue donc , en disant : 8 fois 9 font 72 , et 2 que j'ai enipruntés font 74 9 lesquels ôtés de 75, il reste i.
Rabaisse à côté du reste 1 1 3 le chiffre 8 du dividende , et je continue de la même manière, en disant : en 1 1 combien de fois 9? I fois; puis une fois 2 fait 2 , qui ôtés de 8 il reste 6; une fois 3 fait 3 , qui ôtés de 3 il reste o ; une fois 9 est 9 , qui ôtés de 1 1 il reste a. J'abaisse le chif&e 4 i côté du reste 206 , et je dis : en 20 combien de fois 9 ? 2 fois, ; ^t faisant la multiplication , 2 fois 2 fonl 4j qui ôtés de 4 ^\ reste o ; 2 fois 3 font 6, qui ôtés de 6 il reste o ; et enfin 2 fois 9 font 18 , qui ôtés de 20 il reste 2.
66. Il peut arriver, dans le cours de ces divisions partielle^:, que le diyidende contienne le diviseur plus de 9 fois. Cependant
DE BEZQUT. - 29
on ne doit jamais mettre plus de 9 an quotient f car, si l'oli pou- Tait seulement mettre 10 , ce serait une preuve que le quotient trouvé par l'opération précédente serait faux, puisque la dizaine qu'on trouverait dans le quotient actuel ^ appartiendrait à ce premier quotient.
6;; . Si le dividende et le diviseur étaieiit suivis de zéros , on pourrait en ôter à l'un et à l'autre autant qu'il y en a à la suite de celui qui eu aie moins. Par exemple , pour diviser 8000 par 400, je diviserai seulement 80 par 4 ; car il est évident que 80 centaines ne contiennent pas plus de fois 4 centaines, que 80 unités ne contiennent 4 unités.
De la Division des parties décimales.
68. Pour ne point noMs arrêter à des distinctions superflues , nous réduirons l'opération de la division des décimales à cette règle seule.
Mettez à la suite de celui des deux nombres Aoposés , qui a le moins de décimales , un nombre de zéros suffisant pour que le nombre des décimales soit le même dans chacun ; cela ne changera rien à la valeur de ce nombre (3o) ; supprimez la vir-
f;ule dans l'un et dans l'autre , et faites Topération comme pour es nombres entiers ; il n'y aura rien à changer au quotient que vous trouverez.
EXEMPLE
On propose de diviser 12,62 par 4^3.
J'écris • . 12,52 | 4*^
On plutôt. 12,52 I 4^3o
en complétant le nombre des décimales.
Supprimant la ^virgule, j'ai 1262 à diviser par 43o; faisant
l'opération : i252
^lîJ
Je trouve 2 pour quotient, et 392 pour reste, c'est-à-dire que le quotient est 2 et jÇ^.
Mais comme l'objet qu'on se propose quand on se sert de déci* maies, est d'éviter les fractions ordinaires, au lien d'écrire le reste 392 sous la forme de fraction , comme on vient de le faire , on continuera l'opération comine dans l'exemple suivant :
EXEMPLE
5oo' ^00
3o ARITHMÉTIQUE
Après aToîr ttrouré lé quotient en entiers, qui est ici â, on mettra à €&ié en reste 39a un zéro oui , à la yérité , rendra ce reste Six toi$ trop grand ; on continuera de ditiser par 43o, et ayant ti-ouvé ^SVL faudrait mettre 9 au quotient , on Vy mettra en effet , mais aptli avoir marqué la place des unités entières , en mettant Une rlrgA après le a ; par ce moyen le 9 ne marquera plus que des dixièmes : après la multiplication et la soustraction faites, on mettra à câté du ro*tf i5o un zéro, ce qui est la même chose que si Vàn eh avait mis d'ci>ord deux h eâté du dividende ; mais en mettant après 9 le quotient 1 qu'on trouvera , on lui donnera par là sa véritable valeur, puisque alors il marque des centièmes ; on continuera ainsi tant qu'on le jugera nécessaire. En s'en tenant à deux décimales, on a la valeur du quotient à moins d'un centième d'unité près ; en mjqs- •ant jusqu'à trois chiffres, on a le quotient à moins d'un mimèîne près ; et ainsi de suite-, puisqu'on n aurait pas pu mettre une unité de plus ou de moins^ sans rendre le quotient trop fortou trop faible.
