Première partie analytique
Comme les ombres sont dans le rapport de la longueur des piquets , ou aura, BC : AD :: AB i AE y. 1% i 6 :: 3 : i. Ensidte C-rf ; ^ F ;: 8 : 6 ;: 4 : }• Ainsi appelant AM^ r; BMy s;
AH y t; et HC^àiv : comme les triangles A MB y ANE sont
semblables , ainsi que AHC et A LF^ on aura , AN=z ^ ,
NE^—^yAL^-- -V-, et IF= 3= -H-. J'ai donné à ces
différentes quantités des signes contraires à ceux de ^Ai, MB^ AH^ HCy parce que toutes étant rapportées au point A^ il est clair que si je donne le signe + aux lignes qui vont à droite de ce point, celles qui vont à gauche doivent avoir le signe — . Par la même raison, celles qui sont au-dessus de PAQ^ telles que BM^ étant affectées du signe +, celles qui sont au-dessous, telles que NE doivent avoir le signe — • Maintenant si on écrit respectivement
ces valeurs à la place de a: et de j^ dans Téquation feinte
a^ ± bx ± c^x^ =^ y y on aura.
En mettant r pour jit et 5 pour ^, a^ db br ziz cr^ = s^.
En mettant ^ pour x et ^ pour j, on aura
En mettant t pour x etztiv pour j^, on aura, a^ dbtidtzce^ = v\ Enfin , si nous mettons — l i pour xetzp^v pour y, nous aurons , a^ zplbe ztiYê ^^* = iT ^** Si, au moyen des deux premières équations, on élimine j*, afin d'avoir la valeur de r, on trouvera , r = -^j- ;
d'où il suit que * est nécessairement positif. Ensuite éliminant v* au moyen des troisième et quatrième équations , afin d^obtenir la
valeur de r, il viendra, tz=^ -^, Après quoi, mettant dans la première équation, au lieu de r sa valeur ^j—j et dans le troisième, au lieu de / sa valeur -^ , Tune deviendra , 3 a* ± "TT^ ^^ ^*
et l'autre, fa^±-|^ = v\
Ensuite menant du point B,B\ perpendiculairement à CH^ on
aura la proportion BCi AD :: 3 : i :: 5x : AK :: Cx : DK.
Et comme Bk==i AM — J H = r -^ t = -^t on aura,-<^A=:
^, ou plutôt ^Xss— -|^- On a aussi, Cà = CH±BM = V d= 5 = l/^ ± |!jî- ± V/^ 3 tf* ± -t^. Donc à cause de
Z)X=iCA,onaura,Z?A=k^-i^±^±|/^:±^.
Ces quantités étant écrites dans Téquation , a^ + bx:iz cx^=y^ ^
au lieu de j4K et Z?iC , ou de x et y , on aura, -*^ db -^j^r- ==
réduisant, -**=p:4tf*<: = iiri Vl6b^± 51 û^^^c + 4a'^cS Quar-
rant de nouveau chaque membre et réduisant , on a
o =: i43i^=t 1^60" b^c, ou bien ±:c = fg^. D'où V
voit que c doit être négatif, et que par conséquent, l'équation feinte, tf^ 'àzbxzizcx^^y^ doit être delà forme a^ + bx - cx^-y^ ^ et qu'ainsi la courbe qu'elle exprime est une ellipse. Voici de quelle manière on en trouvera le centre et les axes.
En supposant j< = o , comme cela arrive aux sommets P et Q , notre équation se réduit à a^=:cx^ — bx. Cette équation étant
on
résolue donne , j: = — ± 1/ — V + — ■ ^=^ AQo\x AP. Ainsi prenant AV ^=s, , le point V sera le centre de l'ellipse, et VP ou
V(^-=2 Y — — + — , la moitié du grand axe. Maintenant , si on écrit AV ou sa valeur -^7 > au lieu de x , dans Téquation ....
xjl DE LA RÉSOLUTION
a^ ^ bx — cx^ = y^j elle deviendra , a* + -^ == J'** Ainsi, •-. tf* + — ^ z=z VZ j quarré de la moitié du petit axe. Enfin si , dans les valeurs de AFy VQ^y VZ déjà trouvées, on substitue
au lieu de c sa valeur -j^jr» on aura, AV^=i
" Mî* *
Seconde partie analytique.
