PORTÉES
Somme des portées . 120 15
Portée moyenne 1201 7^
Ce qu'on entend par une quantité moyenne , c'est ce que serait chaque quantité, sileur valeur totale restant la même elles étaient toutes égales. Or, il est clair que si elles étaient toutes égales, pour avoir la valeur de chacune, il faudrait partager leur totalité en autant de parties qu'il y a de quantités. Il faut donc ici par^ tager la somme 1 201 5 en dix parties, c'est-à-dire la diviser par 10 : le quotient 1201 -^ est la quantité ou la portée ^àoyenneyj que l'on appelle ainsi parce qu elle tient une espèce de milieu entre toutes les autres.
Dans les calculs ordinaires de la pratique , on rejette la frac^ tion quand elle est au-dessous d'une demi-unité ; et lorsqu'au contraire elle est au-dessus, ou qu'elle vaut cette demi-unité, oa compte une unité de plus.
La division sert encore à convertir les unités d'une certaine pèce en unités d'une espèce supérieure ; par exemple , un certai Bombre de da^ers ea so«s , et ceux-ci tu livres. Pour réduir
5864 deniers en souS , on remarquera que , puisqu'il faut 12 de- Biers pour faire un sou , autant de fois il y aura 1 2 deniers dans 5864 deniers , autant il y aura de sous ; il faut donc difiser par 1 2 , et on trouvera 488 sous et 8 deniers de reste. Pour réduire en liv. les 488 sous , on divisera 488 par 20 ^ puisqu'il faut 20 sous pour faire la livre, et on aura en total 24 livres 8 sous 8 deniers.
A l'occasion de cette division par 20 , remarquons que , quand onL a à diviser par un nombre suivi de zéros , on peut abréger l'opération en séparant sur la droite du dividende autant de chiffres aa'il y a de zéros ; on divise la partie qui reste à gauche par les tiiffres significatifs du diviseur ; s'il y a un reste , on écrit à sa suite les chiffres qu'on a séparés , ce qui donne le reste total. Par exemple , pour diviser 5834 par 20 , je sépare le dernier chiffire 4» et je divise par 2 la partie restante 583 ; j ai pour quotient 291 , et I pour reste : j'écris à côté de ce reste i le chiffre séparé 4 9 ce qui donne 14 pour reste total ; en sorte que le quotient est de 291 j^.
Cette abréviation peut être appliquée à la réduction de la charge d'un navire en tonneaux de poids. Si l'on sait que la charge est de 2584954 ft > pour réduire en tonneaux , c'est-à-dire pour diviser par 2000 , on séparera les trois derniers chiffres de la droite , et prenant la moitié des autres, on aura 1292 tonneaux et 954 jjb* , Quand on veut évaluer en livres et sous le vingtième d'un nombre de livres proposé , il suit de cette règle que l'opération se réduit à compter le dernier chiffre pour des sous, et prendre moitié des autres chiffres que l'on comptera pour des livres. Si, e^n prenant cette moitié, il reste une unité, on la comptera pour uue dizaine de sous qu'on placera à gauche du chiffre qu'on a s^aré d'abord. Par exemple, si l'on veut avoir le vingtième de S^'jtXïv.^ ou séparera le dernier chiffre 2 , que l'on comptera pour 2 sous ; et prenant la moitié de 5467, qui est 2^33 , avec une unité de reste , on écrira 2733 liv. 12 sous : la raison de cette règle est évidente, en faisant attention que 546^2 livres est 54660 livres plus 13 livres; or, le vingtième de 54600 est évidemment 2733 , et celui de ta liv. est 12 sous , puisque le vingtième d'une livre est I sou. S'il y avait des sous et deniers dans la somme proposée , on négligerait les deniers , dont la vingtième partie ne peut ja« mais faire un denier. A l'égard des sous , on les triplerait ; et prenant le cinquième , on le porterait aux deniers. Ainsi le vingtième de 54672 liv. 17 s. 7 d. est 2733 liv. 12 s. 10 d.
S'il s'agissait d'avoir le dixième d'un nombre de livres, on séparerait le dernier chiffre , et l'ayant doublé , on le compterait pour des sous; et on compterait comme des livres tous les cniffres restant sur la gauche. Ainsi le dixième de 67987 livres est 6798 liv. 14 S» La raison pour laquelle on double le dernier çhiSre , est q«ie le dixième 4 une livre est 2 sous.
On a assez souvent besoin de prendi'e les quatre deniers pour
Uirre d'ane somme proposée : cela se réduit à «« prtttdrt d'aborà le vingtième , comme il vient d'être dit, pois prendre le tiers éè ce Tingtième. Ainsi , pour avoir les quatre deniers pour livre de 8762 livres , j'en prends le vingtième , qui est 43B Hvres a sons , dont le tiers 146 livres o sou 8 deniers tonne les quatre deniers pour livre de 876a liv. En effet , les quatre deniers pour livre ne sotft autre cbose que le soixantième , puisque 4 deniers sont contenus 60 foisda«s la livre. Or, le soir" ^^* ^^'^ j^^ -^t»
Des Fractions,
•}7. hels fiirftetious c<(»nsklérées aritlmri^ti^pieiûiieiit ^oftt deS nom<btes pàt le^uêis on etprime les quantités plus petites que IHinité.
78. l^^oar se faire une idée nette des fractkms , tl faut eàticevoir (lixe la quantité q^'oki a prise d'abord poui^ uuité est èUenSnétné composée d'tin certain nombi^e d'unités plus petites ; eomme Vi>tL cofiipolt , par exemple , que la livre est composée de vingt parties ou de vingt umtés plus petites, qu'on appelle âou^.
