ARITHMÉTIQUES
X^ E S calculs se font, ou par le moyen des nombres , comme dans TArithmétique vulgaire , ou avec des lettres comme dans l'analyse. Ces deux procédé^ sont fondés sur les mêmes principes , et conduisent au même résultat ; TArithmétique , d'unç manière définie et particulière ; l'Algèbre j d'une manière indéfinie et universelle. Mais dans cette dernière méthode, presque tou^ les énoncés , et sur-tout les conclusions, sont de véritables théorèmes»
L'Arithmétique ne marche jamais quç du connu à l'inconnu; l'Algèbre ^ au contraire, marche souvent de l'inconnu au connu, de sortç que, de quelque manière qu'elle arrive à une conclusion ou équation , elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. C'est par ce moyen qu'on résout des Problêmes très-difficiles, dont on eut vainement cherché la solution par l'Arithmétique seule. Tome I. A
tu
Cependant 1* Arithmétique est tellement indispensable dans toutes les opérations de T Algèbre ^ que leur réunion seule forme la science complette du calcul.
Cest pour cette raison que je traiterai de toutes les deux en même temps. Lorsqu'on veut se livrer à Tétude de cette science , il faut d'abord se familiariser avec les termes et les signes qu'elle emploie , apprendre les opérations fondamentales , telles que l'Addition , la Soustraction y la Multiplication , la Division , l'Extraction des racines , la Réduction des fractions , et des Quantités radicales , la Méthode d'ordonner les termes des équations , d'en éliminer les inconnues , lorsqu'il y en a plusieurs ; ensuite s'exercer à la pratique de toutes ces opérations ^ en mettant des Problêmes en équation; et enfin , étudier la nature et la résolution des équations.
Notation; signification de quelques termes; emploi des
signes.
On entend par nombre , moins une collection de plusieurs unités ^ ^u'un rapport abstrait d'une quantité quelconque à une autre de même espèce , qu'on regarde comme l'unité. Le nombre est de trois espèces , V entier^ le fractionnaire et le sourd. U entier est mesuré par l'unité; le fractionnaire par un sous-multiple de l'unité; le sourd est incommen^ surable avec l'unité.
Les signes des nombres entiers sont : o, 1,1,3,4, 5,^,7,8,9, Tout le monde connaît ces caractères ; tout le monde sait la manière dont on les combine pour exprimer tous les nombres entiers possibles : mais de même qu'un nombre, à la première place à gauche de l'unité, désigne des.dixaines d'imités , à la seconde , des centaines , à la troisième , des mille , etc. de même un nombre , à la première place à droite de
NOTATION. j
f unité , désigne des dixièmes de cette unité ; à la seconde place , des
»ntièmes; à la troisième, des millièmes, etc. Nous appelons ce*
lemiers nombres des fractions décimales , parce qu'elles décroissent en
' raison décuple ; et pour distinguer les entiers des décimales , on les
sépare par une virgule, ou par un point, ou par une petite ligne.
I Ainsi 731,^69 ou 732 . ^69, ou bien 731 | 569 ne sont que trois
manières différentes d'exprimer le même nombre , qui est sept cents
Èrente-deiix unités , cinq dixièmes, six centièmes, neuf millièmes. Ainsi
s nombre 57104,2083 désigne cinquante-sept mille cent quatre imités,
Itfeux dixièmes, huit millièmes , et trois dix-millièmes parties de Tunité.
: nombre 0,064 désigne six centièmes et quatre millièmes.
Nous parlerons ailleurs des nombres sourds et des autres fractions.
Lorsqu'on veut traiter les quantités, soit connues, soit inconnues,
'comme des indéterminées, il n'est pas possible de les exprimer par des
nombres, et on les désigne par des lettres de l'alphabet. On emploie
premières, (i, ^, c, Jy etc. pour les connues, et les dernières,
;,>-,*, etc. pour les inconnues. Il y a quelques auteurs qui expriment
■les connues par les consonnes, et les inconnues par les voyelles.