Tpus les ré^s de division peuvent être réduits ainsi en décimales.
Il reste à expliquer pourquoi la suppression de la virgule dans le dividende et dans le diviseur ne change rien au quotient , lorsqu'on a rendu le nombre des déclmalei^ le même dans chacun dt cef deux nombres : c'est ce qu'il est aisé d'apercevoir , parce4j[ue , dans l'exemple ci-dessus, le dividende isi,52 et le diviseur 4^30 ne sont autre chose que 125.2 centièmes et 43o centièmes, puisque les unités entières valent des centaines de centièmes (as); orileistcbir que 1262 centièmes ne contiennient pas autrement 4^ centièmes
3ue 1262 unités ne conitênnént ^Zo uniiés; idçnc )a considéraMO e la virgule est inutile quand en a complété le nombrç des décimales.
69. Lorsqu^oti n'a besoin de connaître le quoCie'nt ct'ûn!? divi* sion que jusqu'à un degré d'e;factitude proposé, on peut abr^ér le calcul par la méthode suivante. Nous supposerons d'abord qu'on n'a besoin de connaîtra ce quotient quà une unité près: nous ferons voir ensuite comment on doit appliquar la mraiode pour l'avoir aussi près qu'on voudra : voici la règle.
Supprimez sur la droite du dividende autant de chiffres , moias un , qu'il y en a danis le diviseur ; faites ensuite la division comme à l'ordinaire : s'il n'y a point de reste, vous mettreE'à la suite da quotient autant de zéros que vous avez supprimé de chiffres dans le dividende. Mais s'il y a un reste, vous continuerez de diviser, non pas parle même diviseur qu^au|iarftvant, cequi n'est plus possible, mais par ce diviseur dont vous aurez supprimé le dernier chiffre de la droite : après cette division .« vous diviserez le nouveau reste par le diviseur précédent 9 dont vous supprimez le dernier cliififre sur la droite : et vous continuerez ainsi de diviser, ea supprimant à chaque division uh chiffre sur la droite du diviseur.
DE BE20UT. 3i
EXEMPLE
On rent avoir, à moins cTune unité près, le quotient de 87^236487 dÎTisé par 644^3. Je supprime les quatre derniers chiffres de la droite du dividende, et je divise 8789^3 par le difirseur ftofoêé 644^3.
4^4^' .fi44^
JjB trovr^t d'abord i3 pour quotient, et 4'4^ P^^f i*^ta t je divise donc 4^4^ P^^ 6442 , en supprimant le demîor chiffre 3 du divisear t j'ai pour quotient 6, que j'écris 'à la suite du premier quotient i3 4 et le reste est 277a , que je divise par 644 9 en supprimant encore un chiffre sur la droite du diviseur primitif : j'aipaqv quotient 4» que j'écris à la suite du quotient principal i3o; le reste est 196, que je divise par 64 f en supprimant encore un chi6fre dans le diviseur : le quotient est 3 , et le reste 4^ Enfin je divise par 6 , et j'ai o pour quotient , en sorte que le quotient de 8789236487 , divisé par 644^-9, est 136430, à moins d'une unité près. 'En effet , le quotient exact ^ i3643o -^XàTï'
Il n'e^t pas indispensable d'étfrb-ift à chaque fois , comme nous l'avons fait, le nouveau diviseur ;'bn peut se contenter de barrer, dairt le diviseur primitif, chaque chifire à mesure qu'on passe à âne nouvelle division : ce n'a été que pour rendre l'opération plus sensible que nous avons éc^ ces diviseurs à côté dès restes Sttceessifs.