Une i^ plu^urs de ces parties forment ce qu'on appelle Une Jrntti&n es rimité. On denût aussi ee nom aux fiomfcires qui re^ ptésctiteiit fccs parties.
79. Une fmctiott peut être exprimée en nombre de dett tha* nièrè>$ qui sont chacune en usage.
Là première manière consiste à représenter, covume les ubMbres entiers , les parties de l'univé que contieiat la ciuantlVé cfont il s'agit * mais alors on donne un nom partie ullei* à ees parties : ainsi, pour marquer y pat*ties dont on en conçoit ao dans la fivre , an etkiploièTait le cbilfre7, maison prononcerait sept sens et on énirait7 i. 1 cette manière de marquer les parties de ViêaÂtè a lieu dans lès nombres cewipleaes d^nt nous parlerons par la stâ^.
60. Mais comme il faudrait uu signe partkulier pour ehai^ué division qu'on pourtait faive «k l'unité, ou évife eevie muktj^i^ cité d« lignes en niarquant UTie fraotkm par des nombres ]^àcés Pon au-dessous de l^autre , et sépatés par un trait. Ainsi ^ po4ài> marîqu'eè les 7 patties *ynt il vient 4'être question , on étjrit^^ c^sc'-à^ire qnW général Ott écrit d'abofd le nombife qui mm--^ quie côvabien ta èua»ti«i dont A s^agit cMtient de partie» de t'uv nhé , ^ oh écrit aunlessoustlece nombre ceM ^ui marq^ue com* bien on conçoit de ces parties datas t'unité.
81 . Et pour énoncé** ^ae ft-çtction , on éi^once d*4b^d le ttom* hté sWpérretir (qtii Rappelle le^ nùmémteùf^ j entsuite 4t nc^re inférièilrr (qui sSppelle le déttàminateiêr) ; maison tfj^ouie à% n^dit dé celui-ci la tenâfiinaison ibmè; par exemple , potrr énoncer^, on prononce!^ ïfep* '2;è!rg'ft'ème5^ pWir énoncer f , 41^ prononcera qudtris cinqttihnës; et pftr ^tte "^Y^esikki Quatre Miin^èf¥^, on doit entendre i^aft^ pfttfifés, d(lbt 41 etifàtlchMk ci po^ttr compoéëk- Tunité.
DE nBZOUT. 39
^oos dont le dénomip^teur e^t a» ou 3 , pu 4 1 qui se prononçait moitiés ou dfiwis, tier? f quarts. Âip^i c^ fractions •;, î» f > $e prononceraient un demi, deux tiers , troi^ quarts.
8a . Lq numeratt^c marqœ 4pnc owb^p ki ijuavti té r^pri^n- Vi» par U fcaçtian contint d^ partie dç VufliM ; «t k d^^amîna^
teur fait connaître de quelle valeur sont ces parties, en macqwUNt <^Qo4>ieft il ea fiui^ poiircompo^^ Vwipi, On lui d^^o^e Ifî 9oni de dénominateur, parce que c est lui en effet qui dmne le jj^^in à la, fracttion , ^t qui fait que dans tm à^^ f ractioDg » p^r ef ent^ifle , $,4^1^ partie;» d^ la première ^VppçU^ot ^ cinquienw^f^t l«s parties de la sqçoikU de& septièmes.] .
, 83. Lç numérateujr ?^ \^ 4éi»QiniMji#ur s'^pp^VkiH mm f d'«ii DOm Qommui», Us deu^ termes de lafraçticm,^
Des Entiers considérés sous laftxrm^ de Fractions .
84* Les opérations qu'on fait sur les f raoUon» eovudiii«eiia sou*- Tcnt à das résoltata f raçtioniMiirai» , dwt }^ Auwéraievr eH plus grand»que ic dëaoinîi}baie¥lr,.|^ exemple, à des féiakiits-:tek que -^j ^, etc.
Cm sMtés d'4xpim4il»mM lopt pa^ de^ fra^^tâon» pvafiqreiiient dite» >, iMÎa 4e aonlictyp^i pto c ft «94iara joiula à df s lraoti#M&:
8$« Banc «ktrM«fti(eft;;«ttitiflM,q9li.%!y troifv,eji« reo&riliéa ^ il faut diviser le numaaMMf )p«r îoid^vùnateiir. )Le qudiiwit «ianpftdk-a las «Hiftra^ ât )«iraite4e!)a di^riéqn ser^ le éumtfra-
teur di; la: &aftlÎ9n qpi «tçcfmpaei^.^^ entilrs. Abui V-^d^^ nerontS |, c'est-à-dire cinq entiers et deux cinquièmes.
naitre que l'unité est composée de cinq parties ; donc autant de
U T^Je^r ite to4rtipp $, s
. §gM Lef jJmïWpliiîf^tiftftf ef Jfis 4ivi^n# 4i^^ PPTilJ^r^ Wlti^FS joints aux fractions exigent , 4w W>W P<^V i* fopiUW 5 (m'/Qf
Qp fîrtt^t^fî çpi^içpiWftP fin nwilitipjiant JfïftppaJi^re ept^^^j^:^
déM>mp^^r 4^ te fr-w^iw e^ i^^çg© ^ vegj i;^'4Wr?: fi^ w-
tier : par exemple, ûp^ J^^^^Wff%}tjaç ^ ç^Wffm ^fp^^^P^* <^ HMd^pU^r» a p^r ^,^^m ^f:^ ^,.. Çft.^ , iqrfHR W Téut ^i^verûr^ ^af;iffq94é}nif , fî^:r«ttN^ PfWté; o^m^^ cwpp^^ (de S p9^tie» i \^ 8 Hmt§f.p ^ÇM^ifi^aiP^f ^oftç 4o : ||^fif|l$mflAt 7 I , foçiva^tfs fp.ftç»»^rpp$i, fer^Rt,^^ / ^ ...,
jpe^ çkangemens qu^ôn peut faire subir aux deux termes ^in^ f'raçtiqn ^ç^ns changer sa valeurl
8«. B eal visible tpm plus ôi^ coneavi» de fArtiaa dan^ VfmKy et ploaîl £)udMtdeceapevties pHnvcompoiev ^alt mèmàejptaûté.