On appelle quantités positives celles qui sont plus grandes que iéro ,
et négatives , celles qui sont moindres que zéro. Ainsi , dans la vie civile ,
on pourrait dire qu'un bien est une quantité positive , et une dette une
quantité négative. C'est ainsi encore, que le mouvement d'im corps en
avant , pourrait s'appeler positif, et le mouvenient en arrière , négatif i
parce que l'un augmente le chemin que le corps a fait , et que l'autre le
diminue. De même encore, dans la Géométrie, si on appelle positives
.les lignes qui iront dans un sens, les négatives seront celles qui iront
ins le sens directement oppose.
■ exemple, (Pi. 1, Fig. i) si AB est menée vers la droite et BC
NOTATION, vers la gauche , et que A B soit prise pour une ligne positive ,BCsi négative, parce qu'elle tend à diminuer AB qui se trouve rédiiiteJ j4 C, ou même à zéro, si le point C tombe sur le point A, oii à i valeur moindre que zéro, si 5 C était plus grande que ^^J? dont il Ëiia la soustraire. On a coutume de liiirc précéder les quantités négatiw du signe — ,etles positives du signe +. Les signes =+: et ± sont arbï traites, mais le premier est toujours le contraire du second.
Dans l'assemblage de plusieurs quantités, le signe + devant l'u d'elles , marque qu'il faut l'ajouter , et le signe — , qu'il faut la sou traire. De ces deujc signes , le premier s'exprime par ptiis , et le secosM par moins. Ainsi 2 + 3 ou i plus 3 , marquent également qu'il ( ajouter 3 à 2 , ce qui fait ^ ; et 5 — 3 ou 5 moins 3 , qu'il fko] retrancher 3 de 5 , ce qui donne 1; et — 5 + 3 est la différence qi^ provient en soustrayant 5 de 3 , et qui est égale à — 1 ; et 6 — i +■ | vaut 8 ; enfin a + è est la somme des quantités d et i ; et a — 6 t la différence qui provient en soustrayant * de a; et a — b + c est 1 somme de cette différence et de la quantité c Par exemple ^ si a vai| 5,i, 2, et c, 8, alors a + è vaut 7,0 — t vaut 3 , et a — * -H' J| vaut 1 1 ; enfin % a -}- ^a vaut 5*1, et 3e — %a — i+ 3* vaul 1 i 4- j ; car 3 ^ — t vaut ïh, et — ia + ^ a vaut a, donc 1 somme égale 2 i + a , et ainsi du reste. Ces caractères + et — s'a| pcllcni signes. Lorsqu'une quantité n'est précédée d'aucun signe, i est censée précédée du signe +■.
La multiplication proprement dite, ne peut se faire qu'avec des nombres entiers. C'est une opération par laquelle on cherche uafl nouvelle quantité qui contienne le multiplicande, autant de fois < le multiplicateur lui-même contient l'unité. Mais, faute d'une expresS sion plus juste, on est aussi convenu d'appeler multiplication,
NOTATION. .y
opération somblable qui se fait avec les nombres incommensurables ou tractionnaires , et par laquelle on cherche une nouvelle quantitt , qui soit au multiplicande, dans le même rapport quelconque qui existe eijtrc le multiplicateur et l'unité. La multiplication ne se fait pas seulement avec des nombres abstraits , mais aussi avec des quantité concrètes , telles que des lignes, d£S superficies, des mouvemens, d::s poids, etc. En effet, toutes ces quantités ont avec une quantité connue de leur espèce, prise pour unité, des rapports qu'on peut exprimer par des nombres. Par exemple , qu'il s'agisse de multiplier A par ui:c ligne de douze pieds , en prenant pour unité la ligne de deux pieds , le produit sera 6A ; c'est-à-dire, le même qu'on obtiendrait en multipliant A par le nombre abstrait 6. Effectivement 6 A est k A dans le même rapport que la ligne de ii pieds est à la ligne de X pieds , qui est prise pour unité. Ainsi , lorsqu'il faut multiplier l'une par l'autre, deux lignes, telles que A C et AD (PI. I, Fig. 3), on prendra A B pour unité; .on unira les points S et C par la droite B C; on mènera D E parallèle k BC, et AE sera le produit de cette multiplication , parce que A E est à AD dans le même rapport que .^ C est à l'unité A B. De plus , l'usage a voulu que la génération d'une surface par le mouvement à angle droit, d'une ligne le long d'une autre, s'appelât piidàpUcation de as lignes; car quoiqu'une ligne multipliée comme on voudra , ne puisse jamais produire une surface , et qu'ainsi cette génération de la surface par les lignes, soit fort différente d'une multiplication, voici cependant en quoi elles se ressemblent : c'est que si on multiplie le nombre d'unités linéaires contenues dans une des lignes, par le nombre d'unités linéaires contenues dans l'autre ligne, le produit sera un nombre abstrait qiû contiendra autant de fuis l'unité abstraite, que la surface engendrée par les deux lignes ,
