X -tf
— ax+-j-
+ iib^
~4fl» + i**
DE L» EXTRACTION
j^y^ — Sy + 4
Si on veut la racine cubique de a^ + 3 tf * ^ + 3 tf ** + A' , Topération se fait de la manière suivante. Tirez la racine du premier terme a^ qui est a.. Ecrivez a
tf + ^
+ jtf'i+ 3^** + *^
au quotient ^ et retranchant son
cube a^ 9 dites : combien de fois
le triple de son quarré 3 a} est-il
contenu dans le premier terme
du reste? Rép. b. Ecrivez ^ au o 00
quotient, et ôtant le cube du
quotient tf + *, il ne restera rien. La racine est donc a ^ b.
De même , si on voulait extraire la racine cubique de {*^ + 6 ^^ — 40:5;* + 96c — 64, on trouverait {* + i{ — 4. On s'y prendrait d'ime manière analogue pour lés racines plus élevées.
De la réduction des Fractions et des quantités radicales.
La réduction des quantités fractionnaires et radicales soit à leurs moindres termes , soit à la même dénomination , est très-utile poiur les opérations précédentes.
DESRACINES. 45
De la réduction des Fractions à leurs moindres termes.
On réduit les fractions à leurs moindres termes , en divisant leurs numérateurs et leurs dénominateurs par leur plus grand commun diviseur.
Ainsi -y^ se réduit à la fraction plus simple -y- , en divisant son
numérateur et son dénominateur par c. ^ peut se réduire à la fraction
plus simple ^ , en divisant 103 et 667 par 29. Et •^^-\-j- se réduit
à ^''. , en divisant haut et bas par 10c. De même —r~i\~—
devient -ifllllil- en divisant par ^ a. Et " ^"^ 't I. lu — devient '~Y—r en divisant par a — b.
Il arrive souvent qu'on peut réduire par cette méthode les résultats d'une multiplication ou d'une division. Ainsi , par exemple , s'il
s'agissait de multiplier la fraction -^^T P^^ ^/jl > ou de la diviser
par 7- , dans l'un et l'autre cas , on obtiendrait ^A^^^ q"i peut
se réduire à — ^-^ . Mais dans des cas semblables , il vaut bien mieux réduire les quantités avant l'opération , en divisant par le plus grand commun diviseur.
Ainsi , dans l'exemple cité pkis haut, je diviserai 1 aj>^ ctbiP par leur commun diviseur i; et '^c^ d et ^ac^ par leur commun diviseur ^r.
Par -là, on aura ^"^ ' à multiplier par -^ > ou à diviser par
-^y, ce qui donnera la quantité toute réduite — y> — 9 comme
ci-dessus. Ainsi -^ multipliée par -^-, devient—^ multipliée par
-J- ou -^. Et -~- divisée par , devient a^ divisée par t, ou
-J- . Et — - — multipliée par ^^t^x > devient — - — muluphte
par —, ou bien -^ — c. Et 18 divisé par y, devient 4 divise par \ ou bien iz.
46 DELARECHERCHE
De la manière de trouver les Diviseurs.
\y EST ici que doit naturellement se placer la méthode de trouver
les diviseurs.
Si la quantité est incomplexe , Jivisei'la par son moindre diviseur ; divise^
ensuiu le quotient par son moindre diviseur , et continue^ de la mime maniircj
jusquà ce que vous parveniei à un quotient indivisible; alors vous aure{
tous les premiers diviseurs de la quantité. Multiplie^ tous us diviseurs deux
à dtux^ trois à trois ^ quatre à quatre^ etc.^ et vous aure[ tous Us divi^
seurs composés de la quantité.
S'il s^agit , par exemple , de trouver tous les diviseurs du nombre
60, divisez-le par 1, et le quotient 30 par i, ensuite le quotient 15 par 3 , il restera le quotient indivisible 5. Ainsi les diviseurs premiers sont : 1 , 1 , 2 , 3 9 5 . Si on les combine en les midtipliant deux à deux, on aura 4^ 6, 10, 15 ; trois à trois, ii, lo^ 30; et tous ensemble, 60.