4o ' ARITHMETIQUE
88. Donc on peut rendre le dënominatetir d'une fraction , doa^ ble, triple, quadruple, etc. , sans rien changer à la valeur de la (fraction , pourvu qu'en même temps on rende aussi le numérateur double , triple , quadruple , etc.
On peut donc dire en général c^v^une fraction ne change point cfe valeur quand on multiplie ses deux tei*ntes par un même nombre.
Ainsi f est la même choèe que 1» l* 1^ même chose que ^, que î»q^e^, etc.
89. Par un raisonnement semblable , 011 voit que moins on supposera de parties dans l'unité , mo'ms il faudra de ces parties pour former une même quantité : que par conséquent on peut , sans changer une fracûon , rendre son dénominateur/^, 3,4» ^^^m fois plus petit, pourvu qu'en même temps on rende son numérateur 2,3,49 etc, , fois plus petit ; et , ei^ géuçral ,- unejractien ne change point de valeur quand on divise ses deux termes par un même nombre*
Pour voir distinctement la vérité de ces deux proposition^ , il suffit de se rappeler ce que c'est que le dénominateifer, et de qa<: c'est que le numérateur d'une fraction.
Remarquons donc que ia&uUfplIe^r ou <KiFis«rfA}eir iEtou« termes d'une fraction par un même nombre, n'est'poilvt^mukipHer ou diviser la fraction , puisque , eomitté Mms ve»onr4e m dKre > elle ne change point de valeur par ces opérations.
Les deux principes que nous venons de poser sont la base des ^ux réductions suivantes, qui sont d'un très-grand usage.
Réduction des Fractions à un mime dénominMeur.
90. I* Pour réduire deux fractions à un même dénotninateur, multipliez les deux termes de la première, chacun par le déno« ininatenr de la seconde , et les deux termes de la seconde , chacun par le dénominateur de la première.
Par exemple, pour réduire à un même dénominateur les deux fractions |, |, je multiplie 2 et 3, qui sont les' deux termes de la première fraction , chacun par 4 9 dénominateur de la seconde , ^^ j'^^ 'h c[ui (88) eist de même valeur que }.
Je multiplie de même les deux termes 3 ^t 4 de la seconde fraction, chacun par 3, dénominateur de la première, et j'ai -^ qui est de même valeur que | , en sorte que les fractions î et f sont changées en -^ et -^ , qui sont respectivement de même Valeur que celles-^là , et qui ont le même dénominateur entre eUçs.
Il est aiç^'de voir que par cette méthode le dénominateur sera toujouré le même pour chacune des deux nouvelles fractions , ■^puisquie^ dans chaque opération ^ le nouveau dénominateur' est. iortaé i)e U multiplkatiqii «les deps dén9mina>c«ilB prïinùtiif.
DE BEZCHJT. 4i
91. 2*^ Si l'on aplas de deux fractions, t>n les réduira toutes au même dénominatenr, en multipliant les deux termes de cha« cune par le produit résultant de la multiplication des dénominateurs des autres fractions. ^
Par exemple , pour réduire à un même dénominateur les quatre fractions fj f , | , -f-, je multiplierai les deux termes 2 et 3 de la première, par le produit des trois dénominateurs 4) 5, 7, des autres fractions, produit que je trouve en disant : 4 ^ois 5 font ^o, puis 7 fois aq-font i4o ; je multiplie donc 2 et 3 chacun par i4o, et j'ai ~ qui est de la même valeur que ^ (88).
Je multi|>Ûe pareillement les d^x termed 3 et 4 de la seconde fraction, par le produit de 3, 5, 7, produit que je (orme en disant : 3 fois 5 font i5, puis 7 fois. i5 font io5; je multiplie donc 3 et 4 chacun par io5, ce qui me donne jj^ , fraction de même valeur que -f.
Passant à la troisième fraction , je multiplie ses deux termes 4 et 5 chacun par 84^ produit des trois dénominateurs 3, 4 et 7, et j'ai m, au lieu de |.
Enfin, pour la quatrième, je mullipUerai 5 et 7 chacun par le produitéodesdénominateurs, 3, 4) 5^ des trois premières fractions, et j'aurai ^ aii lieu de 7, en sorte que les quatre fractions f , |,
j , |, sont changées en J^ , fH » ttÎ ? II?' ^^^^^ simples, à la vérité , que çelle^-là,- mais de même vileur qu'elles, et plus susceptibles, par leur dénominateur commun, des opérations de l'addition et de la soustraction.
• Remarquons que le dénominateur de chaque nouvelle fraction étant formé du produit de tous les dénominateurs primitifs , ce nouveau dénominateur ne peut manquer d'être le même pour chaque fraction.
Cette règle peut être présentée sous un autre aspect, qui conduit à donner une expression plus simple des fractions réduites à un dénominateur commun , lorsque leurs dénominateurs actuels sont multiples les uns des autres , ou lorsqu'ils ont des diviseurs communs.
