PROBLÊME LVI

Unt comiu traversant U ciel tfun niouvcmcnt uniforme et rectiligne ; U s'agit de ditermirury par quatre observations faites en differens temps ^ sa distance de la terre y et la loi de son mouvement d^aprh le système de Copernic.

( PL VII , Fig. 8 ). Si de chacun des points du ciel oîi se trouvait le centre de la comète , au temps de chacune des observations , on abaisse autant de perpendiculaires sur le plan de Técliptique, et que A^ B y C ^ D soient les points oii ces quatre perpendiculaires rencontrent ce plan, menez par ces points la droite AD; cette droite et la ligne que décrit la comète par son mouvement , seront coupées en même raison par les quatre perpendiculaires, de manière qu'on airra AB \ AC \\ le temps qui s*est écoulé entre la première et la seconde observations : au temps entre la première et la troisième. On a encore, AB \ AD \\ le temps entre la première et la seconde observations : au temps entre la première et la quatrième. Ainsi les temps des observations nous donnent les rapports que les lignes AB y ACj AD ont entre elles.

Soient de plus, le lieu du soleil dans Técliptique , *$"; Tare de récliptique dans lequel se meut la terre, EH; les quatre differens lieux oii se trouvait la terre au temps de chacune des quatre observations , £, Fy G y H. Supposons , par exemple , qu'elle se trouvait en E au temps de la première , en f au temps de la seconde , en (P au temps de la troisième , et en ^ff au temps de la quatrième. Joignez AEyBFy CGyDH; prolongez les trois dernières jusquà ce qu'elles coupent la première AE; le point de section àc BF avec AE

Gg 2

136 DELARÉSOLUTION

sera /; celui àsCG sera R; celui à&DH sera L. Et les angles AlBy A CK j ALD seront les différences des longitudes observées de la comète; AIBy par exemple, sera la différence des longitudes entre le premier et le second lieux de la comète; AKC h, différence des longitudes entre le premier et le troisième lieux ; et ^ I Z7 la différence des longitudes entre le premier et le quatrième. Ainsi les angles AIBj AKC et ALD sont donnés par les observations.

Joignez par des droites les points S^E;S^F;EyF. Et comme les points S^E^F sont donnés, ainsi que Tangle ES Fy Tangle SE F sera aussi donné. On connaît également Tangle SE A y car il est la différence de la longitude de la comète et du soleil au temps de la première observation; ainsi, en ajoutant son complément à deux droits, c'est-à-dire, l'angle SEIy k Pangle SE F, vous aurez Tangle lEF. Donc dans le triangle lEFy on a les angles et le côté EFy et par conséquent, le côté TE est aussi donné. Par un semblable raisonnement, on verra que les côtés KE et LE sont aussi donnés. Les quatre lignes AI, Bly CKy DL sont donc données de position ; ainsi le problême proposé revient à celui - ci : quatre droites étant données de position , en trouver une cinquième i qui soit coupée par les quatre premières dans un rapport donné.

Ayant abaissé sux AE les perpendiculaires 5Af , CNy DO y à cause de l'angle donné AIE y on a le\rapport de. BM à MI. Ensuite BM est à CN dans le rapport de ^^ à CA; et à cause de l'angle donné CiCA^, on a le rapport de CN k KNy et pn conséquent, celui de BM k KNy ainsi que celui de BM k MI — KNy ou ce qui est la même chose, de BM k MN + IK. Faites, P : IK ;: AB : B C :: MA : MN; d'où P + MA : IK + MN :: ABiBC. C'est-à-dire que P + MA et IK + MN

sont entre eux en raison donnée.. Donc on a aussi la raison de BM à P + MJ. Par un raisonnement semblable, si on prend Q: I L :: J B : B Dy on aura aussi le rapport de BMk Q + Mj4^ et par conséquent , celui de ^ Af à la différence des deux quantités B + MA et Q + Mj4 sera aussi donné. Or la différence de ces deux quantités , c'est-à-dire ,P — Q ou Q — P est donnée , donc BM^ est aussi donné; et BM étant donné, P + MA et MI le sont également, ainsi que MA^ ME^ AE et Fangle EAB.