Si on demandait tous les diviseurs de %i ah^\ on n'a qu'à diviser cette quantité par 3 ; et son quotient par 7 , et le second quotient par a; et le troisième par b; et il restera le quotient indivisible b. Ainsi les diviseurs premiers sont : i , 3, 7, û, i, ^. Les diviseurs composes deux à deux sont : 1 1 , 3^, 3^, 7^, 7^, ab^bb; composés trois à trois, II tf, XI ^, 3 ab^ 3 bb^yab^ jbb^ abb; quatreà quatre, 21 aà^ Il bb^ '^abb^ 7 <i^^; cinq à cinq 11 abb. On trouverait de la même manière tous les diviseurs de lab^ — 6a^ c; ils sont : 1,2,^1 t^ — ^aCy 2<i, xb^ — 6acj ab^ — 3^*^> lab^ — rôa^c*
DESDIVISEURS. 47
Si la quantité j après avoir été divisée par tous les diviseurs simples , demeure encore composée^ et quon soupçonne qu^elU contienne quelque diviseur ccm" posé; disposei^-la selon Us dimensions de quelquune de ses lettres :y et sutstitucT successivement à la place de cette lettre^ trois ou un plus grand nombre de termes de la progression arithmétique 3,1,1,0,-^1, — 1. Et il en résultera autant de valeurs différentes , que vous écrirei avec leurs diviseurs à côté des urmes de la progression qui Us auront produites ; ayant soin d^écrire aussi chaque diviseur avec un signe positif et un signe négatif. Compare:^ Us divi'» seurs qui se trouvent dans une ligne avec ceux des autres lignes^ pour voir s'ils ne formeraient pas une progression arithmétique. Et pour ula , commence:^ par Us plus forts y peur descendre aux plus faibUs ^ en suivant la même marche que la progression arithmétique 3,1, i, o, — i, — i. Si cette recherche vcus fournit quelque progression dont Us termes ne différent que d^une unité , ou de qiulque nombre qui divise la plus haute puissance de la quantité proposée ^ écrive:^ cette progression dans le même ordre que la première ^ plaçant chacun de ses urmes à côté de la ligne des diviseurs qui Va produit; et U terme qui^ dans cette progression y répondra au terme o de la progression primitive ^ étant divisé par la différence des termes ^ et joint à la lettre à laquelU il avait été subs" tituéy formera une quantité avec laqtuUe il faudra tenter la division (i).
Si, par exemple, la quantité proposée est .r' — x^ — iojf + 6, à la place de x je substitue successivement les termes de la progression arithmétique 1,0, — i , il en naîtra les nombres — 4, + 6, + 14. Je place chacun d'eux avec tous ses diviseurs dans la ligne du terme de la progression i, o, — i, qui l'a produit, comme on peut le voir dans l'exemple suivant.
48 DELARECHERCHE
Ensuite comme le terme le plus élevé x^ n'a de diviseur que l'unité, je cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffèrent que d'une unité, et qui, en descendant des plus forts aux plus faibles, décroissent comme ceux de la progression I , o , — I . Je ne trouve qu'une progression de cette espèce , c'est 4, 3, 1. Je prends donc le terme +3 qui se trouve dans la même ligne que o de la première progression i , o , — i , je le joins à Xy et je tente la division par Ar+ 3 ; elle réussit, et j'obtiens pour quotient x^ — 40: + i (1).
Si la quantité proposée est 6 y^ — y^ — 11 y^ + 'iy + ^Oi à la place de y je substitue successivement 2,1,0, — i, — 2, et il en résidte les nombres 30, 7, 20, 3 , 34. Je les place avec fpus leurs diviseurs comme dans l'exemple suivant; et je vois que dans tous les diviseurs il n'existe qu'une seule progression arithmétique décroissante + io, + 7, + 4>+i5 — 2.. La différence de ses termes est 3 , qui divise exactement le terme le plus élevé 6 j^* de la quantité proposée. Je prends donc le terme + 4 qui se trouve dans la même ligne que o de la première progression , et le divisant par la différence des termes 3 , je le joins à la lettre j^ , et je tente la division par j^ + y , ou ce qui revient ati même , par 3 j' + 4. La division réussit, et j'ai pour quotient ly^ — jy^ — 3 J' + 5 (3)»
+ ïo-
I, 1, 4, 5, 10, io.
Si la quantité proposée est 24^1^ — ^^o a^ + ^<) a} — 140^* + 64^+30, on en fera l'opération comme il suit.