On prendra pour dénominateur commun le plus petit nombre
?[ui sbit divisible exactement par chacun des dénominateurs des ractions proposées; et pour avoir le numérateur qui, pour chaque fraction, conviendra à ce nouveau dénominateuir, on multipliera le numérateur actuel de cette fraction par le nombre de fois .que son dénominateur actuelest contenu dans le dénominateur commun.
V&r exemple , si j'avais les fractions î j j > |» |> tï ^ réduire à un m^ne dénominateur, je prendrais pour dénominateur commun 24' V^^ ^^^ '^ P^"^ petit nombre qui soit exaplement divisible par tous ces dénominateurs : et comme 24 contient les dénominateurs 3 ,^ 4V6> 8, 12, autant de fois qu'il est exprimé par
i^ ARITHMÉTIQUE
les nombres svivans 8, 6, 4» ^j ^j j'écris, comme on leToitki, ces nombres chacun sons sa îfraction correspondante.
8 6 4 3 2 {|t multiplii^nt chaque numérateur pv le terme oorrespondaAt d^ U suite inférieure I }'ai
M 14 fî" A "H
|K>urlesfracfionsréduitesauclénomibatetireommninleplus^mpl^*
Héduetion des Fractions à lêut^plus siinple expression.
93. Une fraction est d'autant plus simple, <]ue ses deui^ termes sont de plus petits nombres. Il est souvent possible d'amener une fraction proposée à être exprimée par de moindres nombres, et cela lorsque son numérateur et son dénominateur peuvent être divisés par un même nombre; comme cette opération vC^n change point la valeur (89), c'est une simplification qu'on ne doit point négli^r. .
Vgici le procédé qu'il faudra suivre.
93. On divisera le numérateur et le dénomipateur chacun pat 2 , et on répétera cçtte division tanr qu'elle pourra se faire eiracteipent. ,
On divisera ensuite les deux termes par 3 9 et on continuera de Tiviser l'un et l'autre par 3 , tant que cela pourra se faire.
ai'
premiers.
Ainsi la. seul^ difficulté qu'il y ait est de savoir quand est - ce qu'on pourra diviser par 2i 3, 5, etc.
On DQurra dans cette recherche s'aider des principes suivans.
94* Tout nombre qui ônit par un chitfre pair est divisible par 2 .
Tout nombre dont la somme des chiffres ajoutés ensemble , comme s'ils étaient des unités simples , fer^ 3 ou un multiple de 3, c^est-à-dire un nombre exact de fois 3 ^ sera divisible par 3. Par exemple, 54281 est divisible par 3, parce que ses cniiJPres 5^ Jlf n^ 3f i ^ font i5 , qui est 5 fois 3.
La même chose a lieu pour te nombre 9 , si les chiffres' ajou^^s ensemble font
bre
comme
Tout nombre termine par u^ 5 bu par un zéro, eîst divisible par 5 A Tégard du nombre 7 et des suivans , quoiqu'il soit facile Ae
trouver de pareilles règles , comme l'examen qu'ell^is supposent
est aussi long que la division , il faudra essayer la diyision. * '
DE BBZOUT. 43
Proppsoos-notts , par exemple , de réduire la fraction |f^. Je divise les deux termes par 2, parce que les deux derniers chmrei de chacun sont pairs, et j'ai -]-|||. Je divise encore par 2 et j'ai Y^- Ce qui a été dit ci - dessus m'apprend que je puis diviser par 3 ; je divise en effet, et j'ai jfj; je divise encore jpar 3, ce qui me donne ~^; enfin j'essaie de diviser par 7 ; la division réussit et donne -j^.
La raison pour laquelle nous prescrivons de ne tenter la divi-
par 2 aurait-eiie pu
95. De tous les moyens qu'on peut employer pour réduire un^ fraction à une expression plus simple , le plu$ direct est celui de âivi&er les deux termes par le plus grand diviseur commun qi^^ils puissent avoir : voici la règle pour trouver ce plus grand diviseuf tommun.
Divisiez le plus grand des deux termes par lé plus petit ; s'il xÇj a point de reste , c^est le plus petit terme qui est le plus çrana diviseur commun.
y il y a un reste , divisez le plus petit terme par cerestç , et 9i, la division se fait exactement , c'est ce premier reste qui est lé plus grand diviseur common.
Si cette seconde division donne un reste , divisez le ^rem^er reste par ie secQnct,et continuez toujours de diviser le jpc^te prépé* dent par le dernier reste, jusqu^à ceque vous arriviez à une division exacte. Alors le dernier diviseur que vous aure« employé sera le plu$ grand diviseur des deux termes de la fraction.
Si le dernier diviseur se trouve être l'unité , c*e5t ^n<ç preuve que la fraction île peut être ré<luite.
etpour rçst^ i5o4-
^ ^ ^ ^,^ „. ^ , etpourre^tejS».
Je divise le premier reste ï5o4 par le second reste. ;; §2 ; la division ~" — ■* -" -^ ^ ^ -^^ "- ^--—~~ '■— ^ — ♦—
mes
En effet, on a trouvé que 702 divise looa, èét 3^60 - qu'on a vu êt^e composé de deux lois i5o4 et de 7^2 ç On voit de même quM doit Aiviser 9024 « puii»que 9024 est cçm^ posé 4e âeux fois 0760 et de 1Ô04.