( P/. VII, Fig. 7 ). Supposons que le piquet en A soit ARy ex que KPQ soit le plan méridional, et RPZQ^Xq cône radieux dont le sommet est en R. Soit de plus T XZ \m plan dont la commune section avec le plan horizontal soit VZ , et dont la commune section avec le plan méridional ou vertical soit TVXy et qu'on ait dirigé cette section TVX perpendiculairement à Taxe du monde; alors le plan TXZ sera lui-même perpendiculaire à Taxe du monde, et il coupera le cône dans la circonférence du cercle TZJSTj^ circonférence dont chaque point T, Z, A^, sera ^également éloigné du sommet R du cône. Par conséquent si on mène à TFX une parallèle PS y on aura, PR=iRS y à cause de RX=zRT. On aura aussi, SXsssXQy à cause des lignes égales Pf^, FQ; d'où Ton
conclut que RX ou RZ = ^^ + ^^ = lL±lk., Soit enfin tiré
R y. Comme VZ est la commune section" de • deux plans perpendiculaires au plan P/îQ, il s'en suft. que FZ est elle-même perpendiculaire à ce plan , et que par, conséquent le triangle R VZ est rectangle en F. Faisant donc AJ ^ d^ AV =^ e\, VP ou y(l=ft et yz=:.gy on auraj AP =/-;■ c, ^ RP =z .-
VT^^'^^^'^^i^f^'FJt^ , Ensuite ^Q=/+«, et R(l^
Vr+i/e + e^ + d". Par conséquent, RZ==i XP + R<i , V/^-a/« + <. + i. + ^/. + ./. + ,. + ^^ j^^^ jg quarré....
^+^+^ + i //* xe'p + «4 + 1^»/» 4. i^«» + d* est égal
à RF+rZ = RJ + Tf^+ VZ. Ot^RA + Jr+ FZszd^+e^ + g', Donc </* + «* + g»= '^ + *[+^' + 1 1//*- 1 «*/»+«♦+ 1 </"/»+ 1 </*«*+ ^.
Et en faisant la réduction, on a, \/f*- ie^/^-¥e'*+ 1<^/*+ !</*«*+ </♦ =3
<^ + e* — /* + ig*. Et en quarrant et ordonnant , d^f* =
^g" + «Y —rt+g*» ou bien, -î^ =3 ^ + «» -/» +g\ Enfin
si à la place de -rf/î, ^; de -^^f', e; de f'Z, g; et de f^Q^f^ on met les valeurs de ces lignes ^ déjà connues ou déterminées , et qui
sont respectivement , 6 , -j— y , - ^ — 1 ^ — . ^ ^ notre dernière
équation deviendra, 36 - i2l|l + -îgiL = ^^"/y;^'' ; et en
réduisant, ^%tt:^,'' ^hK
Dans la Figure 6, on a, jiM + BM =^ AB ^ c'est-à-dire, r^ + 5* =2 33. Et nous avons trouvé , r = -^; et 5* =; 3 tf* - ^^/ .
De r =a -^ y nous tirons r* = -^p- > et si nous substituons à la place de c sa valeur —^^ ^^^ Téquation 5* = 3 a* Tr^>
elle deviendra, 5*= 4r- Ensuite ces valeurs de r* et 5*, mises
dans réquation r* + 5* = 3 3 , la changent en celle - ci
-^ + "IT = Fs • Et en réduisant, on a encore , ■ ^y/I^'^^a = *^ Toxw /. G g
Égalant maintenant cette nouvelle valeur de y^ à celle que nous avons trouvée plus haut, et divisant tout par 49, il nous viendra,
J^M-^^rs? ^^ 5n6fl»4a» • Multipliant en sautoir les deux membres de cette équation , ordonnant et divisant par 49 , il viendra , 4^^* = 981 tf* + 39204 ; équation dans laquelle a est Tinconnue qu'on cherche. Si on la résout par la méthode des équations du
second degré, on trouvera, a" :=z 981 + ^^89625 =180,1154144.
Nous avons trouvé plus haut , ^.w!'^^'' , = ^^ j ou bien
t/ . = b. Si dans AV^=s, -2ifL nous substituons cette
valeur de *, il viendra, AV r=^ 71/ 53^61-^4^^ . Dç même si nous
substituons encore cette valeur de b dans VP ^ ou ^0= -ilifl-__l,
nous aurons , 8^^160083 - i2 £ ^ ^p ^^ ;^Q. Et encore, en mettant
180,2154144, au lieu de a?" dans les valeurs de A F' et de f^P ou
^Q , que nous venons de trouver , nous aurons , en réduisant tout
en décimales, -<^^= 11,188197, et FP ou ^Q = 11,147085.
Par conséquent ^P(rP-^f')= 10,958788, et AQ(Ar+rQ)=:
Enfin si Ton prend pour rayon i pied ou ^ AR^ on aura, ^ AQ ou 5,555897 pour la tangente de l'angle ARQ^ qui se trouvera de 79°, 47', 48". Et ^ AP ou 1,816465 tangente de Tangle ARP, nous fait connaître que cet angle est de 61®, i/, 57". La demi-somme de ces angles est de 70°, 31', 51", complément de la déclinaison du soleil; et leiur demi-différence 9**, 14', 56" est le complément de la latitude du lieu. Ainsi la déclinaison du soleil était de 19% 27', 8", et la latitude du lieu de 8o% 45' , 4". C Q. F. T.