70* Si ht reste de la première divisioà se ttouvàit plus petit que a'est le diviseur, — *-" ^-»— -- - î— ^ 1- j-^-^ — \.iœ .
mettrait téro
ne serait ce diyiseut
chiffres restans^ on mettrait êncofe un léro au quotient, et ainsi
de suite.
Poilr avoir ^ à mains d'une unité pvès, le <|UOtient de 55to6o54 divisé par 643 , je divise , comme à l'ordinaire , la partie 55 1 060
3ui reste après la suppression des deux damiers chiffres du (Kviende proposé. ^^
BtÎ
3y- ARITHMETIQUE
J'ai pour quotient 867 , et 9 pour reste : il faut donc divûer od reste par 64 seulement. Comme 9 ne contient pas ce diviseuTi |i mets o au quotient, et j'ai encore pour reste 9, que je dîviiléWi 6 seulement, en sorte que le quotient cherché est 86701 , à nmv d'une unité près.
7 1 . Si lorsqu'au commencement de l'opération on sapprîme sm la droite du dividende les chiffres que la règle prescrit de snppri» mer , il se trouve que les chiffres restans ne contiennent pas le diviseur, on supprime tout de suite, sur la droite du diviseur, autant de chiffres qu'il est nécessaire pour que le diviseur y soit contenu.
EXEMPLE
On veut avoir, à moins d'une unité près, le quotient de 161 1627 divisé par 64524*
Je supprime les quatre chiffres iSs^ de la droite du dividende. Mais, comme les chiffrer restans 161 ne peuvent pas être divisés »par 645249 je supprime dans ce diviseur les trois derniers chiffres 024 qui doivent être supprimés pour que ce diviseur soit conteaa dans le dividende restant 161 ; ainsi je divise 161 par 64 9 en opérant comme dans Teicemple précédent :
et j'ai 25 pour le quotient de 161 1527 divise par 64524 9 à moins d'une unité près : en effet, le ouotient exact est 24 fvSij qui est beaucoup plus près de 25 que m 24*
72. A mesure qu'on supprime un chiffre dans le diviseur, il convient , pour plus d'exactîtude , d'augmenter d'une unité le dernier de ceux qui restent, si celui qu'on supprime est au-dessus de 5 ou égal à 5. On augmentera de même d une unité le dernier des chiffres qui restent dans le dividende , après la suppression que la règle prescrit, si ceux-ci surpassent ou 5, ou 10 , ou 5o, selon qu'il y en a i , ou 2 , ou 3 , etc.
EXEMPLE
On veut avoir^ à moins d'une unité près , le quotient de 865^627 divisé par 19B7. .
Je divise donc 8658 par 1987, comme il suit :
ii3. . .20
c'est-à-dire qu'au lieu de diviser le reste 710 par 198 seulement,
'on
je le divise par 190^, parce que le dernier chiffre 7 qae je suppriÉae, est au-dessus de 5. Même raison pour la division suivante. Mais comme le dernier diviseur 2, qui est contenu 6 fois dans 1 3^ est un peu trop fort , je nftets 7 au quotient pour compenser.
78. Maintenant il est facile de voir ce qu'il y a à faire lorsqn veut avoir le quotient beaucoup plus exactement* Par exemple , si l'on voulait avoir le quotient , à un ^i^-niillième d'unité près^ la question se réduirait à mettre autant de zéros (ici ce serait quatre) à la suite du dividende , qu\>n veut avoir de décimales au quotient ; après on fera la division selon la méthode actuelle. Et lorsqu'on aura trouvé le quotient h moins d'une unité près , on en séparera sur la droite , par une virgule, autant de chi£Pre$ qu'on voulait avoir de décimales.
EXEMPLE
On veut avoir, à moins d'un dix-millième d*nnité près , lequo^ tient de 6927 divisé par4532 : je mets quatre zéros à la suite de 6927, et la question se réduit à avoir, à moins d'une unité près, le quotient de 69270000 divisé par 4S32, c'est-à-dire conformément à la règle ci-dessus , à diviser 69270 par 4^32 , comme il suit :
15286 1290. p /^SZ 384. . 45
le quotient cherché est donc 1 ,6286 , à moins d'un dix-miliième d'noité près.