On voit de plus que 762 est le ^^9 grand diviseur commiin que puissent avoir S760 et qo24; tar il ne peut y avoir de diviseur, commiià entre Q024 et 3700, qui ne le soit en même temji^ de 3760 et de i5o4; et entre ces deux- ci, il ne peut y en avoir un qui ne soit en même temps diviseur commun de i5o4 et de 752 ;
mais il e«t ërident qu'entre ces deux-ci il ne peut y avoir de diviseur commun plus grand que 762 ; donc y etc.
Différentes manières dont on peut em^isager une Fraction, et conséquences qu'on peut en tirer.
96. L'ide'e que nous avons donnée jusqu'ici d'une fraction, est que le dénominateur représente de combien de parties l'unité est composée ; et le numérateur , combien il y a de ces parties dans la quantité que la fraction exprime.
On peut encore envisager une fraction sous un autre point de vue : on peut considérer le numérateur comme représentant une certaine quantité qui doit être divisée en autant de parties qu'il y a d'unités dans le dénominateur. Par exemple , dans \ , on peut considérer 4 comme représentant 4 choses quelconques, 41iv., par exemple, qu'il s'agit de partager en cinq parties; car il est évident que c est la même chose de partager 4 ^^^* ^^ cinq parties , pour prendre une de ces parties , ou de partager une livre en cinq parties pour prendre 4 de ces parties.
97. On peut clone considérer le numérateur d'une fraction comme un dividende , et le dénominateur comme im diviseur. On voit par là ce que signifient les restes de division mis sous la forme que nous leur avons donnée (60).
98. Il suit de là : i® qu'un entier peut toujours être mis sous la forme d'une fraction , en faisant de cet entier le numérateur, et lui donnant l'unité pour dénominateur; ainsi 8 ou f sont la même chose ; 5 ou 7 sont la même chose.
99. 2® Que pour convertir une fraction quelconque en décimales , il n'y a qu'à considérer le numérateur comme un reste de division où le dénominateur était diviseur, et opérer par conséquent comme il a été dit (68, exemple ii ) , en observant de mettre d'abord un zéro au quotient pour tenir l'a place des unités ; c'est ainsi qu'on trouvera que | valent en décimales ofi\ que I valent o,555, etc. ; que ^ vaut 0,04, et ainsi de suite.
C'est ainsi qu'on peut réduire en décimales tout nombre complexe proposé. Par exemple , s'il s'agit de réduire 3* 5** 8p 7^ en décimales de la toise , de manière à ne pas négliger une demi-ligne , j'observe que la toise contient 864 lignes , et par conséquent 1728 demi-lignes ; il faut donc , pour ne pas négliger les demi-lignes, porter 1 exactitude au-delà des millièmes , c'est-à-dire jusqu'aux dix-millièmes.
Cela posé , je réduis les 5^ 8p 7I tout en lignes ; et j'ai 8x3 lignes ou m de la toise ; réduisant cette fraction en décimales , comme il vient d'être dit , on a 0,9625 , et par conséquent 3'^ 9625 pour le nombre proposé.
Des opérations de V Arithmétique sur les Fracdons.
1 00. On fait sor les fractions les mêmes opérations que sur les nombres entiers. Les deux premières opérations , Faddition et la soustraction , exigent le plus souvent une opération préparatoire \ les deux autres n en exigent point.
De V Addition des Fractions.
loi. Si les fractions ont le même dénominateur, on ajoutera tous les numérateurs, et on donnera à la somme le dénominateur couimun de ces fractions. Ainsi pour ajouter y , ~, |, j'ajoute les numérateurs 2,3, 5 , et j'ai par conséquent -y-, que je réduis à I f (85).
1 02. Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, on commencera par les y réduire parce qui a été enseigné (90 et 91); après quoi on ajoutera ces nouvelles fractions de la manière qui vient d*être prescrite. Ainsi , si l'on propose d'ajouter |^, ~ , | , je change ces trois fractions en ces trois autres, fi* 9 1|-, {f , dont la somme est ^qui se réduit à 2 1|^ (85).
De la Soustraction des Fractions.
1 o3. Si les deux fractions proposées ont le même dénominateur^ on retranchera le numérateur de Tune du numérateur de l'autre , et on donnera au reste le dénominateur commun de ces deux fractions. S'il est question de retrancher | de f , le reste sera | qui se réduit à \ (93).
1 o4* Si de 9 I on voulait retrancher 4 1 9 comme on ne peut ôter ^ de f , on emprunterait sur 9 une unité , laquelle , réduite en huitièmes et ajoutée à |, ferait -y* » desquels ôtant |, il resterait!; ôtant ensuite 4 de 8 qui restent après l'emprunt, il resterait en tout 4 1 ou 4 f-
I o5. Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, on les y réduira (90 et 91) ; après quoi on fera la soustraction comme il vient d'être dit. Ainsi pour oter | de |, je change ces fractions en •—- et 1^ : et en retranchant 8 de 9 , il me reste •—.
De la Multiplication des Fractions.
106. Pour multiplier une fraction par une fraction y ilfautmul'* tiplier le numérateur de Vune par le numérateur de Vautre, et le dénominateur par le dénominateur. Par exemple , pour multiplier I par f , on multipliera 2 par 4 9 ce qui donnera 8 pour numérateur; multipliant pareillement 3 par 5, ou aura i5 pour dénominateur, et par conséquent j^ pour produit.
