EXEMPLE

« — 2 x'* + 5 i *' 20 tf ' V^tf * — x^

O + bx^+ aWa^ + x^^ioaWa^-^x^.

De la Soustraction.

Lorsque les nombres sont peu composés , rien n'est pliif facile que d'en trouvçr la différence. En effet , s'il s'agit de soustraire

^ de 17, qui n'apperçoit au premier coup-d'œil que le reste est 8? Mais lorsque les quantités sont plus composées, la soustraction se fait en écrivant le nombre à soustraire au-dessous de celui dont il fout le retrancher, ensuite on retranche chaque figure inférieure de la supérieure correspondante. Ainsi, pour soustraire 63543 de 782579, écrivez 63543 au-dessous de 782579, comme on le voit ici à côté. Et dites : 3 de 9 reste 6, et écrivez 6 -33,570 au-dessous. Ensuite 4 de 7 reste 3, que vous écrirez pa- 63543 reillement. Ensuite 5 de 5 reste o qu'il faut aussi écrire. 719036 Il s'agit maintenant de retrancher 3 de 2 ; mais comme

5 est plus grand que 2 , j'emprunte une unité sur le plus prochain chiffre à gauche 8 : cette unité ajoutée avec 2 vaut 12, dont on peut retrancher 3, le reste est 9, qu'il faut encore écrire au-dessous. Maintenant ce n'est plus 6 seulement qu'il faut retrancher de 8 , mais

6 augmenté de Tunité empruntée ; c'est donc 7 qui , ôté de 8 , laisse i pour reste que j'écris encore au-dessous. Ensuite comme il n'y a plus de chiffre inférieur qui réponde au supérieur 7 , je Técris encore au-dessous, et la différence des deux nombres est 719036»

Au reste , en ordonnant les deux nombres pour faire l'opération , il faut bien prendre garde que les figures de l'un répondent aux figures homogènes de l'autre ; c'est-à-dire , que les unités soient placées sous les imités , les dixaines sous les dixaines , lc;3 dixièmes sous les dixièmes, etc. comme il a été dit pour l'addition. Ainsi, pour retrancher la quantité décimale 0,63 du nombre entier 547, vous vous

garderez bien de disposer ces deux nombres en cette manière • J '^^ •

Mais il faut les. disposer ainsi, ^^^^ 9 en sorte que le zéro qui,

dans les décimales, occupe la place des unités, réponde au-dessous Tome /, C

i8 DE LA SOUSTRACTION.

des unités. de l'autre nombre; les places vides du nombre supérieur , qui répondent à 6 et à 3 du nombre inférieur , étant censées occupées par des zéros. Dites donc ; de o ôtez 3 , cela est impossible ; mais en empruntant une unité à gauche , o deviendra i o ;. d'oîi retranchant 3 , le reste est 7 qu'il faut écrire au - dessous. Ensuite ajoutant i qui a été emprunté avec 6, cela fait 7 qu'il faut retrancher du o supérieur ; et comme cela est ^^j impossible, j'emprunte encore i à gauche, afin que 0,63 *

O devienne 10; d'oîi retranchant 7, le reste est 3 546,37 que j 'écris au - dessous , et cet i emprunté étant ajouté avec o, et retranché de 7, laisse 6 pour reste qu'il faut encore écrire au-dessous; enfin descendez aussi les Figures 54, puisqu'oti n'en doit rien retrancher , et vous aurez pour différence des deux nombres. . . • 546,37. Nous allons placer ici plusieurs exemples pour exercer les commençans,

Lorsqu'on a un nombre plus grand à retrancher d'un plus petit , il faut retrancher le plus petit du plus grand , et donner au reste le signe négatif. Par exemple, s'il fallait ôter 1673 de 1541, j'ôterais 1541 de 1673, ^ i« mettrais le signe — devant le reste 132.

La soustraction algébrique se fait en liant toutes les quantités par des signes , après avoir changé ceux des quantités à soustraire ; et il faut en outre réunir tout ce qui peut être réuni , comme on l'a firit poiu: l'addition. Ainsi + j a retranché de 9 a , s'écrit ainsi :^a — 7 tf

ou 1 a; et — y a de + 9 tf, reste + ^ a + j a ou 16 a ; + y a de — 9 tf , reste — 9 tf — j a ou — 16 ^; et — j a de — 9 a , reste — 9^+7^ ou — i a. Ainsi 3 — de 5 -^ > reste

j-f- — 3-^ ou 2-^. 7 )/aT de 1 V^ac ^ reste i Vac —

7 |/tfT ou bien — ^ \/ac. f de -5 , reste |. — y de } , reste j + I ou f - i^ de -îfL, reste -iliL + J^ ou -LliL.

