PROBLÊME LV

On a planté, dans un certain lieu de la terre ^ aux points A^ B^ C, trois piquets perpendiculaires au plan horizontal: le piquet qui est en A^ a six pieds; celui qià eu en B ^ en a dix'huit^ et celui qui est en Cy huit; la droite A B est de trente pieds. Il arrive qu*un certain jour de P année F extrémité de F ombre du piquet A passe par les points B et C ; que Vextrémité de F ombre du piquet B passe par A et C; et que F extrémité de l ombre du piquet C passe par A. On demande la déclinaison du soleil ^ et f élévation du pôle y oUy u qid est la même chose , le jour et le lieu où cela est arrivé.

(PI. VII, F!g. 6). Puisque l'ombre de chaque piquet a décrit une section conique, qui est la section du cône lumineux, dont le sommet est placé au sommet même du piquet; je supposerai que BCDEF est la courbe de cette espèce (parabole, hyperbole ou ellipse) que l'ombre du piquet A^ a décrite ce jour-là; je supposerai de plus , que A D y AE^ A F ont été les ombres du piquet A ; BC^ BA celles du piquet B ; et CA celle du piquet C. Je supposerai encore que PAQ est la méridienne ou Taxe de la courbe, et que les perpendiculaires 5Af, CHy DKy EN tt FL abaissées des dîfFérens points de la courbe sur PA Q , en sont les ordonnées, rappellerai ces ordonnées y y y et les parties interceptées de Taxe , telles que AMy AH y ARy AN et AL^ je les appellerai x. Je supposerai enfin que l'équation a^ ddhxdccx^ =iy^ exprime la nature de la courbe , c'est - à - dire , la relation entre les x et les y. Et je regarderai comme connues, a^yby c (l'analyse les fera bientôt

connaître). Je n'ai pris que de deux dimensions au plus les inconnues X tt y^ puisque l'équation est aux sections coniques. Je n'ai pas fait entrer dans Téquation les dimensions impaires de y , parce que les y ou ordonnées prennent immédiatement leur origine sur l'axe. Comme on ne sait pas encore s\ b tt c doivent être pris positivement ou négativement, j'ai affecté les termes où ils se trouvent du signe ambigu ±. J'ai donné le signe positif à «*, parce que le piquet A portant son ombre de différens côtés, tels que C, F^ B et £, il est évident qu'il doit être enveloppé de toutes parts, par la concavité de la courbe. Par conséquent, si on élève au point A une perpendiculaire -rf/î, elle ira rencontrer quelque part en /3, la courbe : ainsi elle- sera l'ordonnée pour le point où :t = o; et comme elle rencontre toujours la courbe, elle sera toujours réelle; donc son quarré a^ doit toujours être positif.

Il est donc constant que l'équation feinte a^ dobx'izcx^ ^=^y^ 9 ne contient aucun terme superflu , et que pourtant elle en contient autant qu'il est nécessaire pour exprimer tous les cas possibles du problême, soit qu'ils se rapportent à l'ellipse, à la parabole ou à l'hyperbole; et que, dans tous ces cas, nous serons en état d'assigner des valeurs réelles ou nulles pour les quantités û*, ^, c. L'analyse suivante va nous faire connaître quelles sont ces valeurs, et avec quels signes elles doivent être prises ;v et enfin quelle est la nature de la courbe.