Pour saisir la raison de cette règle , il faut se rappeler que multiplier un nombre par un autre , c'est prendre le multiplicande autant de fois quie le multiplicateur contient d'unités. Ainsi multiplier I par I, c'est prendre | de fois la fraction \ , ou plus exaotementy c'est prendre 4 fois le cinquième de| : or, en multipliant
46 ARITHBfÉTIQOE
le diiu>aaiDat«ar 3^par 5, on change le» tiers en qmnzièmes, e* i-dire en parties cinq fois plu^ petites \ et en multipliant le hbuh^ rateur z par 4 9 on prena ces "nouvelles parties quatre foi^ , W
S rend donc quatre lois la cinquième partie de | ; on mu l t ipl ie onc en effet | par |.
ion. Si Ton avait un entier à multipUer par une fraction , ou une fraction à multiplier par un entier, on mettrait l'entier sous la lorme de fraction en lui donnant l'unité pour dénomioateor ; par eaeaiple , si j'ai 9 à multiplier par j- , cela se réduit à miildpUer f par | , ce qui, selon la règle qu'on vient de donner, produit ^ qui se rédûsent à 5 |.
On voit donc que pour multiplier une fraction par un euder, ou un entier par une fraction , l'opération se rédmt à multiplier le numérateur de cette fraction par l'entier.
Xd8. S'il y avait des entiers joints aux fractions, il faudrait, avant dé faire la multiplication, réduire ces entiers, chacun en fraction de même espèce que celle qui l'accompagne. Par exeasè"
On pourrait encore faire cette xnème opération, en mullipUant l'entier et la fraction du multiplicande , par l'entier du uauttiplicateur, puis par la fraction du même multiplicateur , en cette mapière.
Produit de 12 par 9 . . . . 108
de I par 9 . . . . 5 ^ . . ou «^
de 12 par 4 .... 9
de f par I ... . ' -^
Ï22 Il
. Mais cette manière d'opérer est en général moins simple que la première.
Dwisiori des Fretctions.
109. Pour diviser une fraction par une fraction, iljhut reiwer^ ser les deux termes de la fraction qui sert de diviseur, et multipUer Infraction dividende par cette fraction ainsi renversée.
Par exemple, pour diviser \ par \ , je renverse la fraction | , ce qui me donne | ; je multiplie \ pai>f selon la rè^e donnée (10^, et j'ai |i pour le quotient \ divisé par |.
Pour apercevoir la raison de celte règle, il faut observer que diviser j par I , c'esr chercher combien de foie \ contieinieiil |. t)r il t$t facile de vofar que puisque le diviseur est djas tiers , il sera «ontenu dans k diridende trois foîsiiatant q^ s'a Aait des
DB BÈXODT. ^
mniifts ; dpmc il laut dîvisdr 4'ahiord par a , <et iniikîpliar ehsliite
Sar 3 , ce qui n'est autre cboëe que de prendre troi» ms k umiîé u dividende , ou le multiplier par |, qui est la fraction diviseur renversée.
1 1 o. Si Toû avait une fractiDii à diviser par utï «ntîer , o« un entier à diviser par une fraction , on commencerait par mettre relatif soas la forme de fraction, en lui donnant Tunicë pour dénominateur : par exemple) si l'^n a 12 à diviser par f , on réàniisa T^ération à diviser ^ par |; ce qui , «elon la règle m'otk vient de donner^ se réduit à maltÂplier -^ par |, et donne ^^ ou 16 -|. Pareillement, si Ton avait j à diviser par 5, on réduirait IVpémticm à diviser j par {, c'est-à-dire à multiplier | par |, ce qui don^e-^.
m voit dotic que , lorsqu'on a une fraction à diviser par un éniier, l'bpéfàtioh Se réduit à multiplier le dénominateur par cei entier.
lit. S'il y avait des entiers joints aux fractions, on réduirait
'ac-
on
opération
serait réduite à diviser ^^ par ^, c'est-à-dire (109) à multiplier ^^ par ^, ce qui donnerait ^ ou 4 ^.
Quelques applications des Règles précédentes^
1 12. Apfès ce que tious avons dit (96) , ilestaisé de voir comment on peut évaluer une fraction. Qu on demande , par exi^mple^, ce qtie talent les y d'une livre : puisque les y d'une livre sont là même chbsè O96) que le septième de 5 livres, je réduis les 5 livres en sous ($7) , et je divise les 100 sous qu'elles me donnent par 7 , ce qui me donne r4 sous pour quotient , et 2 sous de reste ; je réduis ces 2 soiis en deniers , et je divise 24 deniers par 7 ; j'^i 3 deniers y. Amsi , les f dHine livre sont i4 sous 3 deniers et y de denier.
Si l'on demandait les y de 24 livres, il est visible qu'on pourrait d'abo»} prendre, comme nous venons de le faire, les y d'une livre, et multiplier ensuite par 24 ce qu'aurait -donné cette opération ; . mais il est plus èpmmode de multiplier d'abord y par 24 Uvres. ce qui (107) donn^ ^y— Uvres, et dévaluer ensuite cette dernière fraction , qu'on trouvera valoir 17 liv. 2 s. io deniers y.
On a souvent besoin de savoir ce que produisent les 4 deniers ou les 6 deniers pour livre d*uhes6nime proposée.*
Pour les 4 deniers , on séparera le dernier chiffre du nombre des bvre^ de la sonuagieip^o^ej et,on,Rjçfa^^ Içjsyiwème dcp affres , qoe l'oii compt^fi, f^^i ^ ftv^es, p;a jp^f .le k^ , ^*'û y^e^n a, ^uchifeç^séparé^; w^c» p^;^^^ fe J^^ ,ftui i^o^ij gra Us^SQf^^t
Si dans la somme proposée il entre des sous , on en preaidra le cincpième que l'on comptera pour des deniers.