S'il y avait des décimales dans le dividende ou dans le divi-^ seur, ou dans tous les deux , on les ramènerait d'abord à n'en point avoir, selon ce qui a été dit (68) ; après quoi on opérerait comme dans ce dernier exemple.
Donc si l'on voulait réduire en décimales une fraction propo« sée , on y parviendrait promptement par cette méthode , ayant ^ard à ce qui a été dit (7 1).
Ainsi , si l'on veut réduire -^y^l en décimales , et en avoir la valeur à moins d'un millième d'unité près , on aura 4^53000 i diviser par 9678; ce qui (69) se réduira à divber 4^53 par 9678 , et (71) à diviser 4^53 par 968, selon la méthode actuelle. On trouvera donc 439 ; en sorte qu'on aura 0,489 pour lavalet^r de H^j^-I à moins d'un millième près.
Preus^ de la multiplication et de la dinsion.
74« Ofk peut tirer de la définition même que nousavœia donnée
de chacune dec^deux opérations , le moyen d'eniairc la preuve^
Puisque dat» la multipUcation on prend le multiplicande aa^
AKITHMÉTIQUE^ 3
24 ASrrBMITIQVE
tant de fois aue le moltipUcatear cootieuM; d'unit^ iU'< si Ton chercne combien de fois le produit contient le
cande , c'est-à-dire {Sg) , si l'on divise le produit par le ntul^^^ , cande , on doit trouver, pour <|uotient , le multipUcateiif^^^'ifj^ comme on peut pi^endre le multiplicande pour le multipUcafpir, et vite versdp en gëDéral , si Von divise le produit d^ime ntfdhiK pUcation par Vun de ses facteurs , on doit retrouver pour çuo^fMt t autre facteur.
Par, exemple, ayant trouvé ci-dçssus (5o) oue 3864 mumiAé par 6 a donné 17104, je divise 171Ô4 P^'' ^864; je dois troa^eî et ie trouva en etfet 6 pour quotient.
FateiUemen( , puisque le quotient d'une diyisjbn maraUe çpmr bien de fois le dividende contient le diviseur, il s'ensuit que d l'on prend le diviseur autant de fois qu'il est marqué par le quotient, c'est-à-dire si l'on multiplie le diviseur par le quotient, on doit reproduire le dividende lonsque la divisîm a été Aâte sans reMe , et que , dans Le cas où il y a un reste , si l'on a»dhiplie le diviaeur par le quotient , et 4^v!àxk produit on ajoute le reste de la division , on doit reproduire le dividende.
Par exjQmple 9 nous avons trouvé ci-dessus (63) que i89^2 divisé par 3^5 , donnait 5o5 pour quotient, et 1 1 7 pour reste. En multipliant 375 par 5o5, on trouve 189375 , auquel ajoutant le reste 117, on retrouve le dividende 189492.
Ainsi , la multiplication et la division peuvent se servir de preuve réciproquement.
Mais on peut vérifier ces opérations par un moyen plus prompt ,
Îue nous ^Ulbns exposer i il ne faut pas pour eela néglioer ka ré-exions que nous venons de faire ; elles seront utiles oani beaucoup d'autres occa^ons.
Prem^e par 9.
76. Supposons qu'après avoir multiplié 68498 par 4^4 9 et trouvé que le produit est 29736092 , on Veuille éprouver ai ce produit est exabt.
On ajoutera tous les chiffres 6, 5 , 4 ? 9 9 B , du mùttiplicânde , comme s'il ne contenait que des unités siinples ^ et on ïétran-, cbera 9 à Àiesure qu^il se trouvera dans la somine : on aura un reste qui sera ici 5.
On ajoutera paréillemeilt les chiffres 4 9 5, 4 > ^° multiplicateur, et retrancnant i^areilleineùt tduâ lès q que produira cette addition, on aura pour resté 4«
On multipliera le reste 5 du multiplicande par lé re^té 4 dm multip^<^e^t, «t du produit 20 onretra|i^bjev|^)e9-9.q^^l peut renfermer ; il restera 2.