Ces quantités étant trouvées , élevez au point A une perpendiculaire au plan de Técliptique , et qui soit kAE comme la tangente de la latitude de la comète , dans la première observation , est au rayon ; et l'extrémité de cette perpendiculaire ainsi déterminée de longueiu*, sera le lieu du centre de la comète au temps de la première observation* Par conséquent on connaîtra la distance de la comète à la terre, au temps de cette première observation. Si on élève de la même manière au point B une perpendiculaire qui soit à BF comme la tangente de la ladtude de la comète , dans la seconde observation ; est au rayon , on aura le lieu du centre de la comète dans cette seconde observation. Et joignant le premier lieu du centre au second i on aura la route que suit la comète dans le cieU

PROBLÊME LVIL

Si un angk dcmni CAD ria que la faculté de tourner amour du point A donne de posidon; que l*angle donne CBD nait aussi qu*un mouvement possible de rotation autour du point B donné de position ; et que Us deux angles tournent en efet selon cette loi y en supposant de plus que Us côtés AD ^ BD se coupent toujours dans une ligne droite EF donnée de posidon: il s* agit de déterminer la courbe que décrira la suite des interseaions C des deux antres côtés AC^ BC.

{PL VIII, Fig. I ). Prolongez CA jusqu'en d^ afin d'avoir Ad^=z AD ; prolongez également CB jusqu'en «T, afin d'avoir BD=:Bl; faites l'angle Ad^ égal à l'angle A DE y et l'angle BS^f égal à l'angle BDF ^ et prolongez de part et d'autre la droite A B , jusqu'à ce qu'elle rencontre de en Cj et J"/ en /; prolongez aussi ed jusqu'en (?, afin d'avoir dGzsaj'f. Et du point C menez CH parallèlement à e^, et CK parallèlement à «T/ Et si l'on con« çoit que les lignes eGy fS" demeurent immobiles , tandis que les angles CAD y CBD tournent selon la loi prescrite, autour des pôles ^ et jff, on aura toujours dG^=S'fy et le triangle CKH sera donné d'espèce. (6i), Faites donc Ae=iayeG:=byBf=iCy AB:=^myBK = Xy etCA=j.,iI viendra, i?iSC : CX V.Bf: If. Donc 5'f=i •^=zdG. Retranchez cette quantité de Ge^ le reste

sera, ed=ib ^. Comme le triangle CHK est donné d'espèce,

faites CK \ CH \\ d\ Cy çn CH : HK \\ c : fy et vous aurez, CH = J^> et HK=z-^. Par conséquent AH ^m-- x— ^. On a de plus, AH : HC :: Ae : ed y c'est-à-dire

17» — *— -^ : -^ Il a : b îi-. Ainsi, en faisant le produit

des extrêmes et celui des moyens , on aura

mb-^-bx + cy-^^^^.^. (63). Multipliez tous les termes par dx^ ensuite ordonnez, et il viendra

fcy^ — ac} yx — dcmy — bdx'*^ + bdrnx zz 0. D'où il suit que ,

-bfl

les deux inconnues * et j^ ne s'élevant pas au-delà de deux dimenâons, la courbe que décrit le point C est une section conique. Faites '^^'^ [^ =^ 2./1 , et vous aurez

y = -j- • xy + — j- . y + -fP^ ^ 77— • X. Et SI "on résout

<:ette équation pour avoir la valeur de j^ , elle donnera

D'oîi ron conclut que la courbe est une hyperbole, si -^ est positif, ou si, étant négatif, il est moins grand que -4-. Elle sera

une parabole , si -^ est négatif et égal à -^ ; un cercle ou une ellipse , si -^ est négatif, et plus grand que -^ . C.Q. F. T.