EXEMPLE I
Oa demande les 4 deniers pour livre de la somme de 3433^ i3^ o^
Le sixième de 343 est 67 o o
Il reste i qui, joint, comme dizaine, au chiffre séparé 3, donne i3, dont le tiers est o 4 4
Enfin le cinquième de 10 sous, considéré conm\e denier 9 est o o 2
Total ~57^ 4^ 6^
La raison de cette opération est fondée sur ce que les 4 deniers pour lirre sont les ^jô ou le -^ de la livre. Il faut donc diviser par 00, ce qui se réduit à ce que nous prescrivons : quant au reste, il faudrait le réduire en sous , en multipliant par 20 , puis diviser par 60 , ce qui revient à prendre le tiers. On voit de même que pour le soixantième des sous de la somme proposée , il faudrait réduire ces sous en deniers , en les multipliant par 1 2 , puis diviser
{>ar 60 , ce qui revient à multiplier par -^ ou |, ou bien à prendre e } ; et s'il y avait des deniers dans 1^ somme proposée , on les négligerait, parce que le soixantième de ces deniers ne donnerait pas un denier.
Pour prendre les six deniers pour livre, on voit, en raisonnant de même, qu'il faut séparer le dernier chiffre des livres, prendre le quart des autres, que l'on comptera pour des livres; puis, joignant le reste au chiffre^ séparé , prendre la moitié , qui donnera les sous et deniers.
S'il y a des sous daus la somme proposée , on en prendra les -3^, que l'on comptera pour les deniers.
Qnai^t aux deniers de la somme proposée, on les rejettera.
EXEMPLE II
On demande les 6 deniers pour livre de la somme de 1387^ i3^ 4\ ■?
Le quart de i38 est 34 o o
n reste 2, qui , mis à côté du chiffre séparé 7, font 27 , dont la moitié est o i3 6
Les -^ de i3 sous, considérés comme deniers, sont o o 3-jV
Total 34* i3^ 10^
II 3. Les fractions décirhales n^ayaùt point de dénominateur sont encore plus faciles à évaluer. SiVoù demande, par exemple , combien valent o,532 de toise, comme latotse est de 6 pieds, je multiplierai o,532 par 6, ce qui me donnera 3,192 pieda, c'est^
DEVÈÉÙOT. 49
ï-âige. 3P «tO|i9a im fM ; midti|^Bt cette demière fradien ter la pour ëvahier eo poncet, on aturm 2,304 poucet, c'oitoà^i^ 2P et o,3o4.4e ponce. Eofio, mnltipUant ceUe--ci p«p la pour réduire en ligae^, m aura 3,64^ lignes, ou 3^ et 0,648 de ligne, c'est-^à^dire que la valeur de la uractioa o,S3a de taise, sera 3P aP 3^ ei 0,648 de ligne.
Biéciprofueiiient, pour coufertit les wn»»e^èoea d'an nombre complexe proposé , en parties décimales de Funité principale ; il
fai^y i amimanoer pair les iMÛles de la plus basse espîce,
Ainsi, dans l'exemple précédent, si je t o^ 3^ aP 3^648 i des parues décimales de U toise, je dirâeriûs 3',648 par .151 , oe qui me donncflut op,3o4 ; j'aurais donc qI* 3^ aP,3o4 ; divisant maintenant 2P,3o4 par 12, j'aurais o^^iga, et en total, o*^ 3^,192 : enfin, divisant celui-ci par 6, j'aurais o',532.
II 4* L'évaluation des fractions nous conduit naturellement à
J^arlet de$ fractions àt fractions. Oo appelle ainsi une suite de ractions séparées les unes des autres par l'article de. Par exemple i\àg\i\de\de\y etc. , sont des f ractiops de fractions. On les réduit i une seule fraction , eoj multipliant tous les numérateurs entre eux , et tous les dénomipateurs entre eux : en sorte que la fraction | <le ^ se réduit à ^n* 9^ }» 1^ fraction \ de \ de I se réduit à -fl ou ^. .
En effet , il est fsicile de voir que prendre les f ^ | n'est autre chose que multiplier | par |, puisque^ c'est prendre ~ de fois la fraction \* PareiUement , prendre les y des \de^ revient à prendre les -^ de I , puisque \ de J reviennent à -^; et ce qu'on vient de dire fait connaître aue les -^^ ^ | reviennent k,^ ou -r^*
Si/ l'on demandait les ^ ^ 5 |, on convertirait l entier 5 ^n fauitiètties, et la tniesiion serait réduite à évaluer la fraction de fraction \ de-^qa on trouverait êtire -^ ou 4 iV*
Au reste, il n'est pas toujours néeessam de rmoener «ne frac* tion ik fraction à être exprînée par une seule fraction. On évalne quelquefois plus aisément la fraction de fraetien en la laissant Toorsa "forme actuelle, qu'en la réduisant. En voici un •xeniple.« . . .,
Dans les piècon de campagne, la saillie de l'embase sur le renfort savant , et joignant le tourillon , est de -^ , plus \ de-^dn dia-
;tre du boiidet ; si je veux savoir la valeur totale de cette saiHie
ar une pièce de 12, où le diamètre du bouIe« est de ^''^ 4' 9^^ »
»père comme il suit:
Le ^ du diamètre du boulet. op^ i\ ^t^l
\ La moitié du -ry ou | du -{^ o 2-2 -|-
Ponc la saillie est de* ••••••<•• • o 6 6 | .
ç^ AiuxiÊMiÉiqaE
pie qtti^ehferme pliisie^vs cIb» vè^S4|iie néu» avtM établfa».