. . ^— de rï7=' ^^^^ , ,y — ; -r- de -— > reste

ou

; a — t de i a + t^ reste a + i *; 3 ii{ — l^ + ac de 3 tf î, reste ç* —ac; ^^'7^* de -flJtiL, reste

^^ ^""''' ; et 4 — ;i: \/dJc de tf+jc v/tfjf, reste a + x — a+x\/ax9

ou bien 2 x k a jc , et ainsi de suite.

Au reste , lorsque les quantités sont composées de plusieurs termes ^ on doit ordonner Topération comme pour les nombres , ai^|||jgu'oa peut le voir dans les exemples suivans :

iix + ja iff ic + Il Va c

^ X — 24 i6ic + ^ V^T

xo DELA MULTIPLICATION.

De la Multiplication,

Il faut apprendre de mémoire tous les nombres qui proviennent de la multiplication de deux nombres quelconques qui ne sont pas plus grands que 9 , tels que ceux-ci , par exemple , 5 multipliant 7 donne 35; ou S multipliant 9, donne 71, etc. La multiplication des nombres plus grands se fera à Taide de ceux-ci. S*il s'agit de mul* tiplier 795 par 4, écrivez 4 au-dessous de 795, comme on le voit ici à côté. Ensuite dites : 4 par 5 donne j^^ XQy écrivez la dernière Figure o du produit 10 sous 4

le nombre 4 , et gardez la première 2 pour l'opération 3 1 80 suivante. Dites ensuite : 4 par 9 donne 3 6 ; à quoi ajoutant 2 que vous aviez gardé, le total est 38. Écrivez encore au bas la dernière Figure 8 de ce produit, et retenez la première 3. Enfin dites : 4 par 7 donne 18, à quoi ajoutant 3 que vous aviez #- % gai%UU|^ total est 31. Écrivant encore 31 au bas, le produit total de la^lmmiplication de 795 par 4 est 3180*

Enfin s'il fallait multiplier 9043 par 1305 , écrivez \è second de ces deux nombres au-dessous du premier, comme auparavant, et multipliez le nombre supérieur 9043 d'abord par 5 , comme il a été enseigné plus haut, 1J05

et vous trouverez pour produit 45215. Multipliez 4521 ç

ensuite par o, ce qui donnera 0000, continuez 0000

la multiplication par 3, et le produit sera 27129; ^7ï^9 et enfin par 2, et le produit sera 18086. Distribuez'

tous ces produits partiels les uns au-dessous des 2.0544 11 j

autres , de manière que la dernière Figure du nombre

inférieiur soit plus rccidée d'une place vers la gauche, que la dernière

DE LA MULTIPLICATION. ai

Figitrc du nombre immédiatement supérieur. Enfin faites la somme de tous ces produits partiels, et vous trouverez 2.05844,115 pour le produit total de 9095 par 2305. •

L'opération est absolument la même pour multiplier des nombres décimaux par des nombres entiers, ou par d'autres nombres décimaux , comme on peut le voir dans les exemples suivans :

Mais observez qu'il faut marquer dans le produit autant de Figures décimales sur la droite, qu'il y en a dans le multiplicande et dans le multiplicateur. Et si , par hazard , il n'y avait pas pour cela assez de Figures dans le produit, il faudrait y suppléer par des zéros ajoutés à gauche, comme on a fait ci-dessus pour l'exemple troisième.

La multiplication des quantités algébriques simples se fait en écrivant a côté Vun de C autre sans interposition de signe ^ le multiplicande et le multi^ plicateur^ et en donnant au produit le signe +, si Us facteurs om tous diux h signe positifs ou tous deux le signe négatif; ou bien en lui donnant le signe négatifs si les faaeurs sont de signes differens.

Ainsi ^a par 3 ^, ou — 2 tf par — 3 i, donne + 6 b a ou + 6tf *, car l'ordre des lettres est indifférent. Ainsi — ^a par + 3 ^, 91^ bien la par — 3 A, donne-r— 6^^. Et xac par 8^cc, donne.