Tome

même chose que 8; Jt y 64 est la même chosoqtie^; y/'aa vaut a; Vax annonce la racine quarrée de ax; ety^ax' la racine cubique de 4ax*; de manière que M a vaiit 3 etx, 11; Vax sera la même chose que V-^6 ou 6, cty^ax^ sera y \-ji.% ou 11. Lorsqu'il n'est pas possible d'extraire ces racines, on les appelle quantités sourdes , telle est Va x ; ou nombres sourds ; tel est V 1 1.

II y a quelques auteurs qui , pour désigner un quarré , emploient le caractère y; pour un cube c; pour un quarré - quarré qq; pour le quarré-cube c^. Ainsi, pour exprimer le quarréde^, ils ccriraient^j; pour son cube j4 c ; pour sa quatrième puissance -Â^qi et pour exprimer la racine cubique de ai* — x' y ils écriraient y ab' — x*. On a encore employé d'autres symboles , mais que Tusage a déjà presque abandonnés.

La marque =: signiBe , que les quantités qu'elle sépare sont égales. Ainsi x=b désigne que x est égal à b. La marque :: signifie, que les quantités de part et d'autre sont proportionnelles. Ainsi a; b \'. e; d signifie que n est à ^ comme c eslk d. 'Lt a ; b ', i : ; c ; d • f signifie que a, b ex e sont entre eux respectivement comme c^ d et/, ou que tes quantités u, ^,e, etc, </,/ sont enfte elles dans les mêmes rapports.

Il n'est pas difficile de connaître par analogie , la valeur de quelques autres signes qui se composent de ceux qu'on vient de voir. Ainsi \a}bb marque qu'il faut prendre les trois quarts de a}bb: et 3 -^t qu'il faut prendre trois fois — ; et 7 Vax, qu'il faut prendre sept fois la racine de ax; enfin 4- at, annonce qu'il faut multiplier-^

par x; et J^^^ . {^ marque la multiplication de {' par — ?-^i— , c'està-dire , par le quotient provenant de la division de 5 e^ par 4 ^ + 9 ^9 et "It" 1/7x9 qw^J ftut multiplier \/7x par -^; et UÙUL n'est autre chose que le quotient provenant de la division de 7 Vole

par c; et -== est le quotient provenant de la division de

8 tf V^c AT par la somme des quantités 2 a + \/71c. De même .?^**— **,

est le quotient, provenant de la division de la différence '^axx x^

par. la somme a-^x; et y^HE^K est la racine de ce même

quotient. Et la+jc ^iiiizifî est la racine de ce même quotient

multipliée par %a + ^c. De même encore V^ «*+ ** marque, qu'il ÙLut prendre la racine de la somme des quantités ^ a^ et ^^; et

|/^jL ^ I |/i. ^1 I ^» désigne la racine de la somme des quantités

^a et |/ÎV+^; - ^.l!^, - X l/^^^^/r^r^ est la même

racine multipliée par le quotient provenant de la division de 2 a' par la différence a* — -[*; et ainsi du reste.

Remarquez que dans des quantités complexes de cette espèce, il n'est pas nécessaire de s'arrêter toujours à la valeur particulière de chaque lettre ; il suffit de savoir en général , par exemple , que

V^^a + y^ la^+l^ ^^ ^ ^^^ ^^ ^ somme |« et |/|P+1!»,

quelle que puisse être la valeur de cette !K>mme , lorsqu'on substituera des nombres ou des lignes à la place des lettres. De même dans cet

exemple-ci , ^ ','* + Vi'^^+l>* ^ ^ voit qu'il feut prendre le

quotient provenant de la division de la quantité y^ a + ^i, a^ + b^

par la quantité a — Va b , comme si ces quantités étaient simples et connues. Dans le cas oîi quelques-unes des quantités ou même toutes seraient inconnues, il ne faut pas s'en embarrasser, il ne fout voir dans l'exemple cité qu'un quotient , quelle qu'en soit la valeur. J'ai cm devoir donner cet avertissement aux commençans , de peur qu'effrayés par la multiplicité des termes d'une quantité , ils ne s'ar* rêtassent dès l'entrée de la carrière.

De V Addition.

Lorsque les nombres ne sont pas trop compliqués , l'additioit est une opération qui n'a pas besoin de règles. En effet , quelle règle faut-il pour voir que 7 et 9 ou 7 -f 9 ^^^ 16? ou que 1 1 + i ç font 26? Mais lorsque les nombres à ajouter sont plus composés, il faut les écrire les uns au-dessous des autres, et faire la somme de chacune des colonnes en particulier. Par exemple, s'il faut faire la somme des nombres 1357 et 171, il faut écrire 171 au-dessus oti au-dessous de 1357, de manière que les unités 1 de 171 se trouvent dans la même colonne que les unités 7 de 1357; ses dixaines 7 dans la même colonne que les dixaines 5 ; ses centaines, i dans la même colonne que les centaines 3. Je place ici l'arrangement figuré des deux nombres.

Alors commençant par la droite, je dirai 7 et 1 1357 font 9, et je l'écris au-dessous. Ensuite 5 et 7 font 171

II. J'écris au-dessous de cette seconde colonne le 1519 .dernier nombre 2, et je garde le premier qui est i pour l'ajouter avec les nombres 3 et x dç la colonne suivante. Je

•■.-. ...^Ji

dis ensuite, i et 3 font 4 et i font 5; et j'écris 5 au-dessous de cette troisième colonne ; il ne reste plus que i qui est la première figure du nombre supérieur. Je l'écris encore au - dessous , et la somme des deux nombres 1357 et 171 est 1519.