Sappo9aos qu'on tcm «onsliraire «n tÀîsmaii 4e i^0 fâed» f As longueur ; qoe^lM ctistancM entré, Iti fnbfftéÊ\^m^ y iompreâkoA Vt9fac9 entivle pvemitv tàbt^ét là ndtilbre «e VétrieHfj et IV»* pace entre le dernier àabord et la rablon Aé 'Vétkaàbùi j ÉmS§M »o8 1 pîoib t os^foiandtf 9bVmk p«n»tp«MttK lé'^triioii^ à ki'pleinière Jbà«leri(e ^ cbaifi* i)Md. *
ai il^poMλ kti saborét i )• A9iie<ir 4 tm iif^ e'dliHlMnire ^]^ ^ (86 «t iio>| jW. pii» q é ù ul mt ffl ^, ]^>^ > WiHtrtèilt : '^^^ ot <À^k- Araetite qui ^ e>aluée M*pdiS|ce9^1i|^jlek ^ tant 7 '
1 1 Mgites (r aintitt fabdimit dami^r^ «kaqvf saboM 2 pte^lb ^ ^
1 1 l^n«i , c'est'à-^dire^a pi»4s^8 pmieed éipett pfê^ , ce ^tPeâ^ ttàt vmvxi^ conipieiiable poior jin v^^s«M ât 140'f ^iëès.
lis. Ldtsqit'ane fr^cti6ri, exprimée pài* des noftibreÀ Un peu
ôbcd
^.„,, par ^^ ^ ,
ment des JPractiohs tilms grande^ e^ pdus Rentes ^vié la proposée, mtti» 'tt^ujotits ^ plus en tlltts approchées /ëh sorte iiu% la dernîèire"6pétâtibn *, on tètbttlbfe sifr h flrkctioti proposée. PteûàHB pour exempfe la frattittn f^f|f , qui , totaihè bn té Vërfra en (xë6mé trie ^ exprime le rapport trcs-àpproché du diamètre à là cfrcénférence, et proposons-nous d'exprimer cette fràttion ]pâlr Vautres ftactîoh», mb&ig exaète^^â la réril^, mài^ exprimée^ bar des ièmbres plui ttmpfcé; ' ^ = * ^
Divisez le numérateur ei^le dénominateur ^gâV I^.jnuiùàçateûri vous aure z i . fouy avpir W prçmièrç v,alçp£î^Itt:9ç^
»^BgeB la* Éraotim qui acoompiieats^â^.^ ni(eii# «ures (f ]^atf première valeur approchée , nais jm peu .trop IçH^. A^
Pdun^FMT lUM vaLemrifMa appcMbécî, difriteztllv ummértOknc et le denominalenr de k £rM|tiMi4pir aQcottpagnrjSr, <iiae*a par kiuiiMKaÉfiatf deo«tt6.fitfic^]i)«Év^a»^^ . i. «i^uéf^^
. / .1*1 ,,,.., .,; ' u • > U '* .'>j illlJ; '»■-•.
kfi«ctiéttqftiawïonïp«gtie5y€ttow*itt^^ ^m^^S^TTrï^
(i?9) 3n^P?«M^ seconde Valeur, qui est plue approcfeè'è qiwTa iiré mière ^ mais un peu trop faible.' *" ^
Pour avoir une valeur encore plus approchéèV divisez le numérateur et le dénominateur de la fr«ietiOjU'qtkl'iKttdttipi^ 7,
chacun par le numérateur de cette fraction; vous aurez î ' ; «upj^rimeakÉractbnqm accompagne i5, £t vous
^UÎ i^iev^t â( iff , YaJeur plus approchée ^ ma^s
7 i5 un peu. trop forte.
Pou r avoir une valeur plus ^approchée , divisez les deux terme^d^; k fraction ipÉi accoméi^^e i5, chacun par le néMé^Wr 8«4, (tt vbns aurez r .; nég%eantia fraction ^ , vous
* ■ f I ill <l I ti
aurc: I pour valeur plus approchée yff , m^aîs qui est un peu trop
faiU^je.<UfOitàp^ë«dtit«ointn€^t on pMit continuer.
• Des Jifombre^ cmt9i»l0A':es. ...
I tb. Quoi<|ue les règles que nous avouA* exposées jusqu'ici Bl^-^sç^t seryir <^i|»ii à cfOçi^er les ijjsmbrçs cowpleji^s , joous cro«yons cependanj^ d/ÇY<^f considérer ceuxrci d'une manière pUw particulière , parce^que la division qu'on y fait de î^tinité princî- JiaJe en facilite souvent le calcul.
n/y à fèûàtfim %0ttsoé 4é tki^^ et lis thâés
poiw 1^ ^MÇ"^ tiftwpi^lit bo^v€<M)p > la divisV^n qu'on a fixité
. ae 1 unité : cependant il n*est pas nécessaire d'examinet toutes ces espèces , pour être en état de le? calculer ; mais il importe de
» savoir quels rapports leurs dififérentéé parties ont tant entre elles qu à l'égard de 1 uni^ principale ; c'est par cette raison que nous donnons ici tineiwk des nombres complexé)^ dktot l'usage est le }flns Ipéquent. . ^ .
Table des unités de quelques espèces , et caractères par
lesquels &n représente ces différentes unités-.
1 POUR LBS MONNAIU.
* 8!|^fie^' ï î r . TiVl*e. I l' K^ vaut. , . so sous.^
• • » l ^ * k » soui^ I I sou vaut. • » la den»
ir,,ji