contiendra de fois Tunité <ie surface, pourvu qu'on entende par unité de surface , ce qu'on a coutume d'entendre ; un quarré dont chaque côté est égal à l'unité linéaire. Par exemple, si la droite AB a quatre unités et AC trois, le rectangle AD contiendra quatre fois trois ou douze unités quarrées, comme on peut le voir en jetant les yeux sur la seconde Figure de la première planche. On suit la même analogie pour les solides , que l'on-regarde comme les produits de la surface par la ligne. Réciproquement, les termes continu, rectangle, quarré, cuit, dinumion , et autres qui appartiennent proprement à la Géométrie , sont fréquemment employés dans l'Arithmétique ; car on n'entend pas toujours par quarré ou rectangle ou quantité de deux dimensions, une surface , mais très - souvent une quantité qui est le produit de deux autres , ou une ligne qui est le produit de deux autres lignes. Nous entendons de même par cuèe ou paraUiUpipidc ou quanùté de trois dimensions y le produit de deux multiplications successives.
Un nombre placé immédiatement devant une lettre , marque combien de fois il &m ajouter cette lettre à elle-même. Ainsi z a marque deux a; 3^, trois b; i<^ x, quinze x.
Deux ou un plus grand nombre de lettres de suite , sans interposition de signe, caractérisent im produit résultant de la multiplication de toutes ces lettres entre elles. Ainsi ab désigne le produit de a par A> et abx, celui de a par b et par x. Par exemple, si a est 1; ^, 3; et A-, 5 i ab sera 6, et abx, 30.
Quelquefois on place entre les quantités le signe x , ce qui marque que les quantités qui sont d'un côté de ce signe, doivent être multipliées par celles qui sont de l'autre. Ainsi 3X5 ou 3 multipliant 5 signifient la même chose, et sont tous deux égaux à 15. Mais le principal usage de ce dernier signe , a lieu pour indiquer to
tnuliipUcation entre des quantités complexes. Ainsi, qu'il s'agisse de multiplier y — xb par j' + i,on tire sur les termes de chaque fecteiir ime pente ligne, et on écrit ^— i^Xj-H-A, ou bien y — li multipliant j- + i.
La Division proprement dite, n'a lieu que pour les nombres entiers. C'est une opération , par laquelle on cherche ime nouvelle quantité plus petite que le dividende, autant de fois que l'unité est elle-même plus petite que le diviseur. Maïs, par analogie, on a coutume aussi d'appeler division, toute opération par laquelle on cherche une nouvelle quantité qui soit au dividende dans un rapport tjuelconque, pourvu qu'il soit le même que celui de l'unité au diviseur, ce diviseur pouvant être un nombre fractionnaire, ou sourd, ou une quantité d'une espèce quelconque. Ainsi (/*/. I, Fi^. 3 ) s'il s'agit de diviser la ligne ÂE par la ligne AC^ AB étant prise pour imité, il faut mener £Z) parallèlement à CB ^ et AD sera le quotient. Si on a un rectangle d'une surface connue, et qu'on veuille lui donner pour base une ligne arbitraire , on trouvera , par une opérarion semblable, la hauteur qu'il faudrait hii donner, et cette opération s'appelle encore mie division.
Si une quantité est placée au-dessous d'une autre, et séparée d'elle par une petite ligne, l'assemblage de ces deux quantités désigne un quotient, ou le résultat de la division de la quantité supérieiu'e par l'inférieure. Ainsi f marque le quotient de 6 par 1 qui est 3, et Jmarque le résultat de la division de 5 par 8 , c'est-à-dire , la huitième partie de 5i-f est le résultat de la division de '<i par ^, Par exemple si a vaut 15, et f, 3, -^ vaudra j. De même \T „ désigne la quantité qui provient de la division de ah — *^ par a+x, et ainsi du
i NOTATION.
reste. Les quantités de cette espèce s'appellent fracticnsy le nombre
supérieur s'appelle numérateur, et rinfêrîeiir dénominalcur.