Ainsi, pour faire la somme des nombres 87899 + 13403 + 88ç -4- 1910, écrivez tous ces nombres les uns au-dessous des autres, de manière que leurs imités se trouvent toutes dans la même colonne , les dixaines dans une autre, les centaines dans la troisième, les mille dans la quatrième , et ainsi du 87899 reste* ^^34^3

Dites ensuite : 9 + 3 font 12 , et 12 + ç 885

font 17. Écrivez 7 au- dessous,, et ajoutez i aux 19 10

nombres de la colonne suivante, en disant : 1 + 9 104 107 font 10, et 10-^8 font 18, et 18 + 2 font 20; écrivez o au-dessous , et dites comme toute-à-l'heure : 2 + 8 font 10, et 10 + 4 font 14, et 14 + 8 font 22, et 22+9 font 31. Ainsi en gardant 3 , écrivez i au - dessous , et dites comme précédemment : 3 + 7 font 10, et 10+ 3 font 13, et 13 + 1 font 14; écrivez 4 au-dessous de la colonne, et gardez i pour l'ajouter à la colonne suivante , en disant encore : i + 8 font 9 , et 9 H- i font i6. Écrivez 10, et vous aurez pour somme de tous les nombres qu'il feUoit ajouter 104 107*

Uaddition des nombres décimaux se fait comme 630,953 celle des nombres entiers, comme on peut le voir 51,0807 dans l'exemple ci-à-côté. 3^5537

L'addition des quantités algébriques se fait en 987,4037 liant par des signes convenables les quantités qui doivent être ajoutées , et de plus , en réunissant celles qui doivent

être réunies. Ainsi aetb font tf + ^^et^et — t font a — b. y a et ^ a

font y a + ga; — a Va c et i Va c font — a Va c -{- t Va c 9

ou bien i Va c — a Va c ; car Tordre dans lequel sont écrites les quantités est fort indifférent.

Lorsqu'il s'agit d'additionner des quantités algébriques posidves

et exprimées par la 'même lettre , il suffit d'écrire ime seule fois

cette lettre 9 en lui donnant pour coefficient la somme des coëffi-

ciens de chacune des parties qu'il faut additionner. Ainsi 9^ + 711

font 16 a; et 11 bc+ i^ bc font 16 b c. De même 3 -^ 4- ç -i-

font 8 -7- et 1 VTc + 7 Va7 font 9 V^. Et 6 Vab~x^ +

jVab — x* font 13 i/tf b — x^. De même encore 6 V^3 + 7 V^ font 13 1^3. Et tf V^tf *+A^tfT font (a + A) v/tf ^,enajoutanttfet h y comme s'ils étaient des nombres multiplicateurs de V^^ C'est ainsi

que 2 tf -+• 3 ^ l/TïZHZI + 3 tf ^ jLfLïlziïL font 5^+34: l/" viflniL par la raison que xa^-^c -{- ^a font fa + jc^

On réunit les fractions positives qui ont le même dénominateur ^ en additionnant leurs iiumérateiurs. Ainsi 7 + f font f • Et ^Y +

JULIL. font 44^-. Et -111^ + '^'*^TI font '^ : "^JL

et — - + -— • font — "P — •

L'addition des quantités négatives n'est pas différente de celle des

quantités positives. Ainsi — i et — 3 font — 5 . Et j — et —

JllJL font — J2JJL* - a V7^-^ -hy^ font ^«-^ /^.

Mais lorsqu'on doit ajouter une quantité négative avec une positive , il faut diminner la positive de toute la valeur de la négative. Ainsi

3 et — 2 font I. ^^—^- et ^-^^ font -^^^ • — a y/Tc et

b\/ac font b — a Va c. Et remarquez que lorsque la quantité néga- :dve l'emporte sur la positive , le résultat de l'opération est négatif. Ainsi

1 et — 3 font - I. - ^^^i^ « .1^ font — 2JJL. et

xy/a c et — T Vac font — "i Vac.

Lorsqu'il s'agit d'additionner un plus grand nombre de quantités , ou des quantités plus composées, il est nécessaire de suivre une marche réglée, comme on a fait plus haut pour l'addition des nombres. Ainsi ly ax — 14^ + 3 et 4a + i — Sax et y a — ^ax étant des quantités qu'il faut ajouter , je les écris les unes au-dessous des

autres, de manière que les termes qui ont le plus d'affinité entre eux , se trouvent dans les mêmes colonnes.

Par exemple , les nombres 3 et i dans une colonne ; les lettres 14 a ^ 4a et ij ax — 24^4-3 '/a dans une autre colonne; enfin les — Sax+ 4^4-1 lettres ij ax^ ^ax et %ax dans ime — 9 12 at -f- 7 a troisième , comme on peut le voir par o — 3^+5

l'exemple placé ici à côté. Ensuite j'additionne chaque colonne en particulier,

en disant 1 et 3 font 5 , que j'écris au - dessous. Ensuite 7 ^ + 4 tf font II a et — 14a font — 3^, que j'écris encore. Enfin — i)ax et — % ax font — 17 a x et + ij ax font o, ainsi la somme est