Si lepiwdoit^cst exiMit ^ il faut q«il^a}otitabt''dè' teé«va ^oiia lei cbitfre^ ai 9, 7, S^ 6, o, 9^ 2,' de ce produity «t recrtoeiMtft Xm las 9y:â D^ reste «oBsi^esj-ce ^ttia ll«»<sa eftt;
DE BSZOUT* S5
Cette règle eit fondée siir ce principe que , pour atioÂr le re&te 4e la «eus^raction de tous les 9 qtt'an nombre peut i-enfermer, il V^J a qu'à diercher le reste que ces chiffres , ajoutas eonoone des «i^tés simples , donaermient wrès la suppression d^s 9.
"Bn effe$ , ^i , 4'ua nombre eipril^é p^r un sçifl cbi^):e ^ vi de plusiepr^ ze'rp^, pn retr^cbe tou^ les 9 , le reste i^f a ejtprio)^ p^i: ce seul ^ffrç. 3i 4e 4qp oh de 5ooo, ou de 60000, vous ^etf ao,cnçz tous les û , le re^ s/era 4 ou 5 , w 6 , etc. , ce <jui est aisé à ypir.
Donc le reste que donnerait, par la suppression des 9 , un nonibi«têlqtie^l49^(qaiest la même chose que 80000 plus StJOp , plps 400 y plus 90 f plus 8} , sera le même que c^lui que doni|eraient 6 plus 5, plus 4* piu§ g^ plus 8 ; c'est-à-dire le même q^ue si I on ajoutait ces chiffres comme contenant des unités simples.
En voici niaintenant l'application à la preuve de la mùltipiiica|ion.
Puisque 65498 est composé d^un certain nombre de 9 et d'iin rente 5 , et que le muhiphcateur 454 est composé aussi d'un cêr-. tain nombre de 9 et du reste 4 9 il ne peut s'en falloir que du pipdiiit de 5 par 4 ou 20 , que le produit total ne soit divisible par Qy ou, en étant les 9 , il ne doit s'en falloir que de 2 que le prpdoit total ne soit divisible par 9 : donc il doit rester au prodîiit la même quantité que dans le produit des deux restes, aprè$ la suppression des 9 qu'il renferme.
\Sb pourrait faire aussi cette preure de la même mani è r e |ar le noiubre 3.
A l'yard de la division , elle devient facile à éprouver, d'ap|ès ce qui a été dit (70). Après avoir ôté du dividende le reste qu'a donné là divi^on , on regardera le résultat comme un produit dont le diviseur et le quc^ient sont les facteurs , et par conséquent on y appliquera la preuve par 9 , de la même manière qu'où vi^nt de le faire.
A parier exactement , cette vérification n'est pas infaillible , parce que dans la multiplication , par exeniple , si l'on s'était trompé de quelques upités sur quelque chiffre du produit, et qu'en même temps on eut fait une erreur égale , mais en sens contrfllire ne ( des ^ ^
comme il faut 9 ainsi qu'on le voit, au moins deux erreurs, et deux erreurs qui se compensent, ou qui ne différent que d'un eertain nombre de fois 9, les cas où cette vérification serait fautive , seront très-rares dans l'usage.
Quelques usages de la règle précédente.
76» lia difisûm sert ppuf^eulement à jtrouver combien de fois «I Mittfastciîiuitttlcttt 11& autre^ maîiatioara k ipaietagar un mm-
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bre en parties égales. Prendre la moitié, le tiers, le cpiart, le cinquième, le vingtième, le trentième, etc., d'un nombre, c'est diviser ce nombre par 2 , 3 , 49^|20, 3o, etc. , ou le partager en 2, 3, 4, 5 , 20, 3o, etc. , parties égales , pour prendre une de ces parties. Entre plusieurs exemples de cet usage de la division, nous choisissons le cas où l'on veut trouver une <|uantité moyenne , entre plusieurs autres. Supposons qu'ayant fait dix épreuves d'un même mortier, on ait eu les dix portées suivantes :
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