Quoique des quantités placées immédiatement à la suite les unes des autres, annoncent une multiplication, cependant si un nombre entier précède un nombre fractionnaire , sans interposition de signe, cela ne désigne plus qu'une addition de ces deux nombres, ainsi 3 j marque trois plus une demie.
Lorsqu'une quantité se multiplie elle-même, on a coutume, pour abréger , d'écrire au - dessus un nombre qui désigne combien de fois elle est facteur. Ainsi au lieu de aaa^ on écrit a*; au lieu de aasa^ on écrit a*\ au lieu de aaaaa, on écrit a' i au lieu de aaahb^ on écrit a} bb ow a?b''. Par exemple, si a vaut 5 et ^, 1, a' sera 5 x y X 5 ou 115 i a* sera 5 x 5 X 5 X î ou 615 , et a'i' sera f x 5X5X1XIPU ijoo. Remarquez ici, qu'un nombre écrit entre deux lettres appartient toujours à la première; ainsi 3 dans a^hb ne marque pas qu'il faut prendre b b trois fois , mais qu'il faut multiplier a deux fois par lui - même. Remarquez encore que dans une quantité , le nombre des facteurs qui se multiplient les uns les autres , annonce toujours le nombre des dimensions , ou le degré de puissance de cette quantité, et le nombre qui s'écrit au-dessus de cette quantité, s'3ppelle indicateur, ou exposant de la puissance ou des dimensions. Ainsi a a est de deux dimensions , a' de trois dimensions, comme l'in- ■ dique le nombre 3 écrit au- dessus j a a s'appelle aussi un quatre; a} im cube ; n* un quarré-quarré ; a} un quarré-cubc ; <i* un cubecube ; fl7 un quarré-quarré-cube ; et ainsi du reste. Et la quantité a dont les multiplications successives ont produit ces différentes puissances, s'appelle racine de ces puissances. Par exemple, a est la racine quartée de dn et la racine cubique de a', etc.
Une
Une racine multipliée par elle-même produit un qiiarré ; le quanré multiplié par la racine produit im cube, etc. Ainsi, d'après la définition qiii a été donnée de la multiplication , on voit qu'il y a même rapport de l'unité à la racine , que de la racine au quarré , que du quarré au cube , etc. Donc la racine quarréc d'une quantité quelconque , est toujours moyenne proportionnelle entre l'unité et la quantité elle-même; et la racine cubique est la première de deux moyennes proportionnelles entre l'unité et cette même quantité ; et la racine atrième est la première de trois moyennes proportionnelles, et ainsi reste. On pourra donc reconnaître les racines à deux caractères ; tant que se midùpliant elles - mêmes , elles produisent les piiis- ;ces; et en tant qu'elles sont des termes moyens entre ces puisées et l'unité. Ainsi on reconnaît , par exemple , que la racine fluarrée de 64 est 8 , et sa racine cubique 4, soit, parce que 8 . 8 vaut l£4» ou que 4.4.4 vaut 64, ou bien, que i est à 8 comme 8 est 4 64 ; ou bien , pour la racine cubique , parce que i est à 4 comme 4 est à 16 comme 16 est à 64. Il suit de-là , que s'il s'agit de tirer la racine quarrée d'une ligne, telle que j4B {Pi. 1, Fig. 4), il faut prolonger la ligne j^B d'une quantité BC qu'on prendra pour unité, et sur j4 C comme diamètre ayant décrit un demi -cercle, on élc* ."Vera au poiiA B, la perpendiculaire B 2), jusqu'à ce qu'elle rencontre in D la demi - circonférence , et la ligne B D sera la racine chçrchée, parce qu'elle est moyenne proportionnelle entre ABex l'unité B C. Pour désigner la racine d'tine quantité quelconque , on a coutume de faire précéder cette quantité de la marque \/ , quand il s'agit de la racine quarrée; de y , s'il s'agit d'une racine cubique; de y , s'il s'agit d'une racine quatrième, etc. Ainsi, V^è^ est la ,
